有趣的幻方(一).doc

崇明讲坛
有趣的幻方（一）
句容市崇明小学 葛挺明
一、幻方趣谈
在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻 方”。中国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”。
大约两千多年前西汉时代，流传夏禹治水时，黄河中跃出一匹神马，马背上驮着一幅图，人称“河图”；又洛水河中浮出一只神龟，龟背上有一张象征吉祥的图案称为“洛书”.他们发现，这个图案每一列，每一行及对角线，加起来的数字和都是一样的，这就是我们现在所称的幻方。这是一个最简单的三阶幻方。

　 幻方最早记载于中国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中，这说明中国人民早在2500年前就已经知道了幻方的排列规律。而在国外，公元130年，希腊人塞翁才第一次提起幻方。
中国不仅拥用幻方的发明权，而且是对幻方进行深入研究的国家。公元13世纪的数学家杨辉已经编制出3－10阶幻方，记载在他1275年写的《续古摘厅算法》一书中。在欧洲，直到1514年，德国著名画家丢勒才绘制出了完整的四阶幻方。
在金庸小说《射雕英雄传》中郭靖、黄蓉二人被裘千仞追到黑龙潭，躲进瑛姑的小屋。瑛姑出了一道题：把数字1~9填到三行三列的表格中，要求每行、每列、及两条对角线上的和都相等。这道题难倒了瑛姑十几年，被黄蓉一下子就答出来了。黄蓉当时用了说了这样的五句，即“二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央”这与“洛书”完全一样。表示如下：
4
9
2
3
5
7
8
1
6

当幻方的纵横数为3、4、5……n时，幻方分别叫做三阶、四阶、五阶……n阶幻方。现已排出了一百多阶的幻方。其排列方法变化无穷，十分有趣。
在印度及欧洲，一些少女爱在胸前佩戴一个三阶幻方，把它当作护身符，用以驱邪避灾。故幻方又称“魔方”。
八阶双料幻方
六角幻方
幻方简单精致，妙趣横生，千百年来，一直引起许多中外数学爱好者的兴趣。幻方是容易引起人们兴趣的“自然之谜”。现在人们已经陆续发现了各式各样的幻方，在此不一一列举。但我要为同学们讲述两个幻方：八阶双料幻方和六角幻方。

八阶双料幻方这是个八阶幻方，它的每行，每列及每条对角线上的八个数字之和全都一样，这个常数是840；然而不仅如此，它的每行、每列及每条对角线上的八个数字之乘积竟然也完全相同，这个常数是 2，058，068，231，856，000
由于这种幻方的字之和和数字之积都是相同的，所以称为“双料幻方”。而六角幻方是数学爱好者阿当斯耗尽毕生精力完成的（从1910年——1962年）。
二、奇数阶幻方的填法（罗伯特法则）
出示一个三阶幻方图，让同学们把1——9九个数填入小方格中使任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等。学生自主填写后呈现八种不同的填法：第一种：
8 1 6
3 5 7
4 9 2

第二种：
6 1 8
7 5 3
2 9 4

第三种：
4 9 2
3 5 7
8 1 6

第四种：
2 9 4
7 5 3
6 1 8

第五种：
6 7 2
1 5 9
8 3 4

第六种：
8 3 4
1 5 9
6 7 2

第七种：
2 7 6
9 5 1
4 3 8

第八种：
4 3 8
9 5 1
2 7 6

介绍罗伯特法则：1 居上行正中央，依次斜填切莫忘，上出框界往下写，右出框时左边放，重复便在下格填，出角重复一个样。并在三阶幻方图中演示。类推出1——25这二十五个数在五阶幻方中的填法；再分别讲述七阶、九阶、十一阶等奇数阶幻方的填法。