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2013-2014学年第二学期
《线性代数》期末考试复习大纲及复习题
期末考试题型：判断(约占30%)与选择(约占70%)
期末考试形式：开卷
期末复习各章重点
第一章 知道行列式的定义并会用定义计算简单的行列式，比如对角行列式，三角行列式；熟练掌握行列式的性质并会用行列式的性质计算行列式，熟练掌握行列式的依行依列展开定理并会用行列式的依行依列展开定理计算行列式。
第二章 掌握向量线性相关与线性无关的定义并会用定义判断向量组相关与无关；会求向量组的极大无关组以及用极大无关组表示其余的向量；熟悉线性方程组解的一般理论，掌握线性方程组解的性质；掌握矩阵的初等变换并会用初等变换求解线性方程组；会用初等变换求矩阵的秩.
第三章 熟悉矩阵的运算性质，特别是矩阵乘法的特殊性（不满足交换律，不满足消去律），知道分块矩阵；掌握逆矩阵的定义、伴随矩阵的概念以及关系式 ，会用伴随矩阵和初等变换求矩阵的逆矩阵；了解初等矩阵及其性质,会解简单的矩阵方程。
第四章 知道向量空间的定义，掌握基变换公式和向量坐标变换公式。
第五章 掌握矩阵的特征值与特征向量的概念及特征值与特征向量的性质，以及矩阵能够对角化的条件（必要条件、充分条件），会判断一个矩阵能否对角化；熟练掌握相似矩阵的概念及其性质。
第六章 掌握二次型的概念，掌握二次型与矩阵的对应关系，掌握合同矩阵的概念，会判断
简单矩阵的合同，掌握二次型正定负定的条件并会判定二次型是否正定。

复习题
注：判断题答案中的A代表结论是对的，B代表结论是错的。

第一章 行列式

一、 判断题
1．三阶行列式，则
= 3 （ A ）
2．三阶行列式，则
= 12 （B）
3. 行列式 （-16） （ A ）
4. 行列式 （0） （ B ）
5. 行列式 （8） （ B ）
6. 行列式 （-4） （ A ）
7．三阶行列式 （A）
8．三阶行列式 （B）
9．行列式 （ A ）
10．四阶行列式 （A）
11．四阶行列式 （ A ）
12．四阶行列式 （ A ）
13．四阶行列式 （ A ）

详解：
解1 直接按照第三列展开

解2 化简后按照第三列展开
(第2行乘以3加到第3行）=

计算方法小结
选择零元素较多的行（列）直接按照公式展开，如本例解法1，将四阶行列式降阶为两个三阶行列式；
也可以用行列式的性质，将某行（列）化为只有一个零元素，再将行列式按照公式展开，如本例解2，将四阶行列式降阶为一个三阶行列式，解法2比解法1简单。

14．三阶行列式 （B）

15. 行列式 （-8） （ A ）
16．已知三阶行列式D=，则元素=2的代数余子式= -1 ； （ B ）
17．已知三阶行列式D=，则元素=2的代数余子式= 1 ； （ A ）
18. 三阶行列式中，元素. （ A ）
19.行列式 （ A ）
20.行列式 （ B ）
21.行列式 （ B ）
22.行列式 （ B ）
23． 行列式 （-1） （ A ）
24． 行列式 （ 1 ） ( B )
25. 四阶行列式 . （ A ）
26. 四阶行列式 . （ B ）
27. 四阶行列式 . （ A ）
28．若三阶行列式，则= 3 （ B ）
29．若三阶行列式，则= 6 （ A ）

30．若方程组有非零解，则t=1或-2 。 （ A ）
31．若方程组有非零解，则t=-1或2 。 （ B ）
32．已知齐次线性方程组 仅有零解，则 0 （ A ）
33．已知齐次线性方程组 仅有零解，则0 （ B ）

二、 单项选择题
34. 行列式 （ ）。
（A） -12 （B） -24 （C） 32 （D） 72
答 应选（C）
35. 行列式 （ ）。
（A） -12 （B） -24 （C） 32 （D） -32
答 应选（D）

36. 行列式 （ ）。
（A） -12 （B） -7 （C） 32 （D） 72
答 应选（B）

37．若三阶行列式D的第三行的元素依次为1、2、3，它们的余子式分别为2、3、4，
则D=（ ）
A、-8 B、8 C、-20 D、20
答 应选（B）
38. 若则 （ ）.

答 应选（B）
39. 设A为n阶方阵，且|A|=4，则|A|=_______ 。
（A） ； （B）； （C） ； （D）。
答 应选（A）
40. 行列式的值为 （ ）
（A） -12 （B） -24 （C） 36 （D） 72

答 应选（C）
41. 已知行列式 （ ）
（A） -24 （B） （C） （D） 24
答 应选（C）
42.若行列式_________。
（A）12 （B）-12
（C）6 （D）-6
答 应选（D）
43．设

（A）．-43； （B）. -63； （ C.） 43； （ D.） 63.
答 应选（C）
44．设行列式，则第四行各元素的余子式之和 A 。
（A）．-28； （B）. -33； （ C.） 23； （ D.） 26.
答 应选（A）
45．行列式的充分必要条件是（ ）。

答 应选（C）
因为
46. 下列行列式恒等于零的是（ ）

答 应选（C）
47. 齐次线性方程组有非零解，则必须满足（ ）。

答 应选（D）
48. 行列式的值是（ ）。

分析：该行列式的展开式也只有一项非零，即，该项当行标按照自然顺序排列时，列标的排列逆序是所以选择（D）。
答 应选（D）
49. 行列式的值是（ ）。

分析：该行列式的展开式中非零项是：，该项当行标按照自然顺序排列时，列标的排列逆序是所以选择（C）。
答 应选（C）

第二章 线性方程组与n维向量

一、 判断题
1. 如果A是n阶矩阵且，则A的列向量中至少有一个向量是其余各列向量的线性组合。 （ A ）
2. 如果A是n阶矩阵且，则A的行向量组线性无关。 （ B ）
3. 向量组线性无关的充分必要条件是其中任一部分向量组都线性无关。（ A ）
4. 向量组线性相关的充分必要条件是其中任一部分向量组都线性相关。（ B ）
5．已知向量组则当a= 1 或a= 2 时向量组线性相关。 （ A ）
6．已知向量组则当a= 3时向量组线性无关。 （ A ）
7．已知向量组则当a=4 时向量组线性相关。 （ B ）
8．若为非齐次线性方程组的两个解，则为线性方程组
的解； （ A ）
9．若为非齐次线性方程组的两个解，则为线性方程组
的解； （ B ）
10．若为非齐次线性方程组的两个解，则为线性方程组
的解； （ A ）
11． 设则对任意的t值，向量组线性相关。 （ A ）
12． 设则对任意的t值，向量组线性无关。 （ B）
13． 设，则当t=5时，向量组线性相关。（ A ）
14． 设，则当t=5时，向量组线性无关。（ B ）
15． 设，则当t=3时，向量组线性无关。（ A ）
16． 向量组线性相关。 （ B ）
17． 向量组线性无关。 （ A ）
18． 向量组线性相关。 （ A ）
19． 向量组线性无关。 （ B ）
20．设向量当时有 （ A ）
21．如果，则中任意r个向量都线性无关。 ( B )
22．如果，则矩阵A的所有阶子式都等于零， （ B）
23．如果，则矩阵A的所有阶子式都等于零， （ A ）
24．如果，则矩阵A至少有一个不为零的阶子式。 （ A ）
25． 已知向量组可以由向量组线性表示： 则这两个向量组等价。 ( A )
26． 齐次线性方程组的解空间的维数是1。 （ A )
27．如果向量组可以由向量组线性表示，则
( A )
28．设有m维向量组(I)：a1，a2,…，an，当m<n时，(I)一定线性相关。 ( A )

二、 单项选择题

29．若线性方程组的增广矩阵经初等行变换化为

当（ ）时，此线性方程组有惟一解
A、-1,0 B、0,1 C、-1,1 D、1,2
答 应选（B）
30．设矩阵______1__ 。
（A）0； （B）3； （C）1； （D）4。
答 应选（C）

详解：
因为，所以只须求出矩阵A的秩，就可以得到
矩阵A的秩的计算可以通过初等变换进行，将矩阵化为阶梯型得
由阶梯型矩阵可知矩阵A的秩
31．设A、B均为三阶矩阵，且┃A┃=4，┃B┃=-2，则=_______。
（其中为矩阵A的伴随矩阵）

答 应选（A）
32. 已知则下列向量中能由线性表示的是（ ）。
A.（1，0，0） B.（0，1，1） C.（1，1，0） D.（0，1，0）
答 应选（C）
33.下列命题中，错误的是( B )
(A) 若线性无关，则常数必全为零
(B) 若线性无关，则常数必不全为零
(C) 若对任何不全为零的数，都有线性无关
(D) 若线性相关，则必存在无穷多组不全为零的数，使
答 应选（B）

34. 方程组的一组基础解系由（ ）个解向量组成.
A. 2 B. 1 C. 3 D. 0
答 应选（A）
35．已知线性方程组，参数k= ________时，方程组有无穷多解。

A. 2 B. 1 C. 3 D. 0
答 应选（A）
解：写出方程组的增广矩阵并进行

讨论：当=0，即时，

这时，所以方程组有无穷多解。
36．当上题中的方程组有无穷多解时，其导出组的基础解系为________ 。
A. B. C. D.
答 应选（A）

解：对系数矩阵的导出组进行

取为自由未知量，令=1得到基础解系为。
37. 方程组的解是 （ ）

答 应选（B）

38. 若齐次线性方程组

有非零解，则（ ）

答 应选（D）
39. 设有方程组与
下列结论不成立的是（ ）

答 应选（D）
因为，

40. 设有向量组：则向量线性表示为（ ）

答 应选（A）
41. 设有向量组：则向量线性表示为（ ）

答 应选（D）
42. 设向量组线性表示为

则向量线性表示为（ ）

答 应选（B）
43. 设有两个向量组（I）和(II) ,则下列结论中正确的是

答 应选（C）

三、 讨论题：
当为何值时，齐次线性方程组

仅有零解？有非零解？在方程组有非零解时，求其全部解。
解 方程组的系数行列式

由此可知
(1) 当时，，这时方程组仅有零解
(2) 当时，对原方程组的增广矩阵进行初等行变换有

由此可知，当，为任意数时，方程组有无穷多解，其全部解为
为任意常数）
(3) 当时，对原方程组的增广矩阵进行初等行变换有

由此可知，当，为任意数时，方程组有无穷多解，其全部解为
（为任意常数）
第三章 矩阵

一、 判断题
1．设A，B为n阶可逆矩阵，则。 ( B )
2．设A，B为n阶可逆矩阵，则 ( B )
3．设A，B为n阶可逆矩阵，则 ( B )
4．设A，B为n阶可逆矩阵，则。 ( B )
5．设A，B为n阶可逆矩阵，则。 ( A )
6．设A为n阶矩阵，则。 ( A )
7．设A为n阶矩阵，则。 ( A )
8．设A为n阶矩阵，则。 ( A )
9.若n阶矩阵A、B、C满足ABC=E（其中E为n阶可逆阵），则BCA=E。 （ A ）
10.若n阶矩阵A、B、C满足ABC=E（其中E为n阶可逆阵），则BAC=E。 （ B ）
11．若则 （ B ）
12．若则 （ A ）

13． 设A为n阶可逆矩阵，则。 ( B )
14．对任意阶方阵，若，则一定有。 ( B )
15．对任意阶方阵，若，则一定有。 ( B )
16．对任意阶方阵 若，则一定有。 ( A )
17．设A、B为同阶可逆矩阵，则(A+B)-1=A-1+ B-1。 ( B )
18．设A，B为n阶可逆矩阵，则。 ( A )
二、 单项选择题与计算题

19. 已知，求，，
答案 ， ，
20．设矩阵，且满足方程2A+X=B-2X，求矩阵X.
答案
21.设3阶方阵为三维行向量，，则必有

答 应选（C）
提示：由矩阵的初等变换与初等矩阵的关系可知，将矩阵A的第一行加到第三行，相当于用同种的初等矩阵左乘矩阵A，再将得到的矩阵第一行和第二行互换，相当于用同种的初等矩阵左乘矩阵，即。
22. 设矩阵（ ）。

答 应选（A）
23. 设矩阵
（ ）。

答 应选（C）
24. 已知矩阵则矩
（ ）。
答 应选（B）
25. 已知矩阵

答 应选（D）
26. 已知矩阵

答 应选（D）
27. 已知矩阵

答 应选（A）
28. 若有

答 应选（A）
29. 第二行第三列的元素是（ ）。

答 应选（D）
30. 为n阶方阵，是经过若干次初等变换得到的矩阵，则有
则则
答 应选（C）
31. 若矩阵为可逆矩阵，则矩阵方程的解为（ ）。

答 应选（B）
32. 设矩阵为二阶单位阵,则下列各矩阵中可逆矩阵是（ ）

答 应选（B）

第四章 向量空间

一、 判断题

1. 向量在基，，下的坐标为. （ A ）
2. 向量在基，，下的坐标为. （ B ）
3．已知三维空间的两组基为：
， ，
， ，
则由基，，到基，，的过渡矩阵为（ ）. （ A ）
4．已知三维空间的两组基为：
， ，
， ，
则由基，，到基，，的过渡矩阵为（ ）. （ B ）
5．设
，则关于基的坐标为___（1，-2，3）和（-1，5，-3）。 （ A ）
6．设
，则关于基的坐标为___（1，-2，3）和（1，-5，3）。 （ B ）
7．向量组，，单位正交化后为
（，，）。 （ A ）

8．向量组，，单位正交化后为（ ，， ）. （ A ）
9．向量的长度为（）。 （ A ）
10．向量的长度为（）。 （ A ）
11．向量的长度为（）。 （ B ）
12．向量的长度为（）。 （ B ）
13．向量与的内积为（2）. （ A ）

二、 单项选择题

1．设的一组标准正交基为，，，则向量在基，，下的坐标是（ ）.
A、（1，0，－2） B、（－2，0，1） C、（0，1，－2） D、（0，－2，1）
答 应选（D）。

第五章 矩阵的特征值和特征值向量

一、 判断题

1. n阶矩阵A与B可逆，则A与B相似。 （ B ）
2．阵A与其转置具有相同的行列式和特征值。 （ A ）
3．阵A与其转置具有相同特征值和特征值向量。 （ B ）
4．如果n阶矩阵 A的行列式┃A┃=0，则A至少有一个特征值为零 。 （ A ）
5．如果n阶矩阵 A的行列式┃A┃=0，则A的特征值都为零 。 （ B ）
6． 矩阵的特征值为。 （ A ）
7． 矩阵的特征值为。 （ B ）
8． 设A为n 阶矩阵，且则A的特征值为 （ A ）
9． 若l是正交矩阵A的特征值，则也是矩阵A的特征值。 ( A )

10．正交矩阵如果有实特征值，则该特征值为1或-1。( A)
11. n阶矩阵A与B相似，则A与B同时可逆或同时不可逆。 （ A ）

二、 单项选择题
12．与矩阵相似的矩阵为（ ）
（A）； （B）； （C）； （D）。
答 应选（C）
13． 矩阵的特征值是（ ）
A、，； B、，；
C、，； D、，。
答 应选（C）。

14． 阶矩阵可以对角化的充分必要条件是（ ）。
A、有个不全相同的特征值； B、有个线性无关的特征向量；
C、有个不相同的特征向量； D、有个不全相同的特征值。
答 应选（B）

15．设λ=2是非奇异矩阵A的一个特征值，则矩阵有一个特征值等于 B 。
（A）； （B）； （C）； （D）
16．设-3是三阶实对称矩阵A的二重特征值，且A的迹tr（A）=-1，那么的特征
值为_____1/5，-1/3，-1/3___ 。

17．已知三阶可逆方阵A的特征值是1，2，-3，则E+的特征值是( B )。（其中E为三阶单位矩阵）
（A）1，，; （B）2，，; （C）2，，； （D），，.
答 应选（B）

18. 设=，则向量 （ ）是的属于特征值的一个特征向量。
（A）； （B）； （C）； （D）
答 应选（C）

第六章 二次型

一、 判断题
1． 矩阵是正定的。 （ A ）
2． 矩阵是正定的。 （ B ）

二、 单项选择题

3. 二次型的矩阵为
（A）； （B）； （C）； （D）。
答 应选（D）
4 .已知三元二次型的矩阵为，则二次型=（ ）
答 应选（D）

5. 设二次型，则当（ ）时该二次型正定。

答 应选（A）

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