东北育才2015-2016学年高二下学期第二次月考数学(文)试题.doc

2015-2016学年度下学期高二第二次阶段测试
数学（文科）试卷
答题时间：120分钟 满分：150分 命题人：杨冠男，刘芷欣
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合等于（ ）
A． B． C． D．
2.下列命题中，真命题是（ ）
A． B． C． D．
3. 函数的值域是（ ）．
A． B． C． D．
4. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是
A． B． C． D．
5.“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6． 下列说法正确的是
A．命题的否定是.
B．命题 “已知若则或”是真命题 .
C．“在上恒成立”在上恒成立”.
D．命题“若，则函数只有一个零点”的逆命题为真命题.
7．记函数在的值域在的值域为，若,则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
8．定义在实数集上的函数满足，.
现有以下三种叙述：①是函数的一个周期；②的图象关于直线对称；③是偶函数.其中正确的是 ( )
A．②③ B． ①② C．①③ D． ①②③
9.已知的定义在的函数，对任意两个不相等的正数，都有，记，则( )
A．　　 B．　　 C．　 D．
10．设函数是二次函数,,若函数的值域是,则函数的值域是( )
A. B. C. D.
11. 函数 的图像上关于原点对称的点有（ ）对
A. 0 B. 2 C. 3 D. 无数个
12.已知正实数满足，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.函数 的定义域为______________．
14.已知函数，则 .
15.定义：如果函数在定义域内给定区间上存在，满足，则称函数是上的“平均值函数”，是它的一个均值点.例如是上的平均值函数，0就是它的均值点，若函数是上的“平均值函数”，则实数m的取值范围是 .
16.已知，且对任意都有：
①； ②.则 .
三、解答题（本大题共6小题， 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. (本小题满分l2分)在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生互评．某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：
表1：男生 表2：女生
等级
优秀
合格
尚待改进
等级
优秀
合格
尚待改进
频数
15
x
5
频数
15
3
y
（1）从表二的非优秀学生中随机选取2人交谈，求所选2人中恰有1人测评等级为合格的概率；
（2）由表中统计数据填写2×2列联表（在答题纸上），并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”．
参考数据与公式：K2=，其中n=a+b+c+d．
临界值表：
P（K2＞k0）
0.1
0.05
0.01
k0
2.706
3.841
6.635
18.(本小题满分l2分)已知命题关于实数的方程的一根比1大另一根比1小；命题函数在区间上有零点．
（1）命题真，假，求实数的取值范围．
（2）当命题为真时，实数的取值集合为集合，若命题：为真，则求实数的取值范围．
19．(本小题满分l2分)已知函数．
（1）若为偶函数，求的值；
（2）若在区间上是增函数，试求应满足的条件．
20．(本小题满分l2分)已知函数满足条件：①；②对一切，都有．
（1）求的值；
（2）是否存在实数，使函数在区间上有最小值？若存在，请求出实数的值；若不存在，请说明理由．
21． (本小题满分l2分)已知函数
（1）当时，求的最大值；
（2）当时，设是两个极值点，且（其中为自然对数的底数）．
求证：
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答请写清题号。
22．(本小题满分l0分)选修4﹣1：几何证明选讲
如图，已知是的切线，是切点，直线交于两点，是的中点，连接并延长交于点，若
（1）求的大小；
（2）求的长．
23. (本小题满分l0分)选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，直线的方程为，曲线的参数方程为．
（1）已知在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，点的极坐标为，判断点与直线的位置关系；
（2）设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最小值．
24. (本小题满分l0分)选修4—5：不等式选讲
已知函数
（1）求不等式的解集；
（2）若存在使得，求实数的取值范围．
2015-2016学年度下学期高二第二次阶段测试
数学（文科）试卷
答题时间：120分钟 满分：150分 命题人：杨冠男，刘芷欣
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合等于（ ）
A．B．C．D．

2.下列命题中，真命题是
（A） （B）
（C） （D）
3.函数的值域是（ ）．B
（A）(0，–2] （B）[–2，+∞)
（C）(–∞，–2] （D）[2，+∞)
4.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是C
A. B. C. D.
5“”是“”的D
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6. 下列说法正确的是
A．命题“，”的否定是“，”
B．命题 “已知，若，则或”是真命题
C．“在上恒成立”“在上恒成立”
D．命题“若，则函数只有一个零点”的逆命题为真命题
A、
7、记函数在的值域在的值域为，若,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
C
8．定义在实数集上的函数满足，.
现有以下三种叙述：①是函数的一个周期；②的图象关于直线对称；③是偶函数.其中正确的是 ( )
A．②③ B. ①② C．①③ D. ①②③
D
9、已知的定义在的函数，对任意两个不相等的正数，都有，记，则( )
A. B. C. D.
C
10.设函数是二次函数,,若函数的值域是,则函数的值域是( )
A. B. C. D.
B
11．函数 的图像上关于原点对称的点有（ ）对
A. 0 B. 2 C. 3 D. 无数个
B
12.已知正实数满足，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
D
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.函数的定义域为______________．
答案
14、已知函数，则 .
15

15、定义：如果函数在定义域内给定区间上存在，满足，则称函数是上的“平均值函数”，是它的一个均值点.例如是上的平均值函数，0就是它的均值点，若函数是上的“平均值函数”，则实数m的取值范围是 .
(0，2)
16、已知，且对任意都有：
①； ②.则 .
.

三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2016•河南模拟）在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生互评．某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：
表1：男生 表2：女生
等级
优秀
合格
尚待改进
等级
优秀
合格
尚待改进
频数
15
x
5
频数
15
3
y
（1）从表二的非优秀学生中随机选取2人交谈，求所选2人中恰有1人测评等级为合格的概率；
（2）由表中统计数据填写下边2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”．

男生
女生
总计
优秀

非优秀

总计

参考数据与公式：
K2=，其中n=a+b+c+d．
临界值表：
P（K2＞k0）
0.05
0.05
0.01
k0
2.706
3.841
6.635
【解答】解：（1）设从高一年级男生中抽出m人，则=，m=25，
∴x=25﹣20=5，y=20﹣18=2，
表2中非优秀学生共5人，记测评等级为合格的3人为a，b，c，尚待改进的2人为A，B，
则从这5人中任选2人的所有可能结果为：（a，b）（a，c）（b，c）（A，B）（a，A），（a，B），（b，A）（，b，B），（c，A）（c，B），共10种．
设事件C表示“从表二的非优秀学生5人中随机选取2人，恰有1人测评等级为合格”，
则C的结果为：（a，A），（a，B），（b，A）（，b，B），（c，A）（c，B），共6种．
∴P（C）==，故所求概率为．

男生
女生
总计
优秀
15
15
30
非优秀
10
5
15
总计
25
20
45
（2）
∵1﹣0.9=0.1，p（k2＞2.706）=0.10，
而K2====1.125＜2.706，
所以没有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”．
思路点拨（1）由题意可得非优秀学生共5人，记测评等级为合格的3人为a，b，c，尚待改进的2人为A，B，则从这5人中任选2人的所有可能结果为10个，设事件C表示“从表二的非优秀学生5人中随机选取2人，恰有1人测评等级为合格”，则C的结果为6个，根据概率公式即可求解．（2）由2×2列联表直接求解即可．

18．（2016春•宝应县期中）已知命题p：关于实数x的方程4x2﹣4mx+m2﹣1=0的一根比1大另一根比1小；命题q：函数f（x）=2x﹣1﹣m在区间（2，+∞）上有零点．
（1）命题“p或q”真，“p且q”假，求实数m的取值范围．
（2）当命题P为真时，实数m的取值集合为集合M，若命题：∀x∈M，x2﹣ax+1≤0为真，则求实数a的取值范围．
【解答】解：∵命题p：关于实数x的方程4x2﹣4mx+m2﹣1=0的一根比1大另一根比1小，
∴4﹣4m+m2﹣1＜0，解得：1＜m＜3；
∵命题q：函数f（x）=2x﹣1﹣m在区间（2，+∞）上有零点，
∴22﹣1﹣m＜0，解得：m＞2；
（1）命题p：1＜m＜3．命题q：m＞2，
由题意知，命题p、q应一真一假，
即命题p为真，命题q为假或命题p为假，命题q为真，
∴或，
解得：m≥3或1＜m≤2；
（2）当命题P为真时，实数m的取值集合为集合M，
则M=（1，3），
若命题：∀x∈M，x2﹣ax+1≤0为真，
即a≥x+在x∈（1，3）恒成立，
而x+的最大值是，
故a≥．

19．（2015•松江区一模）已知函数f（x）=a|x+b|（a＞0，a≠1，b∈R）．
（1）若f（x）为偶函数，求b的值；
（2）若f（x）在区间[2，+∞）上是增函数，试求a、b应满足的条件．
【解答】解：（1）因为f（x）为偶函数，∴对任意的x∈R，都有f（﹣x）=f（x），
即a|x+b|=a|﹣x+b|，所以|x+b|=|﹣x+b|
得 b=0．

（2）记h（x）=|x+b|=，
①当a＞1时，f（x）在区间[2，+∞）上是增函数，即h（x）在区间[2，+∞）上是增函数，
∴﹣b≤2，b≥﹣2
②当0＜a＜1时，f（x）在区间[2，+∞）上是增函数，即h（x）在区间[2，+∞）上是减函数
但h（x）在区间[﹣b，+∞）上是增函数，故不可能
∴f（x）在区间[2，+∞）上是增函数时，a、b应满足的条件为a＞1且b≥﹣2

20．（2015秋•汕头校级期末）已知函数f（x）=ax2﹣x+c（a，c∈R）满足条件：①f（1）=0；②对一切x∈R，都有f（x）≥0．
（1）求a、c的值：
（2）是否存在实数m，使函数g（x）=f（x）﹣mx在区间[m，m+2]上有最小值﹣5？若存在，请求出实数m的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）当a=0时，．
由f（1）=0得：，即，∴．
显然x＞1时，f（x）＜0，这与条件②相矛盾，不合题意．
∴a≠0，函数是二次函数． …（2分）
由于对一切x∈R，都有f（x）≥0，于是由二次函数的性质可得

即（*）…（4分）
由f（1）=0得 ，即，代入（*）得 ．
整理得 ，即．
而，∴．
将代入（*）得，，
∴． …（7分）
另解：（Ⅰ）当a=0时，．
由f（1）=0得 ，即，
∴．
显然x＞1时，f（x）＜0，这与条件②相矛盾，
∴a≠0，因而函数是二次函数． …（2分）
由于对一切x∈R，都有f（x）≥0，于是由二次函数的性质可得

即 …（4分）
由此可知 a＞0，c＞0，
∴．
由f（1）=0，得 ，代入上式得 ．
但前面已推得 ，
∴．
由 解得 ． …（7分）
（Ⅱ）∵，∴．
∴．
该函数图象开口向上，且对称轴为x=2m+1． …（8分）
假设存在实数m使函数在区间[m，m+2]上有最小值﹣5．
①当m＜﹣1时，2m+1＜m，函数g（x）在区间[m，m+2]上是递增的，
∴g（m）=﹣5，
即 ，
解得 m=﹣3或m=．
∵＞﹣1，∴m=舍去． …（10分）
②当﹣1≤m＜1时，m≤2m+1＜m+1，函数g（x）在区间[m，2m+1]上是递减的，而在区间[2m+1，m+2]上是递增的，
∴g（2m+1）=﹣5，
即 ．
解得 m=或m=，均应舍去． …（12分）
③当m≥1时，2m+1≥m+2，函数g（x）在区间[m，m+2]上是递减的，
∴g（m+2）=﹣5，
即 ．
解得 m=或m=，其中m=应舍去．
综上可得，当m=﹣3或m=时，函数g（x）=f（x）﹣mx在区间[m，m+2]上有最小值﹣5．

21.（2014•武汉模拟）已知函数f（x）=alnx+bx2﹣（b+a）x．
（Ⅰ）当a=1，b=0时，求f（x）的最大值；
（Ⅱ）当b=1时，设α，β是f（x）两个极值点，且α＜β，β∈（1，e]（其中e为自然对数的底数）．求证：对任意的x1，x2∈[α，β]，|f（x1）﹣f（x2）|＜1．
【解答】（Ⅰ）解：当a=1，b=0时，f（x）=lnx﹣x（x＞0），
导数f′（x）=，当x＞1时，f′（x）＜0，
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，
∴x=1时，函数取极大值，也为最大值，且为﹣1；
（Ⅱ）证明：当b=1时，f（x）=alnx+x2﹣（1+a）x，
导数f′（x）=+x﹣（1+a）=（x＞0），
∵α，β是f（x）两个极值点，且α＜β，β∈（1，e]，
∴α=1，β=a，（1＜a≤e），
∴当1＜x＜a时，f′（x）＜0，即函数f（x）递减，
当x＞a或0＜x＜1，f′（x）＞0，即函数f（x）递增，
∵任意的x1，x2∈[α，β]，则函数f（x）在该区间内是减函数，
∴f（1）最大且为﹣（1+a），f（a）最小且为alna+a2﹣（1+a）a，
∴|f（x1）﹣f（x2）|≤f（1）﹣f（a）=﹣（1+a）﹣alna﹣a2+（1+a）a
=（a2﹣1）﹣alna，
令g（x）=（x2﹣1）﹣xlnx（1＜x≤e）
则g′（x）=x﹣1﹣lnx，g′（1）=0，g′（e）=e﹣1﹣1＞0，
∴g（x）在（1，e]上递增，
故g（x）≤（e2﹣1）﹣elne=，即（a2﹣1）﹣alna≤，
而＜1，
∴|f（x1）﹣f（x2）|＜1．
22．（2016•衡阳县模拟）选修4﹣1：几何证明选讲
如图，已知PA是⊙O的切线，A是切点，直线PO交⊙O于B、C两点，D是OC的中点，连接AD并延长交⊙O于点E，若PA=2，∠APB=30°．
（Ⅰ）求∠AEC的大小；
（Ⅱ）求AE的长．

【解答】解：（Ⅰ）连接AB，因为：∠APO=30°，且PA是⊙O的切线，
所以：∠AOB=60°；
∵OA=OB
∴∠AB0=60°；
∵∠ABC=∠AEC
∴∠AEC=60°．
（Ⅱ）由条件知AO=2，过A作AH⊥BC于H，则AH=，
在RT△AHD中，HD=2，∴AD==．
∵BD•DC=AD•DE，
∴DE=．
∴AE=DE+AD=．

23．（2016•怀化二模）在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x﹣y+4=0，曲线C的参数方程为．
（1）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为，判断点P与直线l的位置关系；
（2）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．
【解答】解：（1）∵曲线C的参数方程为，
∴曲线C的普通方程是，
∵点P的极坐标为，
∴点P的普通坐标为（4cos，4sin），即（0，4），
把（0，4）代入直线l：x﹣y+4=0，
得0﹣4+4=0，成立，
故点P在直线l上．
（2）∵Q在曲线C：上，（0°≤α＜360°）
∴到直线l：x﹣y+4=0的距离：

=，（0°≤α＜360°）
∴．

24．（2016•洛阳二模）已知函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．
（1）求不等式f（x）＞0的解集；
（2）若存在x0∈R，使得f（x0）+2a2＜4a，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|=，令f（x）=0，求得x=﹣，或 x=3，
故不等式f（x）＞0的解集为{x|x＜﹣，或x＞3}．
（2）若存在x0∈R，使得f（x0）+2a2＜4a，即f（x0）＜4a﹣2a2 有解，
由（1）可得f（x）的最小值为f（）=﹣3•﹣1=﹣，故﹣＜4a﹣2a2 ，
求得﹣＜a＜．