八年级数学变量与函数、平面直角坐标系、函数的图象华东师大版知识精讲.doc

初二数学变量与函数、平面直角坐标系、函数的图象华东师大版
【同步教育信息】
一. 本周教学内容：
变量与函数、平面直角坐标系、函数的图象

［教学目标］
1. 了解常量和变量、自变量和函数的意义。
2. 认识并会画出平面直角坐标系。
3. 能在给定的直角坐标系中找出点和坐标的对应关系。
4. 了解现实生活中类似的数形结合思想的实例，体会平面直角坐标系在函数研究中的地位和作用。

二. 重点、难点：
函数的概念，直角坐标系和函数图象的认识。

【典型例题】
（一）变量与函数
1. 知识回顾：
（1）在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做自变量。
如：圆的面积S随半径r的变化而变化，S与r都会取不同的数值。
（2）刻画气温变化规律的量是时间t和温度T，气温T随时间t的变化而变化，T与t都会取不同的数值。
（3）对于一个实际问题中的两个变量x、y，自身先变的量是自变量，随之而变的量是因变量，例如x和y，对于x的每一个值，y都有惟一的值与之对应，则称x为自变量，y是因变量，此时也称y是x的函数，通常我们把函数y放在等式左边，自变量x的代数表达式放在右边，构成函数关系式。
（4）表示函数的方法通常有三种：①解析法，②列表法，③图象法。
（5）在问题研究的过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量。

2. 典型例题：
例1. 求下列函数自变量的取值范围：
（1）；（2）
（3）；（4）
解：（1）x取任意实数
（2），所以
（3），所以
（4），所以
方法点拨：
（1）当函数的解析式是整式时，自变量取任意实数；
（2）当函数的解析式是分式时，自变量取使分母不为零的任意数；
（3）当函数的解析式是开平方的式子时，自变量取使被开方的式子为非负数的实数；
（4）需要多种情况综合考虑时，注意不要遗漏。

例2. （1）会求函数值
如：当时，求的函数值。
解：

（2）会运用函数值的求解意义，确定函数关系式中的待定字母
如：当时，函数与函数有相同的函数值，求k的值，以及当时，这两个函数值。
分析：两个函数有相同的函数值是指将自变量x的取值代入两个解析式后所得结果相同。
解：由题意，得：
解得：
当时，
当时，

例3. 列函数关系式
（1）学校食堂现库存粮食21000千克，平均每天用粮食200千克，求库存粮食y（千克）与食用的天数x之间的函数关系式。
分析：库存粮食＝现存粮食－消耗粮食
解：（0≤x≤105的整数）

（2）购买200元钱的柴油，求所能购买的数量y（升）与单价m（元）之间的函数关系式。
分析：单价×数量＝总价

（3）某10层高的楼房，底层高4.2m，以上各层高2.8m，列出第n层的楼顶的高度h（m）与n的函数关系式。
分析：楼顶高度＝底层高＋每层高×（层数－1）
（n≤10的正整数）

（二）平面直角坐标系
1. 知识回顾：
（1）在平面上两条原点重合、互相垂直且有相同单位长度的数轴，建立一个平面直角坐标系。
其中水平的一条数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向。
铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向。
两数轴的交点O叫做坐标原点。
（2）点坐标（x，y）中，x代表横坐标，y代表纵坐标。

（3）各象限内点的坐标符号：

（4）点P（x，y）关于x轴对称点的坐标（）
关于y轴对称点的坐标（）
关于原点对称点的坐标（）
（5）点P（x，y）到x轴的距离是
到y轴的距离是
（6）x轴上点坐标表示为（x，0）或（a，0）等
y轴上点坐标表示为（0，y）或（0，b）等
（7）x轴上两点（a，0），（b，0）之间的距离是或
y轴上两点（），（）之间的距离是或

2. 典型例题：
例1. 填空：
（1）当是任意实数时，点A（x，y）在__________上。
答案：y轴

（2）已知点P（）在y轴上，那么P点坐标是__________。
答案：（0，3）
分析：

（3）已知点P在第四象限，那么k的取值范围是___________。
答案：
分析：由第四象限点坐标特征知（＋，－）
即
所以：

（4）在直角坐标系中，点M到x轴距离为28，到y轴距离为6，则M点坐标是_____________。
答案：（6，28），（-6，-28），（6，-28），（-6，28）
分析：设M点坐标为（x，y）
则

所以M点坐标是：（6，28），（-6，-28），（6，-28），（-6，28）

（5）在平面直角坐标系中，点P（m，3）关于原点对称点的坐标是（-2，n），求的值。
答案：
分析：点P（m，3）关于原点对称点的坐标是（）
而已知此点坐标为
所以
得：

例2. 求A、B两点的距离：
（1）A（2，0），B（-3，0）
（2）A（0，6），B（0，-3）
（3）A（2，5），B（2，-7）
（4）A（2，3），B（-3，3）
解：（1）
（2）
（3）
（4）

（三）函数的图象
1. 知识回顾：
（1）函数图象的作图方法：描点法
首先准确的求出函数值，把每一个自变量的值和与其对应的函数值相结合构成一个点的坐标，借助这个点的坐标就可以描出一个点，以相同的方式继续取值，可以得到足够的点的坐标，把这些点依次描出后，再把它们从左到右顺次连接就可得到利用描点法作出的函数图象。
（2）作图注意问题：
①先列表取点，点取得足够多。
②连接时一定要从左到右依次连接。
③用平滑曲线连接各点。
④根据自变量取值范围来确定函数图象的取值范围，若自变量取值范围是全体实数，则函数图象一定可以向两边无限延长。
（3）函数图象上的点与满足函数关系式的对应值是一一对应的。

2. 典型例题：
例1. 已知点P（）在函数的图象上，求a的值。
解析：点P在函数图象上，则点坐标满足解析式。

例2. 已知：如图所示，求△ABC、△ADC的面积。

分析：
高：4
解：

例3. （2003·河北省）
小亮家最近购买了一套住房，准备在装修时用木质地板铺设居室，用瓷砖铺设客厅。经市场调查得知：用这两种材料铺设地面的工钱不一样。小亮根据地面的面积，对铺设居室和客厅的费用（购买材料费和工钱）分别做了预算，通过列表，并用表示铺设地面的面积，用y（元）表示铺设费用，制成图，如图所示。请你根据图中所提供的信息，解答下列问题：

（1）预算中铺设居室的费用为________元/，铺设客厅的费用为________元/；
（2）表示铺设居室的费用y（元）与面积之间的函数关系式为_____________，表示铺设客厅的费用y（元）与面积之间的函数关系式为________________；
（3）已知在小亮的预算中，铺设的瓷砖比铺设木质地板的工钱多5元；购买的瓷砖是购买木质地板费用的。那么，铺设每平方米木质地板、资砖的工钱各是多少元？购买每平方米的木质地板、瓷砖的费用各是多少元？
分析：由图可知铺设居室30的费用为4050元，铺设客厅25的费用为2750元，可计算出单价；（3）中设铺木质地板的工钱为每平方米x元，购买木质地板单价为每平方米y元，列方程组即可求解。
解：（1）预算中铺设居室的费用为4050÷30＝135元/
铺设客厅的费用为元/
（2）铺设居室的费用y（元）与面积之间的函数关系式为
铺设客厅的费用y（元）与面积之间的函数关系式为
（3）设铺设木质地板的工钱为每平方米x元，购买木质地板每平方米的费用为y元，则铺设瓷砖的工钱为每平方米元，购买瓷砖每平方米的费用为元。
根据题意，得：
解得：
由此得：
答：铺木质地板和瓷砖每平方米的工钱分别为15元和20元；购买木质地板和瓷砖每平方米的费用分别为120元和90元。
［技巧点］分析图像所反映的问题实质，注意理解横轴和纵轴所表示的实际意义，这类图像信息题是中考热点。

【模拟试题】
一. 填空题。
1. 函数中，自变量x的取值范围是_____________。
2. 若汽车以50千米/时的速度行驶，则行驶的路程S（千米）与行驶的时间t（时）之间的函数关系式是____________。
3. 若点P（m，n）在第二象限，则点Q在__________象限。
4. 若点P在y轴上，则点P的坐标为______________。
5. 如果点在第二象限的角平分线上，则___________。
6. 若点与点关于x轴对称，则___________。
7. 若点与y轴的距离是2，则_________。

二. 选择题。
1. 在函数的图象上的点是（ ）
A. （-2，3） B. （4，10）
C. （3，5） D. （2，7）
2. 如果点P与点Q关于y轴对称，那么a、b的值分别是（ ）
A. -2与3 B. 2与-3 C. -2与-3 D. 2与3
3. 若点的坐标满足，则点P在（ ）
A. 原点上 B. x轴上 C. y轴上 D. 坐标轴上
4. 已知点P的坐标是，且，则点P在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第一或第二象限 D. 第一或第三象限
5. 平行于x轴的直线上任意两点之间的坐标之间的关系是（ ）
A. 横坐标相等 B. 纵坐标相等
C. 横坐标的绝对值相等 D. 纵坐标的绝对值相等

三. 解答题。
1. 已知点A与点B关于y轴对称，求的值。
2. 平面直角坐标系内，已知点在第三象限，且k为整数，求k的值。
3. 已知函数，求当时的函数值y。
4. x取什么值时，函数与的值相等。
5. 拖拉机的油箱最多可装油56千克，犁地时平均每小时耗油6千克，现装满油后去犁地：
（1）写出油箱中剩油Q（千克）与犁地时间t（时）之间的函数关系；
（2）求函数自变量的取值范围；
（3）求拖拉机工作4小时30分钟后，油箱中剩多少千克油？
6. 如果点A（2，7）在函数的图象上，且当时，
（1）求a、b的值；
（2）如果点与点也在此图象上，求m、n的值。

【试题答案】
一. 填空题。
1. 2.
3. 第四 4. （0，-3）
5. 3 6. 1 7. ±2
二. 选择题。
1. D 2. D 3. D 4. C 5. B
三. 解答题。
1. 由题意：
解得：

2. 由得：
则
∵k为整数，∴
3.
4. 与值相等

5. （1）
（2）
（3）Q＝29
6. ，则
（1）
（2）