山西省2011届高三数学第四次四校联考-理-新人教A版.doc

2011届四校第四次联考理科数学试题
本试卷分必考题和选考题两部分第1题～第21题为必考题，每个试题学生都必须做答，第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．共150分,考试时间为120分钟.
第 I 卷（选择题 共60分）
一．选择题：（本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.若集合则集合不可能是（ ）
A. B.
C. D. Æ
2.已知为实数，若，则等于（ ）
A. 1 B. C. D.-2
3. 已知、是三个互不重合的平面，是一条直线，下列命题中正确命题是（ ）
A．若，则 B．若上有两个点到的距离相等，则
C．若，则 D．若，则
4.已知命题：；命题恒成立，则，那么（ ）
A．是假命题 B．q是真命题
C．“p或q”为真命题 D．“p且q”为假命题
5.已知随机变量服从正态分布，且，
，若，, 则( )
A. 0.1358 B．0.1359 C．0.2716 D．0.2718
6 若一几何体的正视图与侧视图均为边长是1的正方形，且其体积为，则该几何体
的俯视图可以是 （ ）

A B C D
7．设等差数列的前n项和为，若，
则=（ ）
A. 9 B． C．2 D．
8．已知为如图所示的程序框图输出的结果，
则二项式的展开式中常数项是( )
A. -20 B. C. -192 D. -160
9.已知, ,，,设,则 ( )
A.3 B. C. D.
10．已知函数在上的解析式为，则函数在上的零点的个数为 （ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
11.已知分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，满足，直线与圆相切，则双曲线离心率e为（ ）
A. B. C. D.
12．定义方程的实根叫做函数的“新驻点”，若函数,, 的“新驻点”分别为，则的大小关系为( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.设数列的前项和为，且，则
14．已知＝2·，＝3·，＝4·，…．若＝8·（均为正实数），类比以上等式，可推测的值，则= 。
15.某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽测了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标)，所得数据均在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，估计这批棉花纤维的长度的众数与平均数之和
16．实数.设函数的两个极值点为,现向点所在平面区域投掷一个飞镖,则飞镖恰好落入使且x2≥1的区域的概率为
三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或步骤）
17. (本小题满分12分)
已知函数．
(Ⅰ) 求函数的最小值和最小正周期；
（Ⅱ）已知内角的对边分别为，且，若
向量与共线，求的值．
18. (本小题满分12分)
如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，是的中点，是的中点，点在上，且满足
(1)证明：．
(2)当取何值时，直线与平面所成的角最大？并求该角最大值的余弦值．

19．（本小题满分12分）
第26届世界大学生夏季运动会将于2011年8月12日到23日在深圳举行 ，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者。将这30名志愿者的身高编成如右图所示的茎叶图（单位：cm）：若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”。
（1）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中提取5人，若从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？
（2）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐的人数，试写出的分布列，并求的数学期望。

x
y
O
P
Q
A
M
F1
B
F2
N
20．(本题满分15分) 设椭圆C1：的左、右焦点分别是F1、F2，下顶点为A，线段OA的中点为B（O为坐标原点），如图．若抛物线C2：与y轴的交点为B，且经过F1，F2点．
（Ⅰ）求椭圆C1的方程；
Q
（Ⅱ）设，为抛物线C2上的一动点，过点N作抛物线C2的切线交椭圆C1于P、Q两点，求面积的最大值．

21.（本小题满分12分）已知函数（）
（1）若曲线在处的切线方程为求实数的值；
（2）求证：恒成立的充要条件是=1；
（3）若<0且对任意x1, x2,都有 ，求实数的取值
范围。

选做题（本小题满分10分。请考生在第22，23，24三题中任选一题作答，作答时在所
选题号后的方框内划“√”。）
选修4-1：几何证明选讲
22．（本小题满分10分）

A
N
B
M
P
在直径是的半圆上有两点,设与的交点是.
求证:。

选修4-4：坐标系与参数方程
23．（本小题满分10分）
曲线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为．
（1）化曲线、的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）设曲线与轴的一个交点的坐标为，经过点作曲线的切线，求切线的方程．

选修4—5：不等式选讲
24．（本题满分10分）
设函数，
（1）解不等式；
（2）若恒成立的充分条件是,求实数的取值范围.

2011届四校第四次联考
理科数学试题答案
一．选择题：（本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

18．(1)证明　如图，以AB，AC，AA1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A－xyz.
则P(λ，0,1)，N(，，0)，…………………1分
从而＝(－λ，，－1)，＝(0,1，)． ·＝(－λ)×0＋×1－1×＝0，
∴PN⊥AM.　　……………………………4分
(2)解　平面ABC的一个法向量为＝(0,0,1)，………5分
则sinθ＝|cos<,>|=＝ (*)……8分
而θ∈[0，]，当θ最大时，sinθ最大， (θ＝除外)，
由(*)式，当λ＝时，(sinθ)max＝，此时cosθ＝……11分
因此当λ＝时，直线PN与平面ABC所成的角θ最大。其余弦值为……12分
19.（1）根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，…………1分
用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是， ………………2分
所以选中的“高个子”有人，“非高个子”有人．…………3分
用事件表示“至少有一名“高个子”被选中”，则它的对立事件表示“没有一名
“高个子”被选中”，
　则 ． …………………5分
因此，至少有一人是“高个子”的概率是． ………………6分
（２）依题意，的取值为．　　　　　　　　　　………………7分
　，　　　，
　， ． …………………9分
　因此，的分布列如下：

……10分
． …………12分
20．(Ⅰ）解：由题意可知B（0，-1），则A（0，-2），故b=2．
令y=0得即，则F1(-1，0)，F2（1，0），故c=1．
所以．于是椭圆C1的方程为：．…………3分
（Ⅱ）设N（），由于知直线PQ的方程为：
． 即．……………………………4分
代入椭圆方程整理得：,
=,
, ,
故
．………………………………8分
设点M到直线PQ的距离为d，则．…………………9分
所以，的面积S
…………11分
当时取到“=”，经检验此时，满足题意．
综上可知，的面积的最大值为．…………………………12分
21. 解，（1）因为得曲线在处的切线的斜率为1-，由已知 在处的切线方程为从而1-=3 ………… 3分
（2） 充分性：=1
时，函数在（1，+）是增函数
当 时函数在（0，1）是减函数
…………5分
必要性： 由
当时函数在（0，+）是增函数而
当时与当 恒成立矛盾时不满足题意
当时，时函数在（，+）是增函数
当时函数在（0，）是减函数

当时此时与恒成立矛盾
综上，恒成立的充要条件是=1；…………8分

22．证明:作于为直径, （2分）
四点共圆,四点共圆. （6分）
（8分）
(1)+(2)得（9分）
即（10分）
23．解：（1）曲线：；曲线：；……4分曲线为中心是坐标原点，焦点在轴上，长半轴长是4，短半轴长是2的椭圆；曲线为圆心为，半径为的圆……6分
（2）曲线：与轴的交点坐标为和，因为，所以点的坐标为，……8分 显然切线的斜率存在，设为，则切线的方程为，由曲线为圆心为，半径为的圆得 ，解得，所以切线的方程为…10分
24. （10分）解：（1）由，即，所以，解得…………………4分
（2）依题意知：当恒成立，所以当恒成立，即恒成立。
由于当的最大值为3，最小值为2，因此，即,所以实数的取值范围（1,4）……………10分

- 10 -
用心 爱心 专心