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三 平面与圆锥面的截线

知识·巧学
在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于O点,其夹角为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l交角为β（π与l平行，记β＝0），则：
（1）β=，平面π与圆锥的交线为圆；
（2）β＞α，平面π与圆锥的交线为椭圆；
（3）β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线；
（4）β＜α，平面π与圆锥的交线为双曲线.

图3-3-2
问题·探究
问题 椭圆为封闭图形，双曲线、抛物线为不封闭图形，其图形不一样，但它们都可以用平面截对顶圆锥面得到，它们都满足曲线上的点到焦点的距离与到准线的距离之比为常数，即离心率e，定义上的统一，必然也蕴含着图形统一，应该如何解释这种现象呢？
思路:三条圆锥曲线都为封闭图形，其形状都为椭圆，所以，圆锥曲线在图形上依然存在着统一.探究:我们知道，椭圆时离心率e越大，椭圆越扁；双曲线时离心率e越大，双曲线开口越大.随着e的增大，椭圆越变越扁，但左半部分开口越来越大，左顶点离l越来越近，而右顶点离F点越来越远；当e趋近于1时，左顶点趋近于F与l间的中点，而右顶点趋向无穷远处；当e=1时，我们可以大胆地认为右顶点在无穷远处，此时曲线变为抛物线；当e＞1时，开口越来越大，右顶点超过无穷远处并开始返回，此时曲线变为双曲线两支，或认为双曲线两支无限延伸交于无穷远处，如图3-3-3.

图3-3-3
于是我们可以猜想：三条圆锥曲线都为封闭图形，其形状都为椭圆，所以，圆锥曲线在图形上依然存在着统一,这是一种无限的思想.
因为顶点（曲线与两个坐标轴的交点）如A1是圆锥曲线上的点，所以满足=e，当e→1时，A1向中点靠近；当e=1时，A1位于中点；当e→＋∞时，A1向N靠近.这里A1只是的内分点，其实满足=e还有一个外分点，即另一顶点A2，满足=－e.当e<1时，圆锥曲线为椭圆，所以它的外分点A2位于NF的延长线上；当e→1时，A2离F点越远；当e=1时，外分点不存在，或者我们就可以理解为A2位于无穷远处，所以抛物线只有一个顶点；当e>1时，圆锥曲线为双曲线，外分点A2位于NF的反向延长线上；e→＋∞时，A2从左侧向N靠近.
这也揭示了为什么椭圆有两个顶点，抛物线只有一个顶点，双曲线有两个顶点，及它们之间的区别，你可以由此进一步理解圆锥曲线的内在统一性.
典题·热题
例利用Dandelin双球（这两个球位于圆锥的内部，一个位于平面π的上方，一个位于平面的下方，并且与平面π及圆锥均相切）,证明β＞α，平面π与圆锥的交线为椭圆.

图3-3-4
思路分析：点A到点F的距离与点A到直线m的距离比小于1.
证法一：利用椭圆第一定义，证明FA＋AE=BA＋AC=定值，详见课本.
证法二：①上面一个Dandelin球与圆锥面的交线为一个圆，并与圆锥的底面平行，
记这个圆所在平面为π′；②如果平面π与平面π′的交线为m，在图中椭圆上任取一点A，该Dandelin球与平面π的切点为F，则点A到点F的距离与点A到直线m的距离比是（小于1）.（称点F为这个椭圆的焦点，直线m为椭圆的准线，常数为离心率e）
深化升华 利用②可以证明截线为抛物线、双曲线的情况，以离心率的范围为准.
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