初中数学竞赛试卷.doc

2006年初中数学竞赛训练（十一）
姓名_______
一、选择题（本题有8小题，每小题5分，共40分）
每小题都只有一个答案是正确的，多选不给分
1．若a、b为实数，则下列命题中正确的是（ ）
（A）a＞ba2＞b2 (B)a≠ba2≠b2
(C)|a|＞ba2＞b2 (D)a＞|b|a2＞b2
2．已知：a+b+c=3,a2+b2+c2=3,则a2006+b2006+c2006的值是（ ）
（A） 0 (B) 3 (C) 22006 (D)3·22006
3．一架天平因为两臂的长不相等，所以称得物体质量不准. 要是把某物体放在天平的左盘，称得质量是克，把这一物体放在天平的右盘，称得质量是克，那么这个物体的准确质量（单位：克）是
（A） （B） （C） （D）
4． 函数图象的大致位置如右图所示，则
等代
数式的值中，正数有
（A）2个 （B）3个 （C）4个 （D）5个 （第4题）
5． 某工厂实行计时工资制，每个工人工作1小时的报酬是6元，一天工作8小时.但是用于计时的那口钟不准：每69分钟才使分针与时针重合一次，因此工厂每天少付给每个工人的工资是
（A）2.20元 （B）2.40元 （C）2.60元 （D）2.80元
6． 2条相交的弦把圆分成4部分，3条两两相交的弦最多能把圆分成7部分，如果两两相交的k条弦最多能把圆分成n部分，那么两两相
交的k＋1条弦最多能把圆分成几部分？答：
（A）n＋1 （B）2n （C）n＋k （D）n＋k＋1
7． 把正三角形ABC翻折，使顶点A与BC上的点D重合，
EF是折痕，若BD<DC，则下列判断：△CDE∽△BFD，
△CDE∽△AEF，△CDE∽△DEF，△AEF≌△DEF， （第7题）
正确的判断有
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
8． 某种饮料由牛奶和橙汁按一定的质量比配置而成，牛奶和橙汁的市场价的比为
1：6，由此确定价格. 今年尽管牛奶价格下降15%，橙汁价格上升10%，但这
种饮料的成本不变，由此可知这种饮料中橙汁的质量占
（A）20% （B）25% （C）30% （D）35%
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
9． 如图，⊙O的直径AB与弦EF相交于点P，交角为45°，若=8，
则AB=________。
10． 直线与直线L成轴对称，对称轴是直线，请写出直线L的函
数解析式：___________。
11． 根据锐角三角函数的定义，我们知道，对于任何锐角，都有.
如果关于x的方程有实数根，那么锐角的取值范围是___________。
12．如图，在□ABCD中，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，E，F为垂足. 设□ABCD的面积为S，则△AEF的面积为___________。
13．满足a＋b＋c=0，abc=8的三个实数a，b，c中，最大的一个实数至少等于___________。
14．如图，AD是Rt△ABC的斜边BC上的高线，要使△ACD的面积是△ABC 和△ABD面积的比例中项，请你添加一个适当的条件：________。

（第9题） （第12题） （第14题）
三、解答题（本题有4小题，共50分）
要求有解答过程，书写规范。
15．（12分）规定运算满足a﹡a=1(a≠0)，a﹡(b﹡c)=(a ﹡b)c,其中b,c≠0,a,b,c为实数，求方程x2﹡9=223x的解。

16．（12分）把自然数按下图的次序排在直角坐标系中，每个自然数就对应着一个坐标. 例如1的对应点是原点（0，0），3的对应点是（1，1），16的对应点是（－1，2）.那么，2006的对应点的坐标是什么？

（第16题）

17．（本题12分）某市为了节约用水，规定：每户每月用水量不超过最低限量am3时，只付基本费8元和定额损耗费c元（c≤5）；若用水量超过am3时，除了付同上的基本费和损耗费外，超过部分每1m3付b元的超额费。
某市一家庭今年一月份、二月份和三月份的用水量和支付费用如下表所示：

用水量（）
交水费（元）
一月份
9
9
二月份
15
19
三月份
22
33
根据上表的表格中的数据，求a、b、c。

18．(本题14分)（1）如图5，在梯形ABCD中，AB∥CD，，，E为AD边上的任意一点，EF∥AB，且EF交BC于点F，某学生在研究这一问题时，发现如下事实：

①当时，有；
②当时，有；
③当时，有． 图5
当时，参照上述研究结论，请你猜想用k表示EF的一般结论，并给出证明。

图6
（2）现有一块直角梯形田地（如图6所示），其中AB∥CD，，310米，170米，70米．若要将这块地分割成两块，由两农户来承包，要求这两块地均为直角梯形，且它们的面积相等．请你给出具体分割方案．

2006年初中数学竞赛（训练十一）
参考解答和评分标准
一、选择题（每小题5分，共40分）
1．D
2．B(用配方法可得a=b=c=1,…)
3．B
设物体的准确质量为x，左右两臂长分别为a，b，则.
两式相乘，约去正数ab，得.
4．A
显然，由，得，所以；
由a－b＋c<0得；
由a＋b＋c>0得a＋b>－c>0，因此.
综上所述，仅有为正数.
5．C
正常的时钟，分针与时针重合一次的时间为分，因此，工人一天实
际工作时间为（小时），超过（小时）.
少付工资元
6．D
第k＋1条直线与前面的k条直线都相交，且不经过原有的任何一个交点，因此
把前k条直线为边界的（k＋1）个区域一分为二，增加了（k＋1）个区域，结
果区域总数成为n＋k＋1.
7．B
只有两个判断正确：△CDE∽△BFD，△AEF≌△DEF.
8．A
不妨认为牛奶价格为1，橙汁价格为6，调价后，牛奶价格为85%，橙汁价格为
110%.设这种饮料是由x单位的牛奶与y单位的橙汁配置而成，则
，
化简得，即橙汁占20%.
二、填空题（每小题5分，共30分）
9．4
作E关于AB的对称点G，则PG=PE，PG⊥PE，
.
但FG所对的圆周角为45°，所以FG所对的圆心角为90°，圆的半径为2.
10．
直线经过点（0，－3）和（1，－1），因此L经过点（－3，0）和
（－1，1）
11．30°
由得
.
但.
12.
由△ABE∽△ADF得,即，
易证∠B=∠EAF，可知△AEF∽△ABC，相似比为.
但△ABC的面积为，所以△AEF的面积为.
13．
由条件知a，b，c三个数必有一正两负，不妨认为c>0，则c是最大数.把条件
化为，则a，b是方程的实数根，于是
.
14．有多种答案，如①AB=CD；②AC2=AB.BC；③AD2=BD.AB ④CD2=AC.AD；
⑤AB2=AD.AC；⑥CD2=BC.BD等等
三、解答题（共50分）
15．（12分）由题意a﹡(a﹡a)=(a ﹡a)a,即a﹡1=1·a=a, （4分）
而a﹡(b﹡b)=(a ﹡b)b,即a﹡1=(a ﹡b)b，a=(a ﹡b)b, 得a ﹡b=， （4分）
故方程x2﹡9=223x可化为，解得x=2007. （4分）
16．（12分）
观察图的结构，发现所有奇数的平方数都在第四象限的角平分线上. （4分）
，由得n=23，
所以2025的坐标为（45，－45） （4分）
图中纵坐标为－45的数共有46个，2006=2025－19，
45－19=26，
所以2004的坐标是（26，－45）. （4分）

17．解：设每月用水量为x，支付水费为y元。则
　　（3分）
由题意知：0＜c≤5 ∴ 0＜8＋c≤13 （3分）
从表中可知，第二、三月份的水费均大于13元，故用水量15、22均大于最低限量a，将x＝15，x＝22分别代入②式，得

解得　 b＝2，　2a＝c＋19　　　　　⑤ （3分）
再分析一月份的用水量是否超过最低限量，不妨设9＞a，将x＝9代入②，得
9＝8＋2（9－a）＋c，即2a＝c＋17　 ⑥
⑥与⑤矛盾。 （3分）
故9≤a，则一月份的付款方式应选①式，则8＋c＝9，　∴　c＝1
代入⑤式得，a＝10。
综上得　a＝10，b＝2，c＝1。 （2分）

18. 解：当时，EF=。 （2分）

证明：过E点作，交AB于点G，交CD的延长线于点H，设EF=x，
则由∥CD，EF∥AB，得BG∥EF∥CH，∴BG=EF=CH= x， （2分）
于是DH=x－a, AG=b－x，∵DH∥AG，∴△EDH∽△EAG，
∴，即，化简得x=,即EF=。 （2分）
解：在AD上截取DM=40米，过M点作MN∥AB交BC于点N，则MN为分割线。
∵DM=40，∴AM=30，∴K=；
由（1）得EF=，把a=170,b=310,k=代入得EF=250， ，
而
所以，
又四边形CDMN和四边形MNBA均为直角梯形，故MN符合要求。

17．甲，乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v的平方成正比，比例系数b；固定部分为a元。
（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的自变量的取值范围；
（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？
解：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为s/v ,则全程的运输成本为：
，自变量v的取值范围是0<v≤c.
(2)记g(v)=,∵a,b,v都是正数，∴
故若，则当v=时，g(v)最小，则全程运输成本y最小；
若，则当v=c时，g(v)最小，则全程运输成本y最小。
18．某水产养殖场拟造一个平面图为矩形且面积为160平方米的水产养殖网箱。为了避免混养，箱中要安装一些筛网，平面图如下所示，如果网箱四周网衣（图中实线部分）建造单价每米长160元，筛网（图中虚线部分）建造单价每米长64元，网箱底面建造单价每平方米160元，网衣及网箱的厚度均忽略不计。
（1）把建造网箱的总造价y表示为网箱的长x的函数，并求出最低总造价。
（2）若要求网箱的长和宽均不超过15米，则当网箱的长和宽各为多少米时，可使总造价最低？

11、我区某镇地理环境偏僻，严重制约经济发展，丰富的花木产品只能在本地销售，我区政府对该花木产品每投资 x万元，所获利润为P=-（x-30）2+10万元.为了响应我国西部大开发的宏伟决策，我区政府在制定经济发展的10年规划时，拟开发此花木产品，而开发前后可用于该项目投资的专项资金每年最多50万元.若开发该产品，在前5年中，必须每年从专项资金中拿出25万元投资修通一条公路，且5年修通.公路修通后，花木产品除在本地销售外，还可运往外地销售，运往外地销售的花木产品，每投资x万元可获利润Q= -（50-x）2+（50-x）+308万元.
（1）若不进行开发，求10年所获利润的最大值是多少？
（2）若按此规划进行开发，求10年所获利润的最大值是多少？
（3）根据（1）、（2）计算的结果，请你用一句话谈谈你的想法.
15．（12分）如图，P为正方形ABCD内的一点，画
□PAHD，□PBEA，□PCFB，□PDGC，请证明：
以E，F，G，H为顶点的四边形是正方形。

15．（12分）
如图，PH，PG分别与AD，CD相交于M，N，根据平行四边形的性质，M平分AD和PH，N平分CD和PG，因此MN是△PHG的中位线.
所以HG∥MN，HG=2MN. （6分）
顺次连接正方形ABCD各边中点得正方形MNLK，同理可证：
GF∥NL，GF=2NL；FE∥LK，FE=2LK；EH∥KM，EH=2KM.
所以E，F，G，H是正方形的四个顶点. （6分）

初三竞赛试卷第10页（共10页）