1、线性代数中的若干个充要条件
一、阶方阵可逆的充要条件
是阶可逆方阵
（非奇异）
（满秩）
的最高阶非零子式的阶数等于
（等价）
的伴随矩阵可逆
存在阶可逆矩阵,使
存在阶可逆矩阵,使
存在有限个初等方阵,使
只有零解
解空间的维数是零
总有唯一解
的行（列）向量组线性无关
总可以由唯一的线性表示
的特征值均不为零
的正、负惯性指数的和
是正定矩阵
的行（列）向量组是的一组基
的列向量组与单位向量组等价
是的某两组基之间的过渡矩阵
二、有(无)解的充要条件
有（无）解
（）
向量可以（不能）被的列向量组线性表示
三
2、有唯一（无穷多）解的充要条件
有唯一（无穷多）解
的列向量组线性无关，且可以被唯一线性表示（线性相关，的表示法不唯一）
四、只有零（有非零）解的充要条件
只有零（有非零）解
（）
列满秩（列亏秩）
可逆 (不可逆)
正定 (非负定)
存在矩阵，使
的列向量组线性无关（线性相关）
中每一个（至少有一个）都不能（可以）由其余个线性表出
向量组与维单位向量组（不）等价
解空间维数（）
没有基础解向量（基础解系中有个基础解向量）
五、总有解的充要条件
总有解
(行满秩)
()
可逆 (不可逆)
存在矩阵，使
的行向量组线性无关
（
3、若，的列向量组线性相关）
的列向量组可线性表示任意一维列向量
，存在常数使
向量组与维单位向量组等价
六、可以相似对角化的充要条件
可以相似对角化
存在可逆矩阵，使（对角矩阵）
有个线性无关的特征向量
的任一特征值的重数与该特征值线性无关特征向量的个数相等
对的任一重特征值，有个基础解向量
对的任一重特征值，
附1：可以相似对角化的充分条件
有个不同的特征值可以相似对角化
是实对称矩阵可以相似对角化
附2：两个方阵与相似的必要条件
（相似）
（特征值相同）
（等迹且等于特征值的和，）
（等秩）
（行列式相等）
七、元二次型正定的充要条件
元二次型正定
，
是正定矩阵
的正惯性指数
（合同）
存在可逆矩阵，使
的特征值均为正数
的顺序主子式均大于零
附：元二次型正定的必要条件
是正定矩阵
的主对角元
八、矩阵合同的充要条件
（合同）与有相同的正、负惯性指数
（合同），反之未必.
实对称（与对角阵合同），反之未必.
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