限时集训(二十二)-正弦定理和余弦定理.doc

限时集训(二十二)　正弦定理和余弦定理

(限时：60分钟　满分：110分)

一、填空题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．在△ABC中，A＝45°，B＝60°，a＝10，则b＝________.
2．(2013·南通模拟)在△ABC中，已知a＝7，b＝4，c＝，则最小的内角为________．
3．(2013·昆山期中)在△ABC中，已知sin A＝2sin Bcos C，则该三角形的形状为________．
4．已知△ABC中，AB＝1，BC＝2，则角C的取值范围是________．
5．(2012·广东高考)在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝3，则AC＝________.
6．在△ABC中，已知a＝18，b＝20，A＝150°，这个三角形解的情况是________．
7．在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于________．
8．(2012·重庆高考)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos A＝，cos B＝，b＝3，则c＝________.
9．在△ABC中，D为边BC的中点，AB＝2，AC＝1，∠BAD＝30°，则AD的长度为________．
10．(2013·无锡模拟)已知△ABC中，B＝45°，AC＝4，则△ABC面积的最大值为________．
二、解答题(本大题共4小题，共60分)
11．(满分14分)(2013·苏州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.
(1) 若(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，求A的值；
(2) 若c＝10，A＝45°，C＝30°，求b的值．

12．(满分14分)(2011·江苏高考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.
(1)若sin＝2cos A，求A的值；
(2)若cos A＝，b＝3c，求sin C的值．

13.(满分16分)(2012·江苏高考)在△ABC中，已知·＝3·.
(1)求证：tan B＝3tan A；
(2)若cos C＝，求A的值．

14．(满分16分)设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acos B－bcos A＝c.
(1) 求的值；
(2) 求tan(A－B)的最大值，并判断当tan(A－B)取得最大值时△ABC的形状．

答案

[限时集训(二十二)]
1．解析：由＝得，b＝＝＝5.
答案：5
2．解析：大边对大角，小边对小角，所以边c所对的角最小，cos C＝＝，又因为C∈(0，π)，所以最小角C＝30°.
答案：30°
3．解析：由正弦定理及余弦定理，得＝，cos C＝，所以＝2·，整理得b2＝c2，因为b＞0，c＞0，所以b＝c.因此，△ABC为等腰三角形．
答案：等腰三角形
4．解析：依题意c＝1，a＝2，由正弦定理知
＝，即sin C＝sin A＝
sin A≤，
解得0＜C≤或，≤C＜π，
又c＜a，所以C＜A，
故0＜C≤.
答案：0＜C≤
5．解析：由正弦定理得：＝，即＝，所以AC＝×＝
2.
答案：2
6．解析：∵b＞a，∴B＞A，而A＝150°，B为钝角不可能，
∴无解．
答案：无解
7．解析：由余弦定理得：()2＝22＋AB2－
2×2AB·cos 60°，即AB2－2AB－3＝0，得AB＝3，故BC边上的高是ABsin 60°＝.
答案：
8．解析：由题意知sin A＝，sin B＝，则
sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos AsinB＝，
所以c＝＝.
答案：
9．解析：延长AD到M，使得DM＝AD，连结BM、MC，则四边形ABMC是平行四边形．在△ABM中，由余弦定理得BM2＝AB2＋AM2－2AB·AM·cos∠BAM，即12＝22＋AM2－2·2·AM·cos 30°，解得AM＝，所以AD＝.
答案：
10．解析：法一：如图，设△ABC的外接圆为圆O，其直径2R＝＝＝4.取AC的中点M，则OM＝Rcos 45°＝2，则AC＝4.过点B作BH⊥AC于H，要使△ABC的面积最大，当且仅当BH最大．而BH≤BO＋OM，所以BH≤R＋R＝2＋2，所以(S△ABC)max＝AC·BHmax＝×4×(2＋2)＝4＋4，即当且仅当BA＝BC时取等号．
法二：如图，同上易知，△ABC的外接圆的直径2R＝4.S△ABC＝AB·BC·sin∠ABC＝2R2sin∠BAC·
sin∠ABC·sin∠ACB＝8sin ∠BACsin ∠ACB＝
4.
当A＝C＝67.5°时，(S△ABC)max＝4＋4.
答案： 4＋4
11．解：(1) 由已知得(b＋c)2－a2＝3bc，即a2＝b2＋c2－bc.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得cos A＝.
由于0<A<π，所以A＝.
(2) 由于A＋B＋C＝180°，
所以B＝180°－45°－30°＝105°.
由正弦定理＝，得
b＝·sin B＝·sin 105°＝
20×＝5(＋)．
12．解：(1)由题知sin Acos＋cos Asin ＝2cos A.
从而sin A＝cos A，所以cos A≠0，
tan A＝.
因为0＜A＜π，所以A＝.
(2)由cos A＝，b＝3c及a2＝b2＋c2－2bccos A，
得a2＝b2－c2，即b2＝a2＋c2.
故△ABC是直角三角形，且B＝.
所以sin C＝cos A＝.
13．解：(1)因为·＝3·，所以AB·AC·cos A＝3BA·BC·cos B，即AC·cos A＝3BC·cos B，由正弦定理知＝，从而sin Bcos A＝3sin Acos B，又因为0＜A＋B＜π，所以cos A＞0，cos B＞0，所以tan B＝3tan A.
(2)因为cos C＝，0＜C＜π，
所以sin C＝＝，
从而tan C＝2，于是tan[π－(A＋B)]＝2，
即tan(A＋B)＝－2，
亦即＝－2.由(1)得＝－2，
解得tan A＝1或－，因为cos A＞0，故tan A＝1，所以A＝.
14．解析：(1) 由acos B－bcos A＝c可得，
2sin Acos B－2sin Bcos A＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，
故sin Acos B＝3sin Bcos A，所以
＝3.
(2) 设tan B＝t，则tan A＝3t且t>0，
则tan(A－B)＝＝＝≤ ，
当且仅当3t＝，即t＝时取等号．
所以tan (A－B)的最大值为，此时
B＝，A＝，故C＝，所以△ABC为直角三角形．