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线性代数第一章行列式

一、填空题

1.排列631254的逆序数(631254)= 8 .
解: (631254)=5+2+1=8
2.行列式= -18 .
解:D=132+2×1×3+2×1×3-333-111-222=-18
3、4阶行列式中含且带正号的项为_______
答案：
分析：4阶行列式中含的项有和
而 的系数：
的系数：
因此，符合条件的项是
4、（互不相等）=_______
答案：
分析：=

5.行列式中元素的代数余子式的值为 42
解析: 元素的代数余子式的值为=(－1) ×7×6×(－1)=42
6.设,则代数余子式之和=0
解析：=1×+1×+1×==0

二、 单项选择题
1、设，则的系数为（C）
A. 1 B. 0 C. -1 D. 2
解：的系数为=-1
2、 设=m0,则=（B）
A.12m B. -12m C.24m D. -24m
解： =-4m
=-4m
=-12m

3. 行列式0的充分必要条件是（C）
(A. )k-1 (B)k3
(C)k-1且k3(D)k-1或k3
因为原式=(k-1)(k-1)-40
所以k-12且k-1-2
所以k-1且k3
所以答案为C
4. 行列式中元素g的代数余子式的值为（B）
（A） bcf-bde (B)bde-bcf
(C)acf-ade (D)ade-acf
==-(bcf-bde)=bde-bcf
所以答案为B
5.设D=则=( )
(A)-kD (B)-kD (C)kD (D)(-k)D
答案:D
解:由行列式性质3:将的每行提出一个-k,得到(-k)D,即为选项D.
6.行列式D==( )
(A)50 (B)-(10!) (C)10! (D)9!
答案:C
解:由行列式的定义,每个因式的元素取自不同行不同列,且不为零,则每行依次取出1,2,…,10,得到10!.又因为36为偶数,所以结果为正数.最终结果为10!
三、计算题
1、计算行列式.
解D=====
2、计算行列式.
解、D= ===

3.计算行列式
解 == -6
4. 计算行列式
解 =160
5. 计算n阶行列式
=[x+(n-1)a][x+(n-1)a]=[x+(n-1)a]
6.当k为何值时，方程组有非零解.
解由题知
D===-5(k-6)+33=0 得k=
四.解答题
1.写出D=中第3列元素的余子式和代数余子式的值，并求出D的值。
解：M==-2 A=(-1) ×(-2)=-2
M==4 A=(-1)×4=-4
M==6 A=(-1)×6=6
D=-1×(-2)+1×(-4)+(-1)×4=-8
2、用Cramer法则解线性方程组
解D===-40
且D==-40 D==-80 D==40
所以=1 =2 =
五、证明题
1.设，试证：

又因为1,
所以原式，
所以证毕
2.设互不相同，证明：线性方程组
证：系数行列式为范德蒙行列式
因为,,,互不相同，
所以，
故该线性方程组有唯一解，
证毕
3、设=a, =b,证明： =72ab.
解: =72
由拉普拉斯展开定理可知
==ab
所以=72ab
B卷
一、填空题
1、已知==6，则==-2。
解：==
=
=-3=6
所以==-2.

2、 n阶行列式
解原式
3、设,则余子式之和 =
解====-28
又= =

4.行列式D==
解:D=====x^4
5.齐次线性方程组只有零解，则应满足的条件是
解：因为齐次线性方程组只有零解
所以方程组的系数行列式不为0
即0
又===）
所以（）（）0
所以
二、选择题
1、如果=1，则行列式=( )
(A) -6 (B) 6 (C) 4 (D) -4
答：B
解：===6
2、=( )
(A) 12 (B) -12 (C) 16 (D) -1
答：A
解：
=====12

3. 设f(x)=,则方程f(x)=的根的个数为（ B ）.
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解：因为=
==x=x=x[(7-x)-6(x-2)]
所以f(x)=5x(x-1) 显然，使方程f(x)=0成立的根有0和1两个，所以答案选择B
4. 若行列式 =m, =n,则行列式 =( C ) .
(A) m+n (B)-(m+n) (C)n-m (D)m-n
解：因为= —
= — —
= — +
= —m+n 所以答案选择C
5.x=-2是=0的（ D ）
(A)充分必要条件 （B）既不充分也非必要条件
（C）必要而非充分条件 （D）充分而非必要条件
解析：原式=4x+-2-x+2-4=3+3x-6=0
解得=1,=-2
当x=-2时，行列式等于0 x=-2为充分条件
又行列式等于0时，x=1或-2
x=-2为非必要条件
三．计算行列式
1.D=
解原式=
=

2. =+
解===312

3. =
解==－2(x³﹢y³)

4.=
解==
5.
解Dn

四、计算n+1阶行列式D
解

五、计算n阶行列式.
解、
=
六、证明：五阶行列式
=
证明：

七、解方程=0
解：原式八、已知齐次线性方程组，其中，试讨论和b满足何种关系时，方程组仅有零解？
解：即且

C卷:
一﹑证明:(1)奇数阶反对称矩阵的行列式的值为零.
(2)设A为n阶方阵，，求.
解 （1）设A是n阶反对称矩阵，其中n为奇数

①
②
③
由①②③得:
解得：
(2)

且由（1）中结论可知：n不可能是奇数，

二、已知n（n3）阶实矩阵A=满足条件：（1）（i,j=1,2,…n）,其中是元素的代数余子式；（2）0. 求.
解：
又

三、设n阶行列式的第一行元素全为1，证明：这个行列式的全部元素的代数余子式之和等于该行列式的值。
证明：==++…+
=1+1+…+1=++…+
又对任意2n，

行列式全部元素的代数余子式之和为++…+，即行列式的值。
得证。

五、设A是n阶対合矩阵（即A²=E），|A|＜0,证明：|A+E|=0
解：
由题意得：因为A²=E 两边取行列式得：
|A²|=|E|=1，所以|A|=±1；
又因为|A|＜0，所以|A|=﹣1=﹣E；
所以|A+E|=|﹣E+E|=0。
即|A+E|=0
证毕
解(1)=====

所以 有小于1的根
(2)
(3)
六、设1，2，…，n是n个互不相同的数，b1，b2，…，bn是任意一组给定的数，证明：存在唯一的多项式c0xn-1+c1xn-2+…+cn-1，使得b，=1，2，…，n.
证明：假设存在两个多项式
c0xn-1+c1xn-2+…+cn-1
d0xn-1+d1xn-2+…+dn-1
使得b，b
则

即（d0in-1+d1in-2+…+dn-1）-（c0in-1+ d1in-2+…+cn-1）= 0
（d0- c0）in-1+（d1- c1）in-2+…+（dn-1-cn-1）= 0
互不相同
不可同为0
则
dn-1=cn-1
则
与假设矛盾
故仅存在唯一c0xn-1+c1xn-2+…+cn-1使得使b，=1，2，…，n.

七．若一个一元n次多项式=0有个不同的根，则．
解 设为互不相同的根，则，于是有

该方程组的系数行列式（视为未知元）

故该齐次线性方程组只有零解：，从而．
八、求极限：
解 =—5+3++—
=
原式=
=
=—4
九、计算行列式(其中n>1)
解 原式==
=
=
十、设D0，证明：直线：==与直线==相交于一点。
解