八年级数学变量与函数、平面直角坐标系、函数的图象华东师大版知识精讲.doc

初二数学变量与函数、平面直角坐标系、函数的图象华东师大版【同步教育信息】一. 本周教学内容： 变量与函数、平面直角坐标系、函数的图象教学目标 1. 了解常量和变量、自变量和函数的意义。 2. 认识并会画出平面直角坐标系。 3. 能在给定的直角坐标系中找出点和坐标的对应关系。 4. 了解现实生活中类似的数形结合思想的实例，体会平面直角坐标系在函数研究中的地位和作用。二. 重点、难点： 函数的概念，直角坐标系和函数图象的认识。【典型例题】（一）变量与函数 1. 知识回顾： （1）在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做自变量。 如：圆的面积S随半径r的变化而变化，S与r都会取不同的数值。 （2）刻画气温变化规律的量是时间t和温度T，气温T随时间t的变化而变化，T与t都会取不同的数值。 （3）对于一个实际问题中的两个变量x、y，自身先变的量是自变量，随之而变的量是因变量，例如x和y，对于x的每一个值，y都有惟一的值与之对应，则称x为自变量，y是因变量，此时也称y是x的函数，通常我们把函数y放在等式左边，自变量x的代数表达式放在右边，构成函数关系式。 （4）表示函数的方法通常有三种：解析法，列表法，图象法。 （5）在问题研究的过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量。 2. 典型例题： 例1. 求下列函数自变量的取值范围： （1）；（2） （3）；（4） 解：（1）x取任意实数 （2），所以 （3），所以 （4），所以 方法点拨： （1）当函数的解析式是整式时，自变量取任意实数； （2）当函数的解析式是分式时，自变量取使分母不为零的任意数； （3）当函数的解析式是开平方的式子时，自变量取使被开方的式子为非负数的实数； （4）需要多种情况综合考虑时，注意不要遗漏。 例2. （1）会求函数值 如：当时，求的函数值。 解： （2）会运用函数值的求解意义，确定函数关系式中的待定字母 如：当时，函数与函数有相同的函数值，求k的值，以及当时，这两个函数值。 分析：两个函数有相同的函数值是指将自变量x的取值代入两个解析式后所得结果相同。 解：由题意，得： 解得： 当时， 当时， 例3. 列函数关系式 （1）学校食堂现库存粮食21000千克，平均每天用粮食200千克，求库存粮食y（千克）与食用的天数x之间的函数关系式。 分析：库存粮食现存粮食消耗粮食 解：（0x105的整数） （2）购买200元钱的柴油，求所能购买的数量y（升）与单价m（元）之间的函数关系式。 分析：单价数量总价 （3）某10层高的楼房，底层高4.2m，以上各层高2.8m，列出第n层的楼顶的高度h（m）与n的函数关系式。 分析：楼顶高度底层高每层高（层数1） （n10的正整数）（二）平面直角坐标系 1. 知识回顾： （1）在平面上两条原点重合、互相垂直且有相同单位长度的数轴，建立一个平面直角坐标系。 其中水平的一条数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向。 铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向。 两数轴的交点O叫做坐标原点。 （2）点坐标（x，y）中，x代表横坐标，y代表纵坐标。 （3）各象限内点的坐标符号： （4）点P（x，y）关于x轴对称点的坐标（） 关于y轴对称点的坐标（） 关于原点对称点的坐标（） （5）点P（x，y）到x轴的距离是 到y轴的距离是 （6）x轴上点坐标表示为（x，0）或（a，0）等 y轴上点坐标表示为（0，y）或（0，b）等 （7）x轴上两点（a，0），（b，0）之间的距离是或 y轴上两点（），（）之间的距离是或 2. 典型例题： 例1. 填空： （1）当是任意实数时，点A（x，y）在_上。 答案：y轴 （2）已知点P（）在y轴上，那么P点坐标是_。 答案：（0，3） 分析： （3）已知点P在第四象限，那么k的取值范围是_。 答案： 分析：由第四象限点坐标特征知（，） 即 所以： （4）在直角坐标系中，点M到x轴距离为28，到y轴距离为6，则M点坐标是_。 答案：（6，28），（-6，-28），（6，-28），（-6，28） 分析：设M点坐标为（x，y） 则 所以M点坐标是：（6，28），（-6，-28），（6，-28），（-6，28） （5）在平面直角坐标系中，点P（m，3）关于原点对称点的坐标是（-2，n），求的值。 答案： 分析：点P（m，3）关于原点对称点的坐标是（） 而已知此点坐标为 所以 得： 例2. 求A、B两点的距离： （1）A（2，0），B（-3，0） （2）A（0，6），B（0，-3） （3）A（2，5），B（2，-7） （4）A（2，3），B（-3，3） 解：（1） （2） （3） （4）（三）函数的图象 1. 知识回顾： （1）函数图象的作图方法：描点法 首先准确的求出函数值，把每一个自变量的值和与其对应的函数值相结合构成一个点的坐标，借助这个点的坐标就可以描出一个点，以相同的方式继续取值，可以得到足够的点的坐标，把这些点依次描出后，再把它们从左到右顺次连接就可得到利用描点法作出的函数图象。 （2）作图注意问题： 先列表取点，点取得足够多。 连接时一定要从左到右依次连接。 用平滑曲线连接各点。 根据自变量取值范围来确定函数图象的取值范围，若自变量取值范围是全体实数，则函数图象一定可以向两边无限延长。 （3）函数图象上的点与满足函数关系式的对应值是一一对应的。 2. 典型例题： 例1. 已知点P（）在函数的图象上，求a的值。 解析：点P在函数图象上，则点坐标满足解析式。 例2. 已知：如图所示，求ABC、ADC的面积。 分析： 高：4 解： 例3. （2003河北省） 小亮家最近购买了一套住房，准备在装修时用木质地板铺设居室，用瓷砖铺设客厅。经市场调查得知：用这两种材料铺设地面的工钱不一样。小亮根据地面的面积，对铺设居室和客厅的费用（购买材料费和工钱）分别做了预算，通过列表，并用表示铺设地面的面积，用y（元）表示铺设费用，制成图，如图所示。请你根据图中所提供的信息，解答下列问题： （1）预算中铺设居室的费用为_元/，铺设客厅的费用为_元/； （2）表示铺设居室的费用y（元）与面积之间的函数关系式为_，表示铺设客厅的费用y（元）与面积之间的函数关系式为_； （3）已知在小亮的预算中，铺设的瓷砖比铺设木质地板的工钱多5元；购买的瓷砖是购买木质地板费用的。那么，铺设每平方米木质地板、资砖的工钱各是多少元？购买每平方米的木质地板、瓷砖的费用各是多少元？ 分析：由图可知铺设居室30的费用为4050元，铺设客厅25的费用为2750元，可计算出单价；（3）中设铺木质地板的工钱为每平方米x元，购买木质地板单价为每平方米y元，列方程组即可求解。 解：（1）预算中铺设居室的费用为405030135元/ 铺设客厅的费用为元/ （2）铺设居室的费用y（元）与面积之间的函数关系式为 铺设客厅的费用y（元）与面积之间的函数关系式为 （3）设铺设木质地板的工钱为每平方米x元，购买木质地板每平方米的费用为y元，则铺设瓷砖的工钱为每平方米元，购买瓷砖每平方米的费用为元。 根据题意，得： 解得： 由此得： 答：铺木质地板和瓷砖每平方米的工钱分别为15元和20元；购买木质地板和瓷砖每平方米的费用分别为120元和90元。 技巧点分析图像所反映的问题实质，注意理解横轴和纵轴所表示的实际意义，这类图像信息题是中考热点。【模拟试题】一. 填空题。 1. 函数中，自变量x的取值范围是_。 2. 若汽车以50千米/时的速度行驶，则行驶的路程S（千米）与行驶的时间t（时）之间的函数关系式是_。 3. 若点P（m，n）在第二象限，则点Q在_象限。 4. 若点P在y轴上，则点P的坐标为_。 5. 如果点在第二象限的角平分线上，则_。 6. 若点与点关于x轴对称，则_。 7. 若点与y轴的距离是2，则_。二. 选择题。 1. 在函数的图象上的点是（ ） A. （-2，3）B. （4，10） C. （3，5）D. （2，7） 2. 如果点P与点Q关于y轴对称，那么a、b的值分别是（ ） A. -2与3B. 2与-3C. -2与-3D. 2与3 3. 若点的坐标满足，则点P在（ ） A. 原点上B. x轴上C. y轴上D. 坐标轴上 4. 已知点P的坐标是，且，则点P在（ ） A. 第一象限B. 第二象限 C. 第一或第二象限D. 第一或第三象限 5. 平行于x轴的直线上任意两点之间的坐标之间的关系是（ ） A. 横坐标相等B. 纵坐标相等 C. 横坐标的绝对值相等D. 纵坐标的绝对值相等三. 解答题。 1. 已知点A与点B关于y轴对称，求的值。 2. 平面直角坐标系内，已知点在第三象限，且k为整数，求k的值。 3. 已知函数，求当时的函数值y。 4. x取什么值时，函数与的值相等。 5. 拖拉机的油箱最多可装油56千克，犁地时平均每小时耗油6千克，现装满油后去犁地： （1）写出油箱中剩油Q（千克）与犁地时间t（时）之间的函数关系； （2）求函数自变量的取值范围； （3）求拖拉机工作4小时30分钟后，油箱中剩多少千克油？ 6. 如果点A（2，7）在函数的图象上，且当时， （1）求a、b的值； （2）如果点与点也在此图象上，求m、n的值。【试题答案】一. 填空题。 1. 2. 3. 第四4. （0，-3） 5. 36. 17. 2二. 选择题。 1. D2. D3. D4. C5. B三. 解答题。 1. 由题意： 解得： 2. 由得： 则 k为整数， 3. 4. 与值相等 5. （1） （2） （3）Q29 6. ，则 （1） （2）