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线性代数中的若干个充要条件

一、阶方阵可逆的充要条件

是阶可逆方阵

（非奇异）
（满秩）
的最高阶非零子式的阶数等于
（等价）
的伴随矩阵可逆

存在阶可逆矩阵,使
存在阶可逆矩阵,使
存在有限个初等方阵,使
只有零解
解空间的维数是零
总有唯一解
的行（列）向量组线性无关
总可以由唯一的线性表示
的特征值均不为零
的正、负惯性指数的和
是正定矩阵
的行（列）向量组是的一组基
的列向量组与单位向量组等价
是的某两组基之间的过渡矩阵

二、有(无)解的充要条件

有（无）解
（）
向量可以（不能）被的列向量组线性表示

三、有唯一（无穷多）解的充要条件

有唯一（无穷多）解

的列向量组线性无关，且可以被唯一线性表示（线性相关，的表示法不唯一）

四、只有零（有非零）解的充要条件

只有零（有非零）解
（）
列满秩（列亏秩）
可逆 (不可逆)
正定 (非负定)
存在矩阵，使
的列向量组线性无关（线性相关）
中每一个（至少有一个）都不能（可以）由其余个线性表出
向量组与维单位向量组（不）等价
解空间维数（）
没有基础解向量（基础解系中有个基础解向量）

五、总有解的充要条件

总有解
(行满秩)
()
可逆 (不可逆)
存在矩阵，使
的行向量组线性无关
（若，的列向量组线性相关）
的列向量组可线性表示任意一维列向量
，存在常数使
向量组与维单位向量组等价

六、可以相似对角化的充要条件
可以相似对角化
存在可逆矩阵，使（对角矩阵）
有个线性无关的特征向量
的任一特征值的重数与该特征值线性无关特征向量的个数相等
对的任一重特征值，有个基础解向量
对的任一重特征值，

附1：可以相似对角化的充分条件
有个不同的特征值可以相似对角化
是实对称矩阵可以相似对角化

附2：两个方阵与相似的必要条件
（相似）
（特征值相同）
（等迹且等于特征值的和，）
（等秩）
（行列式相等）

七、元二次型正定的充要条件

元二次型正定
，
是正定矩阵
的正惯性指数
（合同）
存在可逆矩阵，使
的特征值均为正数
的顺序主子式均大于零

附：元二次型正定的必要条件
是正定矩阵
的主对角元

八、矩阵合同的充要条件
（合同）与有相同的正、负惯性指数
（合同），反之未必.
实对称（与对角阵合同），反之未必.
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