函数与导数答案.docx

1.函数f(x)在定义域内的图象如图所示，记f(x)的导函数为f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为 (　　)

A.∪[1,2)
B.∪
C.∪[2,3)
D.∪∪
答案　C
解析　不等式f′(x)≤0的解集即为函数f(x)的单调递减区间，从图象中可以看出函数f(x)在和[2,3)上是单调递减的，所以不等式f′(x)≤0的解集为∪[2,3)，答案选C.
2.函数y=g(x)与f(x)＝-|lnx|关于(1,0)对称。下列区间中，y=g(x)在其上为增函数的是 (　　)
A．(－∞，1] B．[－1，]
C．[0，) D．[1,2)
答案　D
3. 对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有 (　　)
A．f(0)＋f(2)<2f(1) B．f(0)＋f(2)≤2f(1)
C．f(0)＋f(2)≥2f(1) D．f(0)＋f(2)>2f(1)
答案　D
解析　当x≥1时，f′(x)≥0，f(x)为增函数，∴f(2)>f(1)，
当x≤1时，f′(x)≤0，f(x)为减函数，∴f(0)>f(1)，
∴f(0)＋f(2)>2f(1).

4.若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)内有最小值，则实数b的取值范围是(　　)
A．(0,1) B．(－∞，1)
C．(0，＋∞) D.
答案　D
解析　f(x)在(0,1)内有最小值，即f(x)在(0,1)内有极小值，f′(x)＝
3x2－6b，
由题意，得函数f′(x)的草图如图，
∴　即
解得0<b<.故选D.
5. 点P是曲线x2－y－2ln＝0上任意一点，则点P到直线4x＋4y＋1＝0的最短距离是(　　)
A.(1－ln 2) B.(1＋ln 2)
C. D.(1＋ln 2)
答案　B
解析　将直线4x＋4y＋1＝0平移后得直线l：4x＋4y＋b＝0，使直线l与曲线切于点P(x0，y0)，
由x2－y－2ln＝0得y′＝2x－，
∴直线l的斜率k＝2x0－＝－1
⇒x0＝或x0＝－1(舍去)，
∴P，
所求的最短距离即为点P到直线4x＋4y＋1＝0的距离d＝＝(1＋ln 2)．
6.已知函数f(x)＝logax＋x－b (a>0，且a≠1)．当2<a<3<b<4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n=
A.1 B.2 C.3 D.4
答案　2
解析　∵2<a<3，∴f(x)＝logax＋x－b为定义域上的单调递增函数．f(2)＝loga2＋2－b，
f(3)＝loga3＋3－b.
∵2<a<3<b，∴0<lg 2<lg a<lg 3，∴<<1.
又∵b>3，∴－b<－3，∴2－b<－1，
∴loga2＋2－b<0，即f(2)<0.
∵1<<，3<b<4，∴－1<3－b<0，
∴loga3＋3－b>0，∴f(3)>0，即f(2)·f(3)<0.
由x0∈(n，n＋1)，n∈N*知，n＝2.
7. 设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为　　　．
8.已知f(x)＝asin x＋b＋4 (a，b∈R)，且f[lg(log210)]＝5，则f[lg(lg 2)]＝________.
答案　3
解析　lg(log210)＝－lg(lg 2)，f(－x)＝asin(－x)＋b＋4＝－(asin x＋b)＋4.
又f[lg(log210)]＝5，∴f[lg(lg 2)]＝4－5＋4＝3.
9．把一个周长为12 cm的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面周长与高的比为________．
答案　2∶1
解析　设圆柱高为x，底面半径为r，则r＝，圆柱体积V＝π2x＝(x3－12x2＋36x)(0<x<6)，
V′＝(x－2)(x－6)．
当x＝2时，V最大．此时底面周长为6－x＝4,4∶2＝2∶1.

10. 设函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x-2)= -f(x)对一切xÎR都成立,又当xÎ[-1,1]时,f(x)=x3,则下列五个命题:
①函数y=f(x)是以4为周期的周期函数;
②当xÎ[1,3]时,f(x)=( x-2)3;
③直线x=±1是函数y=f(x)图象的对称轴;
④点(2,0)是是函数y=f(x)图象的对称中心;
⑤函数y=f(x)在点(,f())处的切线方程为3x-y-5=0.
其中正确的是___________.(写出所有正确命题的序号)
答案：①_③_④

11．已知方程在 [－2,5]上有3个不同实数根，求m的取值范围
答案　[1,8)
解析　f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x2－2x－3)＝3(x＋1)(x－3)，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝3.
当x∈[－2，－1)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；
当x∈(－1,3)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；
当x∈(3,5]时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．
所以函数f(x)的极小值为f(3)＝－24，极大值为f(－1)＝8.
而f(－2)＝1，f(5)＝8，函数图象大致如图所示．故要使方程g(x)＝f(x)－m在x∈[－2,5]上有3个零点，只需函数f(x)在[－2,5]内的函数图象与直线y＝m有3个交点，故即m∈[1,8)．
12. 设函数其中为自然对数的底数，.
(Ⅰ)当时，求函数的最小值；
(Ⅱ)证明：对任意正数，都有；
解：(Ⅰ)时，
则；令得
当时，，在是减函数；
当时，，在是增函数；
∴在时取得最小值，即 (Ⅱ)

，不妨设（其中），则
原式

=
=
，