【三维设计】高考数学-第八章第八节曲线与方程课后练习-理-人教A版.doc

【三维设计】2013届高考数学 第八章第八节曲线与方程课后练习 理 人教A版
一、选择题
1．(2012·济南模拟)方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0的曲线是(　　)
A．一条直线和一条双曲线　　　　　 B．两条双曲线
C．两个点 D．以上答案都不对
解析：(x－y)2＋(xy－1)2＝0⇔
∴或
答案：C
2．长为3的线段AB的端点A、B分别在x轴、y轴上移动，＝2，则点C的轨迹是(　　)
A．线段 B．圆
C．椭圆 D．双曲线
解析：设C(x，y)，A(a,0)，B(0，b)，则a2＋b2＝9，①
又＝2，所以(x－a，y)＝2(－x，b－y)，
即②
代入①式整理可得x2＋＝1.
答案：C
3.如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是(　　)
A．椭圆　　　　　 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
解析：由条件知|PM|＝|PF|，
∴|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|>|OF|
∴P点的轨迹是以O、F为焦点的椭圆．
答案：A
4．已知A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是(　　)
A．y2－＝1(y≤－1)
B．y2－＝1(y≥1)
C．x2－＝1(x≤－1)
D．x2－＝1(x≥1)
解析：由题意知|AC|＝13，|BC|＝15，|AB|＝14，又|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|，∴|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2，故点F的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线的下支．又c＝7，a＝1，b2＝48，∴点F的轨迹方程为y2－＝1(y≤－1)．
答案：A
5．已知定点A(2,0)，它与抛物线y2＝x上的动点P连线的中点M的轨迹方程为(　　)
A．y2＝2(x－1) B．y2＝4(x－1)
C．y2＝x－1 D．y2＝(x－1)
解析：设P(x0，y0)，M(x，y)，则所以，由于y＝x0，所以4y2＝2x－2.
即y2＝(x－1)．
答案：D
二、填空题
6．已知圆的方程为x2＋y2＝4，若抛物线过点A(－1,0)、B(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是____________．
解析：设抛物线焦点为F，过A、B、O作准线的垂线AA1、BB1、OO1，则|AA1|＋|BB1|＝2|OO1|＝4，由抛物线定义得|AA1|＋|BB1|＝|FA|＋|FB|，∴|FA|＋|FB|＝4，故F点的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．
答案：＋＝1(y≠0)
7．直线＋＝1与x、y轴交点的中点的轨迹方程是__________．
解析：(参数法)设直线＋＝1与x、y轴交点为A(a,0)、B(0,2－a)，A、B中点为M(x，y)，则x＝，y＝1－，消去a，得x＋y＝1，∵a≠0，a≠2，∴x≠0，x≠1.
答案：x＋y＝1(x≠0，x≠1)
三、解答题
8.如图，已知F(1,0)，直线l：x＝－1，P为平面上的动点，过点P作l的垂线，垂足为点Q，且· ＝·.求动点P的轨迹C的方程．
解：法一：设点P(x，y)，则Q(－1，y)，
由·＝·，得(x＋1,0)·(2，－y)＝(x－1，y)·(－2，y)，化简得C：y2＝4x.
法二：由·＝·，
得·(＋)＝0，∴(－)·(＋)＝0，
∴2－2＝0.∴||＝||.
∴点P的轨迹C是抛物线，由题意，轨迹C的方程为y2＝4x.
9．已知定点F(0,1)和直线l1：y＝－1，过定点F与直线l1相切的动圆的圆心为点C.
(1)求动点C的轨迹方程；
(2)过点F的直线l2交轨迹于两点P、Q，交直线l1于点R，求·的最小值．
解：(1)由题设知点C到点F的距离等于它到l1的距离，
∴点C的轨迹是以F为焦点，l1为准线的抛物线，
∴动点C的轨迹方程为x2＝4y.
(2)由题意知，直线l2的方程可设为y＝kx＋1(k≠0)，与抛物线方程联立消去y，得x2－4kx－4＝0.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，
x1x2＝－4.
又易得点R的坐标为(－，－1)，
∴·＝(x1＋，y1＋1)·(x2＋，y2＋1)
＝(x1＋)(x2＋)＋(kx1＋2)(kx2＋2)
＝(1＋k2)x1x2＋(＋2k)(x1＋x2)＋＋4
＝－4(1＋k2)＋4k(＋2k)＋＋4
＝4(k2＋)＋8.
∵k2＋≥2，当且仅当k2＝1时取等号，
∴·≥4×2＋8＝16，即·的最小值为16.
10．(2011·天津高考)在平面直角坐标系xOy中，点P(a，b)(a>b>0)为动点，F1、F2分别为椭圆＋＝1的左、右焦点．已知△F1PF2为等腰三角形．
(1)求椭圆的离心率e；
(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF2上的点．满足·＝－2，求点M的轨迹方程．
解：(1)设F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)．
由题意，可得|PF2|＝|F1F2|，即＝2c，整理得2()2＋－1＝0，
得＝－1(舍)，或＝.所以e＝.
(2)由(1)知a＝2c，b＝c，
可得椭圆方程为3x2＋4y2＝12c2，
直线PF2的方程为y＝(x－c)．
A，B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得5x2－8cx＝0，解得x1＝0，x2＝c.
得方程组的解
不妨设A(c，c)，B(0，－c)．
设点M的坐标为(x，y)，则＝(x－c，y－c)，
＝(x，y＋c)．
由y＝(x－c)，得c＝x－y.
于是＝(y－x，y－x)，
＝(x，x)．
由·＝－2，
即(y－x)·x＋(y－x)·x＝－2，
化简得18x2－16xy－15＝0.
将y＝代入c＝x－y，
得c＝>0.所以x>0.
因此，点M的轨迹方程是18x2－16xy－15＝0(x>0)．

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