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工程光学基础教程习题解答
第一章 几何光学基本定律
1. 已知真空中的光速c＝3m/s，求光在水（n=1.333）、冕牌玻璃（n=1.51）、火石玻璃（n=1.65）、加拿大树胶（n=1.526）、金刚石（n=2.417）等介质中的光速。
    解： 

        则当光在水中，n=1.333时，v=2.25 m/s,
        当光在冕牌玻璃中，n=1.51时，v=1.99  m/s,
        当光在火石玻璃中，n＝1.65时，v=1.82  m/s，
        当光在加拿大树胶中，n=1.526时，v=1.97  m/s，
        当光在金刚石中，n=2.417时，v=1.24  m/s。
2. 一物体经针孔相机在 屏上成一60mm大小的像，若将屏拉远50mm，则像的大小变为70mm,求屏到针孔的初始距离。 
解：在同种均匀介质空间中光线直线传播，如果选定经过节点的光线则方向不变，令屏到针孔的初始距离为x，则可以根据三角形相似得出：
         ,所以x=300mm 
        即屏到针孔的初始距离为300mm。
3. 一厚度为200mm的平行平板玻璃（设n=1.5），下面放一直径为1mm的金属片。若在玻璃板上盖一圆形的纸片，要求在玻璃板上方任何方向上都看不到该金属片，问纸片的最小直径应为多少？
1mm
I=90
n
n
200mm
L
I
x

4.光纤芯的折射率为，包层的折射率为，光纤所在介质的折射率为，求光纤的数值孔径（即，其中为光在光纤内能以全反射方式传播时在入射端面的最大入射角）。
解：位于光纤入射端面，满足由空气入射到光纤芯中，应用折射定律则有：
        n0sinI1=n2sinI2                               (1)  
        而当光束由光纤芯入射到包层的时候满足全反射，使得光束可以在光纤内传播，则有：
                          (2)
     由（1）式和（2）式联立得到n0 .

5. 一束平行细光束入射到一半径r=30mm、折射率n=1.5的玻璃球上，求其会聚点的位置。如果在凸面镀反射膜，其会聚点应在何处？如果在凹面镀反射膜，则反射光束在玻璃中的会聚点又在何处？反射光束经前表面折射后，会聚点又在何处？说明各会聚点的虚实。 
    解：该题可以应用单个折射面的高斯公式来解决，

    设凸面为第一面，凹面为第二面。
   （1）首先考虑光束射入玻璃球第一面时的状态，使用高斯公式：  

       会聚点位于第二面后15mm处。
   （2） 将第一面镀膜，就相当于凸面镜
像位于第一面的右侧，只是延长线的交点，因此是虚像。
   还可以用β正负判断：

（3）光线经过第一面折射：,   虚像
    第二面镀膜，则：

      得到：

（4） 在经过第一面折射

物像相反为虚像。
6.一直径为400mm，折射率为1.5的玻璃球中有两个小气泡，一个位于球心，另一个位于1／2半径处。沿两气泡连线方向在球两边观察，问看到的气泡在何处？如果在水中观察，看到的气泡又在何处？
    解：
    设一个气泡在中心处，另一个在第二面和中心之间。
     （1）从第一面向第二面看

     （2）从第二面向第一面看

（3）在水中

7.有一平凸透镜r=100mm,r,d=300mm,n=1.5,当物体在时，求高斯像的位置。在第二面上刻一十字丝，问其通过球面的共轭像在何处？当入射高度h=10mm，实际光线的像方截距为多少？与高斯像面的距离为多少？

  解：

8.一球面镜半径r=-100mm,求＝0 ， ， ，-1 ， ，，，∝时的物距和象距。
解：（1）

         （2） 同理，

         （3）同理， （4）同理，

（5）同理， （6）同理，

      （7）同理， （8）同理，

 9. 一物体位于半径为r 的凹面镜前什么位置时，可分别得到：放大4倍的实像，当大4倍的虚像、缩小4倍的实像和缩小4倍的虚像？
解：（1）放大4倍的实像

        （2）放大四倍虚像

  （3）缩小四倍实像    

         （4）缩小四倍虚像

10． 一个直径为200mm的玻璃球，折射率为1.53，球内有两个小气泡，从球外看其中一个恰好在球心。 从最近的方位去看另一个气泡，它位于球表面和球心的中间。 求两气泡的实际位置。
（解题思路） 玻璃球内部的气泡作为实物经单球面折射成像。 由于人眼的瞳孔直径很小，约2—3毫米，且是从离气泡最近的方位观察， 所以本题是单球面折射的近轴成像问题。题中给出的是像距s’, 需要求的是物距是s。

解：
（1）n=1.53 n’=1.00 r=-100mm
s’=-100mm 代入成像公式
s=-100mm
物为实物，且和像的位置重合，
且位于球心。

（2） 对另一个气泡，已知n=1.53;n’=1.00; r=-100mm
s’=-50mm . 代入成像公式
s=-60.47mm

气泡为实物，它的实际位置在离球心（100-60.47）=39.53mm的地方。 讨论： 对于第一个气泡，也可以根据光的可逆性来确定。 因为第一个气泡和像是重合的，由可逆性将像视为物,经球面折射后仍成在相同的位置。 所以像和物只能位于球心。

11一直径为20mm的玻璃球，其折射率为，今有一光线一60入射角入射到该玻璃球上，试分析光线经玻璃球传播情况。

解：在入射点A处。同时发生折射和反射现象

I
I
I
I
I
I
I
I
I

∴在A点处光线以30的折射角进入玻璃球，同时又以60的反射角返回原介质。根据球的对称性，知折射光线将到达图中B点处，并发生折射反射现象。

同理：由B点发出的反射光线可以到达C点处，并发生反射折射现象

B点的反射光线可再次到达A点，并发生折、反现象。

由以上分析可知：当光线以60入射角射入折射率为的玻璃球，后，可在如图A，B，C三点连续产生折射反射现象。ABC构成了玻璃球的内解正三角形，在ABC三点的反射光线构成了正三角形的三条边。同时，在ABC三点有折射光线一60角进入空气中
事实上：光照射到透明介质光滑界面上时，大部分折射到另一介质中，也有小部分光反射回原来的介质中
当光照射到透明介质界面上时，折射是最主要的，反射是次要的

12有平凸透镜r=100mm，r=∞，d=300mm，n=1.5,当物体在-∞时，求高斯像的位置l’。在第二面上刻一十字丝，问其通过球面的共轭像处？当入射高度h=10mm时，实际光线的像方截距为多少？与高斯像面的距离为多少？
d=300mm
r=100mm
I

r=∞
－I
I’
B’
B”
A’
n=1.5

解 1） 由

代入 , ,, 得：

即：物体位于－∞时，其高斯像点在第二面的中心处。
2）由光路的可逆性可知 ：第二面上的十字丝像在物方∞处。
3）当时

由△关系可得：

它与高斯像面的距离为－0.4169mm
重点：
1 所有的折射面都有贡献。
2 近轴光线和远轴光线的区别。
13一球面镜半径r=-100mm，求β=0，-0.１，-０.２，-１，１，５，１0，∞时的物距和像距。

求β=0,－0.1, －0.2,－1,1,5,10,∞时的l,l’
解： ，

1） 时，
， (可用解)

2) 时，
3) 时， ,
4) 时，
5) 时， ,
6) 时， ,
7) 时， ，
8） 时， ,

14 思考题：为什么日出或日落时太阳看起来是扁的？
答：日出或日落时，太阳位于地平线附近。对于地球的一点，来自太阳顶部、中部和底部的光线射向地球大气层的入射角依次增大。同时，由于大气层的密度不均匀，引起折射率n 随接近地面而逐渐增大。 所以当光线穿过大气层射向地面时，折射率n 逐渐增大，其折射角逐渐减少，光线的传播路径发生弯曲。我们沿着光线看去，看到的发光点位置比其实际位置抬高。另一方面，折射光线的弯曲程度还与光线入射角有关。 入射角越大的光线，弯曲越厉害，视觉位置被抬的越高。因此从太阳上部到太阳下部发出的光线，入射角逐渐增大，下部的视觉位置就依次比上部抬的更高。所以，日出和日落时太阳看起来呈扁椭圆形。

第二章 理想光学系统
1.针对位于空气中的正透镜组及负透镜组，试用作图法分别对以下物距
,求像平面的位置。
解：1.

F F
H H

A
B
F
A
B
F

A
B
A
B
F

A
B
A
B
F
F

A
B
F
B
A
F

A
B
F
B
A
F

A
B
F

A
B
F
B
A
F

F
F

2.
F
F

A
B
F
B
A
F

A
B
F
B
A

A
B
F
B
A
F

A
B
F
B
A
F

A
B
F
B
A
F

F
F

A
B
F
B
A
F

2. 已知照相物镜的焦距f’＝75mm,被摄景物位于（以F点为坐标原点）处，试求照相底片应分别放在离物镜的像方焦面多远的地方。
    解：     （1）x= -∝ ，xx′=ff′ 得到：x′=0
     （2）x′=0.5625
     （3）x′=0.703
     （4）x′=0.937
     （5）x′=1.4
（6）x′=2.81
3.设一系统位于空气中，垂轴放大率，由物面到像面的距离（共轭距离）为7200mm，
物镜两焦点间距离为1140mm。求该物镜焦距，并绘出基点位置图。
F
F
H
H
-l
l
-f
f
x
解:

∵ 系统位于空气中，

由已知条件：

解得：
4.已知一个透镜把物体放大投影到屏幕上，当透镜向物体移近18mm时，物体将被放大，试求透镜的焦距，并用图解法校核之。
解：方法一：
①
②
③
④

将①②③代入④中得
∴
方法二：

方法三：

5.一个薄透镜对某一物体成实像，放大率为,今以另一个薄透镜紧贴在第一个透镜上，则见像向透镜方向移动，放大率为原先的3/4倍，求两块透镜的焦距为多少？
解：

6.有一正薄透镜对某一物成倒立的实像，像高为物高的一半，今将物面向物体移近100mm，
-l
l
则所得像与物同大小，求该正透镜组的焦距。
解：由已知得：

100mm
-l
l

由高斯公式：
解得：
7.希望得到一个对无限远成像的长焦距物镜，焦距，由物镜顶点到像面的距离L=，由系统最后一面到像平面的距离（工作距）为，按最简单结构的薄透镜系统考虑，求系统结构，并画出光路图。
 解：

8. 一短焦距物镜，已知其焦距为，筒长L=，工作距,按最简单结构的薄透镜系统考虑，求系统结构。
解：

9.已知一透镜，求其焦距,光焦度，基点位置。
解：已知
求：,基点位置。

10. 一薄透镜组焦距为，和另一焦距为的薄透镜组合，其组合焦距仍为，问两薄透镜的相对位置，并求基点位置，以图解法校核之。
解：

11. 长，折射率为1.5的玻璃棒，在其两端磨成曲率半径为的凸球面，试求其焦距及基点位置。
解：

12. 一束平行光垂直入射到平凸透镜上，会聚于透镜后处，如在此透镜凸面上镀银，则平行光会聚于透镜前处，求透镜折射率和凸面曲率半径。
     解：

13.一块厚透镜，试求该透镜焦距和基点位置。如果物距时，问像在何处？如果平行光入射时，使透镜绕一和光轴垂直的轴转动，而要求像点位置不变，问该轴应装在何处？

H
H
A
A
-l
l
-l
l
-l
l
解：

⑴

⑵

⑶绕过像方节点位置轴旋转，点处。
14 思考题：
1、同一物体经针孔或平面镜所成的像有何不同？
答：由反射定律可知，平面镜的物和像是关于镜面对称的。坐标由右旋坐标
系变为像的左旋坐标系，因此像和物左右互易上下并不颠倒。即物体经平面镜生
成等大、正立的虚像。
物体经针孔成像时，物点和像点之间相对于针孔对称。右旋坐标系惊针孔所
成的像仍为右旋坐标系，因此像和物上下左右都是互易的，而且像的大小与针孔
到接收屏的距离有关。即物体经针孔生成倒立的实像。

2、一束在空气中波长为589.3nm 的钠黄光，从空气进入水中时，它的波长将变
为多少？在水中观察这束光时，其颜色会改变吗？

3、凹透镜可否单独用作放大镜？
答：因凹透镜对实物只能生成缩小的虚像，当人眼通过凹透镜观察物体时，
人眼对缩小的虚像的视角总是小于（最多等于）不用凹透镜时直接观察物体的视
角（这是人眼须紧贴凹透镜），故凹透镜的视角放大率不可能大于1。所以凹透
镜不能单独用作放大镜。

4、薄透镜的焦距与它所在介质是否有关？凸透镜一定是会聚透镜吗？凹透镜一
定是发散透镜吗？

第三章 平面与平面系统
1. 人照镜子时，要想看到自己的全身，问镜子要多长？人离镜子的距离有没有关系？
   解：

镜子的高度为1/2人身高，和前后距离无关。
2有一双面镜系统，光线平行于其中一个平面镜入射，经两次反射后，出射光线与另一平面镜平行，问两平面镜的夹角为多少？
解：
N
-I
I
M
α
I
α
α
α
-I
N
M
M
B
O
A

同理： 中

答：α角等于60。
3. 如图3-4所示，设平行光管物镜L的焦距=1000mm，顶杆离光轴的距离a =10mm。如果推动顶杆使平面镜倾斜，物镜焦点F的自准直象相对于F产生了y =2mm的位移，问平面镜的倾角为多少？顶杆的移动量为多少？
解：

a
x
θ
2θ
F
Y

f

图3-4
4. 一光学系统由一透镜和平面镜组成，如图3-29所示。平面镜MM与透镜光轴垂直交于D 点，透镜前方离平面镜600mm有一物体AB，经透镜和平面镜后，所成虚像至平面镜的距离为150mm,且像高为物高的一半，试分析透镜焦距的正负，确定透镜的位置和焦距，并画出光路图。
B
A
B
M
150
600
L
-L
A
A
D
B
M

图3-29 习题4图
解： 由于平面镜性质可得及其位置在平面镜前150mm处
为虚像,为实像
则
解得
又-=
答：透镜焦距为100mm。
5．如图3-30所示，焦距为=120mm的透镜后有一厚度为d =60mm的平行平板，其折射率n =1.5。当平行平板绕O点旋转时，像点在像平面内上下移动，试求移动量△与旋转角φ的关系，并画出关系曲线。如果像点移动允许有0.02mm的非线形度，试求φ允许的最大值。
△
A
O
60
30
120

D
E
I
I
I
I

d

图3-30 习题5图
解：
（1）

由图可知
==

=
=
=
(2)
考虑斜平行光入射情况不发生旋转时
d
D
D
D
B
B
O
A
ω
φ
φ
φ

当平行板转过φ角时

=

=
=
]
6. 用焦距=450mm的翻拍物镜拍摄文件,文件上压一块折射率n=1.5,厚度d=15mm的玻璃平板,若拍摄倍率β=-1试求物镜主面到平板玻璃第一面的距离。
解：
L

O
-L
A
A
O
O

又A和A是一对共轭点（关于O）

答：物镜主面到平板玻璃第一面的距离为890mm。
7. 试判断如图3-31所示各棱镜或棱镜系统的转像情况，设输入为右手系，画出相应输出坐标系。
x

.

y
z

y
z
x

b)

.
x
z
y
c)

.
d)

x

y z
8.试画出图3-12所示直角棱镜和图所示斜方棱镜的展开图。设30直交棱镜的口径等于斜边棱镜的一半，斜方棱镜的口径等于直角边，分别求出这两种棱镜的结构参数。
9.试画出图3-31所示列曼棱镜、图中阿贝棱镜P和图3-18所示别汉棱镜的展开图。

10. 棱镜折射角α =,c光的最小偏向角,试求棱镜光学材料的折射率。
解：

答：光学材料的折射率为1.58998。
11. 白光经过顶角α=的色散棱镜,n =1.51的色光处于最小偏向角。试求其最小偏向角及n =1.52的色光相对于n =1.51的色光间的夹角。
解：
60

sin

答：所求夹角为。
12.如图3-32所示，图a表示一个单光楔在物镜前移动;图b表示一个双光楔在物镜前相对转动；图c表示一块平行平板在物镜前转动。问无限远物点通过物镜后所成像点在位置上有什么变化？
c)
b)
a)

图3-32 习题12图

13.如图3-33所示，光线以45角入射到平面镜上反射后通过折射率n =1.5163,顶角为的光楔。若使入射光线与最后的出射光线成，试确定平面镜所应转动的方向和角度值。

图3-33 习题13图

α
θ
O
O
δ
α
N

解：=2
在

答：平面镜顺时针旋转1.0336即可使入射光线与出射光线成90。

第四章 光学系统中的光束限制
1.设照相物镜的焦距等于75mm，底片尺寸为55×55㎜，求该照相物镜的最大视场角等于多少？
解：
f
-ω

3.假定显微镜目镜的视角放大率Γ=15，物镜的倍率β=2.5,求物镜的焦距和要求的通光口径。如该显微镜用于测量，问物镜的通光口径需要多大（u=-2y=8mm显微镜物镜的物平面到像平面的距离为180mm）？
解：
（1）

在此情况下，物镜即为显微镜的孔径光阑

O
-u
B
A
B
A
L
L

L
M
M
M
B
A

出瞳
L
ω
α
F
A
B
f
O
F
-u
L
-
L

（2）
用于测量时，系统中加入了孔径光阑，目镜是视场光阑
由于u已知，根据u可确定孔径光阑的大小

在

答：物镜的焦距为36.73mm，物镜的孔径为7.734mm，用于测量时物镜孔径为
15.726mm。
4. 在本章第二节中的双目望远镜系统中，假定物镜的口径为30mm，目镜的通光口径为20mm，如果系统中没有视场光阑，问该望远镜最大的极限视场角等于多少？渐晕系数k =0.5的视场角等于多少？
解：（1）
f
-f
x
y
ω

（2）

-f
f
ω

答：极限视场角等于11.33渐晕系数为0.5的视场角为9.08。
5. 如果要求上述系统的出射瞳孔离开目镜像方主面的距离为15mm，求在物镜焦面上加入的场镜焦距。
解：
L
-f
f
D
D
D

D对场镜成像，位置为
对目镜有
可得

对场镜

答：场镜焦距为54mm。
6.思考题：当物点在垂直光轴方向上下移动时，系统的孔径光阑是否改变？
答：当物点在垂直光轴方向上下移动时，孔径光阑对来自不同点的成像光束
口径限制最大，所以系统的孔径光阑不变。

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