解线性方程组的克拉默法则.doc

第一章 解线性方程组的克拉默法则
解方程是数学中一个基本问题，特别是在中学代数中，解方程占有重要地位，因此这个问题是读者所熟悉的，譬如说，如果我们知道了一段导线的电阻，它的两端电位差，那么通过这段导线的电流强度，就可以由关系式

求出来，这就是通常所谓一元一次方程的问题，在中学代数中，我们解过一元，二元，三元以致四元一次方程组，这一章和下一章主要就是讨论一般的多元一次方程组，即线性方程组，这一章是引进行列式来解线性方程组，而下一章则在更一般的情况下来讨论解线性方程组的问题。
线性方程组的理论在数学中是基本的也是重要的内容。
对于二元线性方程组

当时，此方程组有唯一解，即

我们称为二级行列式，用符号表示为

于是上述解可以用二级行列式叙述为：
当二级行列式
时，该方程组有唯一解，即

对于三元线性方程组有相仿的结论，设有三元线性方程组

称代数式为三级行列式
，用符号表示为

我们有：当三级行列式

时，上述三元线性方程组有唯一解，解为

其中
在这一章中我们要把这个结果推广到元线性方程组的情形
2克拉墨法则
现在我们来应用行列式解决线性方程组的问题，在这里只考虑方程个数与未知量的个数相等的情形，以后会看到这是一个重要的情形，下面我们将得出与二元和三元线性方程组相仿的公式。
本节的主要结果是
定理：如果线性方程组

的系数矩阵

的行列式

那么线性方程组有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表为

其中是把矩阵中第列换成方程组的常数项所成的矩阵行列式，即

定理中包含着三个结论：1，方程组有解；2，解是唯一的；3，解由公式(3)给出，这三个结论是有联系的，因此证明的步骤是：
1，把代入方程组，验证它的确是解
2，假如方程组有解，证明它的解必由公式(3)给出，
在下面的证明中，为了写起来简短些，我们尽量用连加号
证明：1 把方程组(1)改写为

首先来证明(3)的确是(1)的解，把(3)代入第个方程，左端为
(6)

因为

所以

根据定理中(6)有

这与第个方程的右端一致，换句话说，把(3)代入方程使它们同时变成恒等式，因而(3)确实为方程组(1)的解
2 设是方程组(1)的一个解，于是有个恒等式
(7)
为了证明，我们取系数矩阵中第列元素的代数余子式，用它们分别乘(7)中个恒等式；有

这还是个恒等式，把它们加起来，即得
(8)
等式右端等于在行列式按第列的展开式中把分别换成，因此，它等于把行列式中第列换成，所得的行列式，也就是，再来看(8)的左端，即

所以

于是，(8)即为

也就是

这就是说，如果是方程组的一个解，它必为

因而方程组最多有一组解
定理通常称为克拉默法则
例 解方程组

方程组的系数行列式

因之可以用克拉默法则，由于

所以方程组的唯一解为

应该注意，定理只是讨论系数矩阵的行列式不为零时的方程组，它只能应用于这种方程组，至于方程组的系数行列式为零的情形，将在下一章讨论
常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组，显然，齐次线性方程组总是有解的，因为就是一个解，它称为零解，对于齐次线性方程组，我们关心的问题常常是，它除去零解以外还有没有其他解，或者说它有没有非零解，对于方程个数与未知量个数相同的齐次线性方程组，应用克拉默法则就有
定理：如果齐次线性方程组
(10)
的系数矩阵的行列式，那么它只有零解，换句话说，如果方程组(10)有非零解那么必有
证明： 应用克拉默法则，因为行列式中有一列为零，所以

这就是说，它的唯一的解是

例 求在什么条件下，方程组

有非零解
根据定理，如果方程组有非零解，那么系数行列式

所以，不难验证，当时，方程组确实有非零解
克拉默法则的意义主要在于它给出了解与系数的明显关系，这一点在以后许多问题的讨论中是重要的，但是用克拉默法则计算是不方便的，因为按这一法则解一个个未知量个方程的线性方程组就要计算个级行列式，这个计算量是很大的。