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模型组合讲解——回旋加速模型

［模型概述］
带电粒子在电磁场中的运动是每年高考中的热点问题，考查内容或电场对带电粒子的加速（减速），或磁场对带电粒子的偏转（回旋），或两者结合考查学生的综合能力。

［模型讲解］
1. 回旋加速器解读
例1. （2005天津高考）正电子发射计算机断层（PET）是分子水平上的人体功能显像的国际领先技术，它为临床诊断和治疗提供全新的手段。
（1）PET在心脏疾病诊疗中，需要使用放射正电子的同位素氮13示踪剂，氮13是由小型回旋加速器输出的高速质子轰击氧16获得的，反应中同时还产生另一个粒子，试写出该核反应方程。
（2）PET所用回旋加速器示意如图1，其中置于高真空中的金属D形盒的半径为R，两盒间距为d，在左侧D形盒圆心处放有粒子源S，匀强磁场的磁感应强度为B，方向如图所示。质子质量为m，电荷量为q。设质子从粒子源S进入加速电场时的初速度不计，质子在加速器中运动的总时间为t（其中已略去了质子在加速电场中的运动时间），质子在电场中的加速次数于回旋半周的次数相同，加速质子时的电压大小可视为不变。求此加速器所需的高频电源频率f和加速电压U。

图1
（3）试推证当时，质子在电场中加速的总时间相对于在D形盒中回旋的时间可忽略不计（质子在电场中运动时，不考虑磁场的影响）。
解析：
（1）核反应方程为： ①
（2）设质子加速后最大速度为v，由牛顿第二定律得：
②
质子的回旋周期为： ③
高频电源的频率为： ④
质子加速后的最大动能为： ⑤
设质子在电场中加速的次数为n，则：
⑥
又 ⑦
可解得： ⑧
（3）在电场中加速的总时间为：
⑨
在D形盒中回旋的总时间为 ⑩
故，即当时，可以忽略不计。
评点：交变电场的周期等于带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期，经交变电场每半周粒子被加速一次。

2. 匀强电场匀变速；匀强磁场回旋（偏转）
例2. （2006年江苏省泰兴第三高级中学调研）在如图2所示的空间区域里，y轴左方有一匀强电场，场强方向跟y轴正方向成60°，大小为；y轴右方有一垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度。有一质子以速度，由x轴上的A点（10cm，0）沿与x轴正方向成30°斜向上射入磁场，在磁场中运动一段时间后射入电场，后又回到磁场，经磁场作用后又射入电场。已知质子质量近似为，电荷，质子重力不计。求：（计算结果保留3位有效数字）
（1）质子在磁场中做圆周运动的半径。
（2）质子从开始运动到第二次到达y轴所经历的时间。
（3）质子第三次到达y轴的位置坐标。

图2
解析：（1）质子在磁场中受洛伦兹力做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律，

得质子做匀速圆周运动的半径为：

（2）由于质子的初速度方向与x轴正方向夹角为30°，且半径恰好等于OA，因此，质子将在磁场中做半个圆周到达y轴上的C点，如答图3所示。

图3
根据圆周运动的规律，质子做圆周运动周期为
质子从出发运动到第一次到达y轴的时间为
质子进入电场时的速度方向与电场的方向相同，在电场中先做匀减速直线运动，速度减为零后反向做匀加速直线运动，设质子在电场中运动的时间，根据牛顿第二定律：，得

因此，质子从开始运动到第二次到达y轴的时间t为。
（3）质子再次进入磁场时，速度的方向与电场的方向相同，在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，到达y轴的D点。
根据几何关系，可以得出C点到D点的距离为；
则质子第三次到达y轴的位置为

即质子第三次到达y轴的坐标为（0，34.6cm）。
评点：由以上几例看到，带电粒子的复杂运动常常是由一些基本运动组合而成的。掌握基本运动的特点是解决这类问题的关键所在。另外我们也要注意近年高考对回旋加速模型考法的一些变化，如环行电场，变化磁场等组合，但不管怎样处理的基本方法不变。

［模型要点］
①带电粒子在两D形盒中回旋周期等于两盒狭缝之间高频电场的变化周期，与带电粒子的速度无关；
②将带电粒子在两盒狭缝之间的运动首尾连起来是一个初速为0的匀加速直线运动；
③带电粒子每经电场加速一次，回旋半径就增大一次，所有经过半径之比为1：：……（这可由学生自己证明），对于同一回旋加速器，其粒子回旋的最大半径是相同的，解题时务必引起注意。
电场加速（减速），磁场回旋。磁场回旋时在洛伦兹力作用下做圆周运动有；电场加速从能角度电场力做功，动能：；从力角度若匀强电场还可以用牛顿定律解决。

［模型演练］
1. （2005年南京调研）如图4所示，在半径为R的绝缘圆筒内有匀强磁场，方向垂直纸面向里，圆筒正下方有小孔C与平行金属板M、N相通。两板间距离为d，两板与电动势为U的电源连接，一带电量为、质量为m的带电粒子（重力忽略不计），开始时静止于C点正下方紧靠N板的A点，经电场加速后从C点进入磁场，并以最短的时间从C点射出。已知带电粒子与筒壁的碰撞无电荷量的损失，且碰撞后以原速率返回。求：
（1）筒内磁场的磁感应强度大小；
（2）带电粒子从A点出发至重新回到A点射出所经历的时间。

图4
答案：（1）带电粒子从C孔进入，与筒壁碰撞2次再从C孔射出经历的时间为最短。
由
粒子由C孔进入磁场，在磁场中做匀速圆周运动的速率为
由即，
得
（2）粒子从A→C的加速度为
由，粒子从A→C的时间为：

粒子在磁场中运动的时间为
将（1）求得的B值代入，得，
求得：。
2. 如图5甲所示，一对平行放置的金属板M、N的中心各有一小孔P、Q、PQ连线垂直金属板；N板右侧的圆A内分布有方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，圆半径为r，且圆心O在PQ的延长线上。现使置于P处的粒子源连续不断地沿PQ方向放出质量为m、电量为+q的带电粒子（带电粒子的重力和初速度忽略不计，粒子间的相互作用力忽略不计），从某一时刻开始，在板M、N间加上如图5乙所示的交变电压，周期为T，电压大小为U。如果只有在每一个周期的0—T/4时间内放出的带电粒子才能从小孔Q中射出，求：

甲 乙
图5
（1）在每一个周期内哪段时间放出的带电粒子到达Q孔的速度最大？
（2）该圆形磁场的哪些地方有带电粒子射出，在图中标出有带电粒子射出的区域。
答案：（1）在每一个周期内放出的带电粒子到达Q孔的速度最大。设最大速度为v，则据动能定理得，求得。
（2）因为解得带电粒子在磁场中的最小偏转角为。所以图6中斜线部分有带电粒子射出。

图6

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