小学数学小学四年级《鸡兔同笼》教学素材.doc

兔子不站起来怎么办？（鸡兔同笼问题）我国古代数学名著孙子算经有一道题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问雉、兔各几何：答曰雉二十三，兔一十二。”这是后世“鸡兔同笼”题的始祖。美籍匈牙利数学家乔治波利亚在他的著作怎样解题中也有类似的问题：一个农夫有若干鸡和兔子，它们共有50个头和140只脚，问鸡和兔子各有多少？波利亚先给出了一个很巧妙的解法： 鸡兔鸡兔脚的总数头脚头脚4998141024896281044794312106469241610836721456128357015601303468166413233661768134326418721363162197613830602080140“农民惊异地看着鸡兔们非凡的表演：每只鸡都用一只脚站着，而每只兔子都用后脚站起来”。显然，在这种情况下，总脚数出现了一半，是70，此时，鸡的脚数与鸡的头数是相等的，兔子的脚数是兔子的头数的2倍。所以，从70中减去总的头数50得20，就是兔子的头数。当然，50-20=30，鸡就是30只了。问题是，这个想法是奇思妙想，如果我们想不到，也就是说“兔子不站起来”怎么办？我们先看一个最笨的方法：“一一试凑”，看一看一只鸡有多少脚，一只兔子有多少脚，一个一个逐一试验，总能找出答案吧。不过也不能太笨了，还是画一个表格表示吧。由于头数是50，所以我不是从1开始数起,而是先设鸡有49只，再逐一递减。不要认为这种方法太麻烦没有价值，有了计算机，在计算机上去做会是很容易的事。除此之外，我们再观察一下这个表格，你发现了什么？随着兔子数的增加，脚也在增加。这是因为每只兔子的脚数与鸡的脚数多两只的缘故。如果每只兔子的脚数与鸡的脚数一样，那么脚数应当是头数的2倍，是100只脚，现在是140只脚，多出40只脚，这多出的脚数应当是在这一群动物中有兔子的原因。有1只兔子应当多2只脚，有2只兔子应当多4只脚，所以，多40只脚，应当是有20只兔子。这样想也能解决这一问题。波利亚没有用这种方法，他也没有用上计算机。他给出了另一种解法：“如果我们懂一点代数知识的话，我们可以不凭偶然的试算，不凭运气，而用方程去解决这个小问题。”列方程要学会把日常语言翻译成代数语言：(见下表)。 日常语言代数语言有若干只鸡x它们共有50个头,现知有x只鸡，那么有多少兔子50-x它们共有和140只脚2x+4（50-x）=140这样，我们就得到了一个一元一次方程：2x+4（50-x）=140解得： x=30。所以50- x=20这样就可以得到，有兔子20只，鸡30只。鸡兔同笼”问题在民间也广为流传，甚至编入了小说。在我国著名的古典文学镜花缘（李汝珍著）第85回里就有这样一段故事：宗伯府的女主人卞宝云邀请女才子们到府中的小鳌山观灯。妆众才子在一片音乐声中来到小鳌山时，只见楼上楼下俱挂灯球，五彩缤纷，宛如列星，高低错藩，竟难分辨其多少。卞宝云请精通筹算的才女米兰芬，算一算楼上楼下大小灯球的数目。她告诉米兰芬，楼上的灯有两种，一种上做三个大球，下缀六个小球，计大小球九个为一灯；另一种上做三个大球，下缀十八个小球，计大小球二十一个为一灯。楼下的灯也分两种，一种一个大球，下缀两个小球；另一种是一个大球，下缀四个小球。她请米兰芬算一算楼上楼下四种灯各有多少个。米兰芬想了一想，请宝云命人查一下楼上楼下大小灯球各多少个。查的结果是：楼上大灯球共个，小灯球共个，楼下大灯球共个，小灯球共个。米兰芬按照孙于算经中“鸡兔同笼”问题的解法算出了答案，卞宝云让人拿做灯的单子来念，果然丝毫不差。大家莫不称为神算。 答案是：楼下4小球灯240个，2小球灯120个；楼上18小球灯54个，6小球灯78个。原书的作者给出的答案是楼上6小球灯有68个，有误。你可以实际动手进行验证，看一看你和卞宝云谁是真正的“神算”。