第二十六章 二次函数.doc

第二十六章 二次函数
26.1 二次函数及其图象
第1课时
26.1.1 二次函数
授课时间2012年12月 日
学习目标：1.了解二次函数的概念，知道二次函数的一般形式；
2.会列简单的二次函数解析式.
一、复习巩固
1. 正比例函数的一般形式是： ，一次函数的一般形式是 。
2．一元二次方程的一般形式是：　　　　　　　　　　　　　。
二、新课导学（阅读课本P1、2、3页）
问题1：正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x ，表面积为 y ，则 y 关于x 的关系式为＿＿＿＿＿＿＿.
问题2：多边形的对角线总数 d 与边数 n 有什么关系？
n边形有＿＿＿个顶点，从一个顶点出发，连接与这点不相邻的各顶点，可作＿＿＿＿条对角线.因此，n边形的对角线总数＿＿＿＿＿
此式表示了多边形的对角线总数d与边数n之间的关系，对于n的每一个值,d都有一个对应值，即d是n的函数.
问题3: 某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？
这种产品的原产量是20件，一年后的产量是_______件，再经过一年后的产量是_____________件，即两年后的产量为： .
1、定义：我们把形如y=ax²+bx+c(其中a,b,c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数，其中x是自变量， 是二次项系数、　　是二次项，
　　是一次项系数，　　是一次项，　　常数项.例如：的二次项系数、一次项系数和常数项分别是 。
2、应用举例
例1写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数
（1）写出正方体的表面积S（cm2）与正方体棱长a（cm）之间的函数关系；
（2）写出圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数关系；
（3）菱形的两条对角线的和为26cm，写出菱形的面积S（cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系

三、达标检测：
1.正方形边长为x（cm），它的面积y（cm）是多少？

2.矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长增加x厘米，宽增加2x厘米,则面积增加到y平方厘米，试写出y与x的关系式．

3.若函数 为二次函数，求m的值.

四、随堂练习
1.如果函数是二次函数,则k的值一定是 ，
2.如果函数是二次函数,则k的值一定是___ ___.
3.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m²)与矩形一边长a(m)之间的关系是什么？是函数关系吗？是哪一种函数？

4.某工厂计划为一批长方体形状的产品涂上油漆,长方体的长和宽相等,高比长多0.5m.
(1)长方体的长和宽用x(m)表示,长方体需要涂漆的表面积S(m2)如何表示?
(2)如果涂漆每平米所需要的费用是5元,涂漆每个长方体所需要费用用y(元)表示,那么y的表达式是什么?

5.体育课上，老师用绳子围成一个周长为30米的游戏场地，围成的场地是如图所示的矩形ABCD．设边AB的长为x（单位：米），矩形ABCD的面积为S（单位：平方米）．
（1）求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）若矩形ABCD的面积为50平方米，且AB＜AD，请求出此时AB的长.

五、知识小结
定义中应该注意的几个问题:
1.定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数.
y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式:
(1)y=ax²(a≠0,b=0,c=0,).
(2)y=ax²+c(a≠0,b=0,c≠0).
(3)y=ax²+bx (a≠0,b≠0,c=0).
2.定义的实质是：ax²+bx+c是整式,自变量x的最高次数是二次,自变量x的取值范围是全体实
六、练习、P3-练习1、2T
课外作业：P14-1、2T

第2课时
26.1.2 二次函数的图象
授课时间2012年12月 日
一、学习目标
1.知道二次函数的图象是抛物线；
2.会画y=ax的图象，并能结合图象理解y=ax的性质.
二、复习巩固
1、什么叫二次函数？它的一般形式是
2、一次函数的图象是一条 ，反比例函数的图象是 ，二次函数的图象是什么形状呢？通常用 法画一个函数的图象？
三、新课导学
阅读课本P4-6内容
你会用描点法画二次函数y=的图象吗?
观察y=的表达式,选择适当x值,并计算相应的y值，完成下表：
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=x
…

…

二次函数y=的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线.这条抛物线关于y轴对称,y轴就是它的对称轴. 对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点,顶点是抛物线的最低点或最高点.
应用举例
例1 在同一直角坐标系中，画出函数y＝x2，y＝x2，y＝2x2的图象(在坐标纸1中画)
解：列表并填：
x
…
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
…
y＝x2
…

…
y＝x2的图象刚画过，再把它画出来．
x
…
－2
－1.5
－1
－0.5
0
0.5
1
1.5
2
…
y＝2x2
…

…

（1) (2)

y=2x2

当a＞0时，抛物线y=ax的对称轴
,是 轴，顶点是 ，开口向
顶点是抛物线的最 点，即
函数有最 值，a越大抛物线的
开口越

例2 在同一直角坐标系中画出函数y＝－x2，y＝－x2， y＝－2x2的图象．
列表：（在P3坐标纸2中画）
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=－x2

y=－x2

y＝－2x2

归纳：当a＜0时，抛物线y=a的对称轴是 轴，顶点是 ，开口向
顶点是抛物线的最 点，即函数有最 值，a越大，抛物线的开口越 ..
四、随堂练习
1.物体从某一高度落下，已知下落的高度h(m)和下落的时间t(s)的关系式是:h=4.9，h是t的 函数，它的图象是 顶点坐标是 .
2.已知抛物线y=a经过点A（-2，-8）.
（1）求此抛物线的函数解析式.
（2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上.
（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.

3.（2010•衢州中考）如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（　　）

4．已知a≠0，b＜0，一次函数是y＝ax＋b，二次函数是y＝a，则下面图5中，可以成立的是( )
5．填空：已知二次函数

(1)其中开口向上的有_______(填题号)；
(2)其中开口向下且开口最大的是____(填题号)；
(3)当自变量由小到大变化时，函数值先逐渐变大，然后逐渐变小的有__________(填题号)
五、知识小结：
1.二次函数y=a的图象是什么？
2.二次函数y=a的图象有什么性质？．（填写下表）

图象（草图）
开口方向
顶点
对称轴
有最高或最低点
最值
a＞0

当x＝____时，y有最_______值，是______
a＜0

当x＝____时，y有最_______值，是______．
六、作业：P14-习题26.1-3、4T

第3课时
26.1.3二次函数y=a(x-h)+k的图象
二次函数y＝ax2＋k的图象与性质
授课时间：2012年12月 日
一、学习目标：
1．会画二次函数y＝ax2＋k的图象；
2．掌握二次函数y＝ax2＋k的性质，并会应用；
3．知道二次函数y＝ax2与y＝的ax2＋k的联系．
二、复习巩固
二次函数y=ax的图象及性质如何？
三、探索新知：（阅读课本：P6—7）
在同一直角坐标系中，画出二次函数y＝x2＋1，y＝x2－1的图象．
解：先列表
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y＝x2＋1
…

…
y＝x2－1
…

…
描点并画图

观察图象得：
1．

开口方向
顶点
对称轴
有最高（低）点
最值
y＝x2

y＝x2－1

y＝x2＋1

2．可以发现，把抛物线y＝x2向______平移______个单位，就得到抛物线y＝x2＋1；把抛物线y＝x2向_______平移______个单位，就得到抛物线y＝x2－1．
3．抛物线y＝x2，y＝x2－1与y＝x2＋1的形状_____________．
四、理一理知识点
1．

y＝ax2
y＝ax2＋k
开口方向

顶点

对称轴

有最高（低）点

最值

a＞0时，当x＝______时，y有最____值为________；
a＜0时，当x＝______时，y有最____值为________．
增减性（分对称轴左右分析）

2．抛物线y＝2x2向上平移3个单位，就得到抛物线__________________；
抛物线y＝2x2向下平移4个单位，就得到抛物线__________________．
因此，把抛物线y＝ax2向上平移k（k＞0）个单位，就得到抛物线_______________；
把抛物线y＝ax2向下平移m（m＞0）个单位，就得到抛物线_______________．
3．抛物线y＝－3x2与y＝－3x2＋1是通过平移得到的，从而它们的形状__________，由此可得二次函数y＝ax2与y＝ax2＋k的形状__________________．
五、课堂巩固训练
1．填表
函数
草图
开口方向
顶点
对称轴
最值
对称轴左右侧的增减性
y＝3x2

y＝－3x2＋1

y＝－4x2－5

2．将二次函数y＝5x2－3向上平移7个单位后所得到的抛物线解析式为_________________．
3．写出一个顶点坐标为（0，－3），开口方向与抛物线y＝－x2的方向相反，形状相同的抛
物线解析式____________________________．
4．抛物线y＝4x2＋1关于x轴对称的抛物线解析式为______________________．
六、目标检测
1．填表
函数
开口方向
顶点
对称轴
最值
对称轴左侧的增减性
y＝－5x2＋3

y＝7x2－1

2．抛物线y＝－x2－2可由抛物线y＝－x2＋3向___________平移_________个单位得到的．
3．抛物线y＝－x2＋h的顶点坐标为（0，2），则h＝_______________．
4．抛物线y＝4x2－1与y轴的交点坐标为_____________，与x轴的交点坐标为_________．
七、作业：P7-练习 P14-5（1）T

第4课时
26.1.3 二次函数y=a(x-h)+k的图象
二次函数y＝a(x-h)2的图象与性质
授课时间：2012年12月 日
一、学习目标：
1．会画二次函数y＝a（x-h）2的图象；
2．掌握二次函数y＝a（x-h）2的性质，并要会灵活应用；
二、复习巩固
二次函数y＝ax2＋k的图象及性质如何？
三、探索新知：（阅读课本：P7-8）
画出二次函数y＝－(x＋1)2，y－(x－1)2的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴、顶点以及最值、增减性．
先列表：
x
…
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
…
y＝－(x＋1)2
…

…
y＝－(x－1)2
…

…

描点并画图．

1．观察图象，填表：
函数
开口方向
顶点
对称轴
最值
增减性
y＝－(x＋1)2

y＝－(x－1)2

2．请在图上把抛物线y＝－x2也画上去（草图）．
①抛物线y＝－(x＋1)2 ，y＝－x2，y＝－(x－1)2的形状____________．
②把抛物线y＝－x2向左平移_______个单位，就得到抛物线y＝－(x＋1)2 ；
把抛物线y＝－x2向右平移_______个单位，就得到抛物线y＝－(x＋1)2 ．
四、整理知识点
1．

y＝ax2
y＝ax2＋k
y＝a (x-h)2
开口方向

顶点

对称轴

最值

增减性（按对称轴左右侧总结）

2．对于二次函数的图象，只要｜a｜相等，则它们的形状_________，只是_________不同．
五、课堂训练
1．填表

图象（草图）
开口
方向
顶点
对称轴
最值
对称轴左
右侧的增减性
y＝x2

y＝－5 (x＋3)2

y＝3 (x－3)2

2．抛物线y＝4 (x－2)2与y轴的交点坐标是___________，与x轴的交点坐标为________．
3．把抛物线y＝3x2向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为____________________．
把抛物线y＝3x2向左平移6个单位后，得到的抛物线的表达式为____________________．
4．将抛物线y＝－(x－1)x2向右平移2个单位后，得到的抛物线解析式为____________．
5．写出一个顶点是（5，0），形状、开口方向与抛物线y＝－2x2都相同的二次函数解析式___________________________．
六、目标检测
1．抛物线y＝2 (x＋3)2的开口______________；顶点坐标为__________________；对称轴是_________；当x＞－3时，y______________；当x＝－3时，y有_______值是_________．
2．抛物线y＝m (x＋n)2向左平移2个单位后，得到的函数关系式是y＝－4 (x－4)2，则m＝__________，n＝___________．
3．若将抛物线y＝2x2＋1向下平移2个单位后，得到的抛物线解析式为_______________．
4．若抛物线y＝m (x＋1)2过点（1，－4），则m＝_______________．

七、作业：P8-练习 P14-5（2）T

第5课时
26.1.3二次函数y=a(x-h)+k的图象
二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质
授课时间：2012年12月 日
一、学习目标：
1．会画二次函数的顶点式y＝a (x－h)2＋k的图象；
2．掌握二次函数y＝a (x－h)2＋k的性质；
3．会应用二次函数y＝a (x－h)2＋k的性质解题．
二、复习巩固
1、抛物线y=ax+k的图像是什么？有哪些性质？
2、抛物线y = a﹙x±h﹚的图像是什么？有哪些性质？
三、探索新知：（阅读课本：P9-10）
画出函数y＝－(x＋1)2－1的图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点、最值、增减性．
列表：
x
…
－4
－3
－2
－1
0
1
2
…
y＝－(x＋1)2－1
…

…

由图象归纳：
1．
函数
开口方向
顶点
对称轴
最值
增减性
y＝－(x＋1)2－1

2．把抛物线y＝－x2向_______平移______个单位，再向_______平移_______个
单位，就得到抛物线y＝－(x＋1)2－1．
四、理一理知识点

y＝ax2
y＝ax2＋k
y＝a (x-h)2
y＝a (x－h)2＋k
开口方向

顶点

对称轴

最值

增减性
（对称轴右侧）

2．抛物线y＝a (x－h)2＋k与y＝ax2形状___________，位置________________．
五、课堂练习
1．y＝6x2＋3与y＝6 (x－1)2＋10_____________相同，而____________不同．
2．顶点坐标为（－2，3），开口方向和大小与抛物线y＝x2相同的解析式为（ ）
A．y＝(x－2)2＋3 B．y＝(x＋2)2－3
C．y＝(x＋2)2＋3 D．y＝－(x＋2)2＋3
3、填写下表

y＝3x2
y＝－x2＋1
y＝(x＋2)2
y＝－4 (x－5)2－3
开口方向

顶点

对称轴

最值

增减性
（对称轴左侧）

4．二次函数y＝(x－1)2＋2的最小值为__________________．
5．将抛物线y＝5(x－1)2＋3先向左平移2个单位，再向下平移4个单位后，得到抛物线的解析式为_______________________．
6．若抛物线y＝ax2＋k的顶点在直线y＝－2上，且x＝1时，y＝－3，求a、k的值．
7．若抛物线y＝a (x－1)2＋k上有一点A（3，5），则点A关于对称轴对称点A’的坐标为 __________________．
六、目标检测
1．足球守门员大脚开出去的球的高度随时间的变化而变化，这一过程可近似地用下列哪幅图表示（ ）

A B C D
2、填写下表

开口方向
顶点
对称轴
y＝x2＋1

y＝2 (x－3)2

y＝－ (x＋5)2－4

3．抛物线y＝－3 (x＋4)2＋1中，当x＝_______时，y有最________值是________．
4．将抛物线y＝2 (x＋1)2－3向右平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为________________________．
5．一条抛物线的对称轴是x＝1，且与x轴有唯一的公共点，并且开口方向向下，则这条抛物线的解析式为____________________________．（任写一个）
七、课堂练习：P10-练习
八、作业：P14-5（3）T

第6课时
26.1.4 二次函数y=ax+bx+c的图象
授课时间：2012年12月 日
一、学习目标
1.会画y=ax+bx+c的图象；
2.理解y=ax+bx+c的性质；
3.掌握y=ax+bx+c与y=a(x-h)+k的图象及性质的联系与区别.
二、复习巩固
说出二次函数 图象的开口方向，对称轴，顶点坐标.它是由y=-4x怎样平移得到的？
三、新课导学（阅读课本P10-12）
我们知道,作出二次函数y=3x的图象,通过平移抛物线y=3x可以得到二次函数y=3（x-1）的图象. 怎样直接作出函数y=3x-6x+5的图象?
配方化成顶点式提取二次项系数

配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方

整理:前三项化为完全平方式,后两项合并同类项

化简

例1、画出y＝ x－6x＋21的图象.

你能把函数y=ax+bx+c通过配方法化成顶点式吗？
列表：
x
…
3
4
5
6
7
8
9
…
y＝x2－6x＋21
…

…

根据以上两例请你总结函数y=ax+bx+c(a≠0)的图象和性质 及抛物线的对称轴、顶点坐标

理一理知识点

y＝ax2
y＝ax2＋k
y＝a(x－h)2
y＝a(x－h)2＋k
y＝ax2＋bx＋c
开口方向

顶点

对称轴

最值

增减性
（对称轴左、右侧）

跟踪练习
根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：

想一想，函数y=ax+bx+c和y=ax的图象之间的关系是什么？

四、随堂练习

-1
y
x
5
x=2
2
O
1.已知二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示，
那么下列判断不正确的是（ ）
A．ac<0
B．a-b+c>0
C．b=-4a

y
x
O

D．关于x的方程ax2+bx+c=0的根是x=-1,x=5
2．二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．a<0，b<0，c>0， b－4ac>0
B．a>0，b<0，c>0， b－4ac>0
C．a<0，b>0，c<0， b－4ac>0
D．a<0，b>0，c>0， b－4ac>0
3．如图，二次函数ｙ＝ａx2－ｂｘ2
O

X
Y

＋２的大致图象
如图所示，则函数ｙ＝－ａx＋ｂ的图象
不经过（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象

4.已知函数y=(x-a)(x-b)(其中a>b)的
图象如图所示，则函数y=ax+b的图象
可能正确的是（ ）

y
x
1
1
O
（A）
y
x
1
-1
O
（B）
y
x
-1
-1
O
（C）
1
-1
x
y
O
（D）

5.（2011·重庆中考）已知抛物线y=ax+bx+c.在平面
直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确
的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知二次函数y= -x+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（－1，0），与y轴
的交点坐标为（0，3）.
⑴求出b,c的值，并写出此时二次函数的解析式；
⑵根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围.

五、知识小结
1.能熟练求二次函数的最值,并能根据性质判断函数在某一范围内的增减性.
2.能根据条件确定二次函数的关系式及顶点坐标、对称轴.

六、练习：P12-练习
七、作业：P14-6T

第7课时
二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质
授课时间2012年12月 日
一、学习目标：
1．懂得求二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴、y轴的交点的方法；
2．知道二次函数中a，b，c以及△＝b2－4ac对图象的影响．
二、填写下表，复习旧知：

y＝ax2
y＝ax2＋k
y＝a(x－h)2
y＝a(x－h)2＋k
y＝ax2＋bx＋c
开口方向

顶点

对称轴

最值

增减性
（对称轴左、右侧）

三、基本知识练习
1．求二次函数y＝x2＋3x－4与y轴的交点坐标为_______________，与x轴的交点坐标____________．
2．二次函数y＝x2＋3x－4的顶点坐标为______________，对称轴为______________．
3．一元二次方程x2＋3x－4＝0的根的判别式△＝______________．
4．二次函数y＝x2＋bx过点（1，4），则b＝________________．
5．二次函数 y＝ax2＋bx＋c（a≠0）在什么条件下转化为一元二次方程 ，
△＞0时，一元二次方程有_______________，
△＝0时，一元二次方程有___________，
△＜0时，一元二次方程_______________．
四、知识点应用
1．求二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交点（含y＝0时，则在函数值y＝0时，x的值是抛物线与x轴交点的横坐标）．
例1 求y＝x2－2x－3与x轴交点坐标．

2．求二次函数y＝ax2＋bx＋c与y轴交点（含x＝0时，则y的值是抛物线与y轴交点的纵坐标）．
例2 求抛物线y＝x2－2x－3与y轴交点坐标．

3．a、b、c以及△＝b2－4ac对图象的影响．
（1）a决定：开口方向、形状
（2）c决定与y轴的交点为（0，c）
（3）b与－共同决定b的正负性
（4）△＝b2－4ac
例3 如图，由图可得：
a_______0
b_______0
c_______0
△______0
例4 已知二次函数y＝x2＋kx＋9．
①当k为何值时，对称轴为y轴；
②当k为何值时，抛物线与x轴有两个交点；
③当k为何值时，抛物线与x轴只有一个交点．

五、课后练习
1．求抛物线y＝2x2－7x－15与x轴交点坐标__________，与y轴的交点坐标为_______．
2．抛物线y＝4x2－2x＋m的顶点在x轴上，则m＝__________．
3．如图：由图可得：
a_______0
b_______0
c_______0
△＝b2－4ac______0
六、目标检测
1．求抛物线y＝x2－2x＋1与y轴的交点坐标为_______________．
2．若抛物线y＝mx2－x＋1与x轴有两个交点，求m的范围．

3．如图：由图可得：a _________0
b_________0
c_________0
△＝b2－4ac
七、作业：P14-8T

第8课时
26.1.5用待定系数法求二次函数y＝ax2＋bx＋c解析式
授课时间2012年12月 日
一、学习目标：
1．会用待定系数法求二次函数的解析式；
2．实际问题中求二次函数解析式．
二、课前基本练习
1．已知二次函数y＝x2＋x＋m的图象过点（1，2），则m的值为________________．
2.已知点A（2，5），B（4，5）是抛物线y＝4x2＋bx＋c上的两点，则这条抛物线的对称轴为_____________________．
3．将抛物线y＝－(x－1)2＋3先向右平移1个单位，再向下平移3个单位，则所得抛物线的解析式为____________________．
4．抛物线的形状、开口方向都与抛物线y＝－x2相同，顶点在（1，－2），则抛物线的解析式为________________________________．
三、自主学习：
阅读课本P12-13回答问题:
求出函数y＝ax2＋bx＋c的解析式，关键是求出待定系数 的值.由已知条件（如二次函数图像上三个点的坐标）列出关于 的方程组，并求出 ，就可以写出二次函数的解析式.
四、例题分析
例1 已知抛物线经过点A（－1，0），B（4，5），C（0，－3），求抛物线的解析式．

例2 已知抛物线顶点为（1，－4），且又过点（2，－3）．求抛物线的解析式．

例3 已知抛物线与x轴的两交点为（－1，0）和（3，0），且过点（2，－3）．求抛物线的解析式．

四、归纳
用待定系数法求二次函数的解析式用三种方法：
1．已知抛物线过三点，设一般式为y＝ax2＋bx＋c．
2．已知抛物线顶点坐标及一点，设顶点式y＝a(x－h)2＋k．
3．已知抛物线与x轴有两个交点（或已知抛物线与x轴交点的横坐标），
设两根式：y＝a(x－x1)(x－x2) ．（其中x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标）
五、实际问题中求二次函数解析式
例4 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？

六、课堂训练
1．已知二次函数的图象过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，求这个二次函数的关系式．

2．已知二次函数的图象的顶点坐标为（－2，－3），且图像过点（－3，－2），