河北省张家口一中高中数学-随机变量及其分布-教案-选修2-3.doc

河北省张家口一中高二数学选修2-3 随机变量及其分布 教案
【考纲知识梳理】
一、随机变量及其分布列
1．离散型随机变量
所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量。
2．离散型随机变量的分布列及性质
（1）一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为X取每一个值的概率，则表
X

……

……

P

……

……

称为X的分布列， 为X的分布列。
（2）离散型随机变量的分布列的性质
①≥0（）；②。
3．常见离散型随机变量的分布列
（1）两点分布
若随机变量X服从两点分布，即其分布列为
（2）超几何分布
其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈,称分布列
X
0
1
……
m
P

为超几何分布列。
二、二项分布及其应用
1．条件概率及其性质（1）条件概率的定义
A、B为两个事件，且P（A）＞0，P（B|A）=P（AB）/P（A）
若A，B相互独立，则P（B|A）=P（B）。
（2）条件概率的性质
①0≤P（B|A）≤1；
②如果B、C是两个互斥事件，则P（B∪C|A）=P（B|A）+P（C|A）。
2．事件的相互独立性
如果P（AB）=P（A）P（B），则称事件A与事件B相互独立。
3． 独立重复试验与二项分布
那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P（X=k）=，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n,p）
三、离散型随机变量的均值与方差
1．离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量X的分布列为
X

……

……

P

……

……

EX=++……++……+为随机变量X的均值或数学期望DX=为随机变量X的方差，其算术平方根为随机变量X的标准差，记作。
2．均值与方差的性质
（1）E(aX+b)=aEX+b(2)D(aX+b)=a2DX.(a,b为常数)
3．两点分布与二项分布的均值、方差
（1）若X服从两点分布，则EX=p，DX=p(1-p).
（2）若X～B（n,p），则EX=np.DX=np(1-p).
四、正态分布
1.正态曲线及性质
（1）正态曲线的定义

（2）正态曲线的性质：
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线x=对称；
③曲线在x=处达到峰值
④曲线与x轴之间的面积为1；
⑤当一定时，曲线随着的变化而沿x轴平移
⑥当一定时，曲线的形状由确定。越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散
2． 正态分布
（1）正态分布的定义及表示
P（a<X≤b）=,则称X为正态分布，记作。
（2）正态总体在三个特殊区间取值的概率值
①P（-＜X≤+）=0.6826;
②P(-2＜X≤+2)=0.9544;
③P(-3＜X≤+3)=0.9974.
（3）3原则
五、回归分析以及独立性检验的基本思想（见教材）
【热点难点精析】
一、 离散型随机变量及其分布列
〖例〗一袋装有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球，以X表示取出球的最大号码，求X的分布列。
随机变量X的分布列为：
X
3
4
5
6
P

（二）离散型随机变量分布列的性质
〖例〗设离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
0．2
0．1
0．1
0．3
m
求：（1）2X+1的分布列；（2）|X-1|的分布列。
（1）2X+1的分布列：

（三）利用随机变量分布解决概率分布问题
〖例〗某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核。
（1）求从甲、乙两组各抽取的人数；
（2）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；
（3）记表示抽取的3名工人中男工人数，求的分布列及数学期望。
解（2）
（3）

0
1
2
3

期望略.
二、二项分布及其应用
（一）条件概率
〖例〗1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3个红球,现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱,然后从2号箱随机取出一球,问从2号箱取出红球的概率是多少?
解答:记事件A:最后从2号箱中取出的是红球;
事件B:从1号箱中取出的是红球.
P(B)=4/(2+4)=2/3,.P(A|B)=(3+1)/(8+1)=4/9.P(A|)=3/(8+1)=1/3.从而P(A)=P(AB)+P(A)= P(A|B) P(B)+ P(A|)P()=4/9×2/3+×=.
(二)事件的相互独立性
〖例〗甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空.比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止.设在每局中参赛者胜负的概率均为，且各局胜负相互独立.求：
（Ⅰ） 打满3局比赛还未停止的概率；
（Ⅱ）比赛停止时已打局数的分别列与期望.
解析：令分别表示甲、乙、丙在第局中获胜.
（Ⅰ）由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满3局比赛还未停止的概率为

（Ⅱ）的所有可能值为2，3，4，5，6，故有分布列

2
3
4
5
6
P

从而（局）.

(三)二项分布
〖例〗某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训,以提高下岗人员的再就业能力.每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训.已知参加过财会培训的有60%,参加过计算机培训的有75%,假设每个人对培训项目的选择是相互独立的,且各人的选择相互之间没有影响.
(1)任选1名下岗人员,求该人参加过培训的概率;
(2)任选3名下岗人员,记为3人中参加过培训的人数,求的分布列.
解答:(1)任选1名下岗人员,记“该人参加过财会培训”为事件A，“该人参加计算机培训”为事件B，由题意知，A与B相互独立，且P（A）=0.6,P(B)=0.75.所以,该下岗人员没有参加过培训的概率为
P()=P()·P()=(1-0.6)(1.0.75)=0.1
∴该人参加过培训的概率为1-0.1=0.9.
(2)的分布列为

0
1
2
3
P
0.001
0.027
0.243
0.729
(四)独立重复试验
〖例〗甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分布是和。假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响。
(1)求甲射击4次,至少有1次未击中目标的概率;
(2)求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率;
(3)假设某人连续2次未击中目标,则终止其射击.
问:乙恰好射击5次后,被终止射击的概率是多少?
解答:(1)记“甲连续射击4次至少有1次未击中目标”为事件.由题意,射击4次相当于作4次独立重复试验.故P()=1-P()=1-()4=,
所以甲连续射击4次至少有一次未击中目标的概率为
(2)记“甲射击4次，恰有2次击目标”为事件， “乙射击4次，恰有3次击中目标”为事件，
则
由于甲、乙射击相互独立，
故。
所以两人各射击4次，甲恰有2次击中目标且乙恰有3次击中目标的概率为。
（3）记“乙恰好射击5次后被终止射击”为事件，“乙第次射击未击中”为事件则由于各事件相互独立，故

所以乙恰好射击5次后被中止射击的概率为。

三、离散型随机变量的均值与方差的计算
〖例〗甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分。假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为且各人正确与否相互之间没有影响.用表示甲队的总得分.
（Ⅰ）求随机变量分布列和数学期望；
(Ⅱ)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB).
解答：根据题设可知
因此的分布列为
（Ⅱ）用表示“甲队得分”这一事件，用表示“已队得分”这一事件，由于事件为互斥事件，故事
（二）均值与方差的实际应用
〖例〗现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为、、；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中，价格下降的概率都是p(0<p<1)，设乙项目产品价格在一年内进行两次独立的调整。记乙项目产品价格在一年内的下降次数为X，对乙项目每投资十万元，X取0、1、2时。随机变量，分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润。
（1）求，的概率分布列和均值，；
（2）当＜时，求p的取值范围。
解答：（1）：的概率分布列为

1．2
1．18
1．17
P

=1．2×+1．18×+1．17×=1．18。
由题设得X～B（2，p），即X的概率分布列为
X
0
1
2
p
(1-p)2
2p(1-p)
P2
故的概率分布列为

1．3
1．25
0．2
P
(1-p)2
2p(1-p)
P2
所以的均值列为
=1．3×(1-p)2+1．25×2p(1-p)+ 0．2×P2=- P2-0.1p+1.3
(2)由＜,得- P2-0.1p+1.3＞1.18,整理得(p+0.4)(p-0.3) ＜0,解得-0.4＜p＜0.3.
因为0＜p＜1,当＜时,p的取值范围是0＜p＜0.3.
(三)均值与方差性质的应用
〖例〗设随机变量具有分布P(=k)=,k=1,2,3,4,5,求E(+2)2,D(2-1),(-1).
四、正态分布
（一）正态分布下的概率计算
〖例〗设X～N（5，1），求P（6＜X＜7）。
解答：由已知

由正态曲线的对称性可得P（3＜X＜4）= P（6＜X＜7）
∴P（6＜X＜7）=
（二）正态曲线的性质
〖例〗如图是一个正态曲线。

试根据该图象写出其正态曲线函数解析式，求出总体随机变量的期望和方差。
解答：从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x=20对称，最大值是，所以。，解得。于是正态分布密度函数的解析式是：
总体随机变量的期望是，方差是。
（三）正态分布的应用
〖例〗设在一次数学考试中，某班学生的分数服从，且知满分150分，这个班的学生共54人。求这个班在这次数学考试中及格（不小于90分）的人数和130分以上的人数。
解答：因为，所以
所以，的概率为
所以，的概率为0.6826+0.1587=0.8413.
所以及格的人数为54×0.8413≈45(人),130分以上的人数为54×0.1587≈9(人).
五、回归分析以及独立性检验的基本思想
例：关于与有如下数据：

　　2
　　4
　　5
　　6
　　8

　　30
　　40
　　60
　　50
　　70
为了对、两个变量进行统计分析，现有以下两种线性模型：，，试比较哪一个模型拟合的效果更好.
，，84.5%＞82%，所以甲选用的模型拟合效果较好.
例题2一台机器使用时间较长，但还可以使用.它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器运转的速度而变化，下表为抽样试验结果：
转速x(转/秒)
16
14
12
8
每小时生产有缺
点的零件数y(件）
11
9
8
5
（1） 对变量y与x进行相关性检验；
（2）如果y与x有线性相关关系，求回归直线方程；
（3）若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为10个，那么，机器的运转速度应控制在什么范围内？

11
用心 爱心 专心