江苏省扬州中学2015届高三第四次模拟考试(5月) 数学.doc

2015届高三第四次模拟考试试卷答案
数　　学
(满分160分，考试时间120分钟)
注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）
1. 已知集合M＝{x|x＜1}，N＝{x|lg(2x＋1)＞0}，则M∩N＝ ▲ ．
【答案】(0,1)
2. 复数z＝为纯虚数，则实数a的值为 ▲ ．
【答案】1
3. 某学校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为 ▲ ．
【答案】8
4. 执行如图所示流程图，得到的结果是 ▲ ．
【答案】
5. 已知双曲线(a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为y＝x，那么该双曲线的离心率为 ▲ ．
【答案】
6. 将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则所得的两个点数中至少有一个是奇数的概率为 ▲ ．
【答案】
7. 函数f (x)＝＋a（x≠0），则“f (1)＝1”是“函数f (x)为奇函数”的 ▲ 条件（用“充分不必要”，“必要不充分”“充要”“既非充分又非必要”填写）．
【答案】充要
8. 若一圆锥的底面半径为3，体积是12π，则该圆锥的侧面积等于 ▲ ．
【答案】15π
9. 已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是________．
【答案】4 解：x＋2y＝8－x·(2y)≥8－2，整理得2＋4－32≥0，
即≥0．又x＋2y＞0，∴x＋2y≥4．
10. 函数y＝sinα·(sinα－cosα) (a∈[－,0])的最大值为 ▲ ．
【答案】+
11. 已知△ABC是等边三角形，有一点D满足＋＝，且||＝，那么＝ ▲ ．
【答案】3
12. 已知函数f (x)＝，若x1,x2∈R，x1≠x2，使得f (x1)＝f (x2)成立，则实数a的取值范围是 ▲ ．
【答案】(－∞,4)
13. 已知函数f (x)满足f (x)＝f ()，当x∈[1,3]时，f (x)＝lnx，若在区间[,3]内，函数g(x)＝f (x)－ax与x轴有三个不同的交点，则实数a的取值范围是 ▲ ．
【答案】,
14. 各项均为实数的等差数列的公差为2，其首项的平方与其余各项之和不超过33，则这样的数列至多有 ▲ 项．
【答案】7
解：＋a2＋a3＋···＋an＝＋＝＋(n－1)(a1＋n)＝＋(n－1)a1＋n(n－1)＝2＋n(n－1)－＝2＋≤33
为了使得n尽量大，故2＝0，∴≤33
∴(n－1)(3n＋1)≤132，当n＝6时，5×19＜132；当n＝7时，6×22＝132，
故nmax＝7．【注】不易猜测：－3，－1，1，3，5，7，9．
二、解答题（本大题共6小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. （本小题满分14分）
已知函数f (x)＝sin(ωx＋φ) (ω＞0，0＜φ＜π)，其图像经过点M，且与x轴两个相邻的交点的距离为π．
（1）求f (x)的解析式；
（2）在△ABC中，a＝13，f (A)＝，f (B)＝，求△ABC的面积．
解：（1）依题意知，T＝2π，∴ω＝1，∴f (x)＝sin(x＋φ) ………2分
∵f ()＝sin(＋φ)＝，且0＜φ＜π ∴＜＋φ＜ ∴＋φ＝ 即φ＝ ……5分
∴f (x)＝sin＝cosx． ………6分
注意：不写φ的范围，直接得φ的值扣1分，f (x)的解析式不化简不扣分．
（2）∵f (A)＝cosA＝，f (B)＝cosB＝， ∴A,B∈(0,)
∴sinA＝，sinB＝ ………8分
∴sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝ ………10分
∵在△ABC中＝ ∴b＝15. ………12分
∴S△ABC＝absinC＝×13×15×＝84． ………14分
注意：其他解法参照给分
16. （本小题满分14分）
在正三棱柱ABC－A1B1C1中，点D是BC的中点．
（1）求证：A1C∥平面AB1D；
（2）设M为棱CC1的点，且满足BM⊥B1D，
求证：平面AB1D⊥平面ABM．

证明：(1)　记A1B∩AB1＝O，连接OD.
∵四边形AA1B1B为矩形，∴O是A1B的中点，
又∵D是BC的中点，∴A1C∥OD. ………2分
又∵A1C平面AB1D，OD⊂平面AB1D，
∴A1C∥平面AB1D. ………6分
注意：条件“A1C平面AB1D，OD⊂平面AB1D”少写一个扣除2分，两个都不写本小步4分扣完！
(2)∵△ABC是正三角形，D是BC的中点，
∴AD⊥BC. ………8分
∵平面ABC⊥平面BB1C1C，
平面ABC∩平面BB1C1C＝BC，AD⊂平面ABC，
∴AD⊥平面BB1C1C.
【或利用CC1⊥平面ABC证明AD⊥平面BB1C1C.】 ………10分
∵BM⊂平面BB1C1C，∴AD⊥BM. ………12分
又∵BM⊥B1D，AD∩B1D＝D，AD,B1D⊂平面AB1D，
∴BM⊥平面AB1D.
又∵BM⊂平面ABM，∴平面AB1D⊥平面ABM． ………14分
17. （本小题满分15分）
如图，某广场为一半径为80米的半圆形区域，现准备在其一扇形区域OAB内建两个圆形花坛，该扇形的圆心角为变量2θ（），其中半径较大的花坛⊙P内切于该扇形，半径较小的花坛⊙Q与⊙P外切，且与OA、OB相切．
（1）求半径较大的花坛⊙P的半径（用θ表示）；
（2）求半径较小的花坛⊙Q的半径的最大值．

解：(1)设⊙P切OA于M，连PM，⊙Q切OA于N，连QN，
记⊙P、⊙Q的半径分别为rP、rQ．
∵⊙P与⊙O内切，∴|OP|＝80－rP，
∴＋rP＝80， ………4分
∴rP＝ (0＜θ＜) ………6分
(2)∵|PQ|＝rP＋rQ∴|OP|－|OQ|＝－＝rP＋rQ
∴rQ＝ (0＜θ＜) ………10分
法一：令t＝1＋sinθ∈(1,2)，∴rQ＝80·＝80
令m＝∈（,1)，rQ＝80(－2m2＋3m－1) ∴m＝时，有最大值10． ………14分
注意：换元不写范围扣1分
法二：∵≤＝
∴sinθ(1－sinθ)≤ ∴rQ≤10．此时sinθ＝ ………14分
注意：不指出取等号的条件扣1分
法三：令t＝sinθ∈(0,1)，rQ＝，∴rQ¢＝
令rQ¢＝0得：t＝，【列表略】故t＝时，⊙Q的半径的最大值为10．………14分
注意：不列表扣1分
答：⊙Q的半径的最大值为10． ………15分
注意：应用题不写答扣1分
18. （本小题满分15分）
已知椭圆C：的离心率为，短轴长为4，F1、F2为椭圆左、右焦点，点B为下顶点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点P(x0, y0)是椭圆C上第一象限的点．
① 若M为线段BF1上一点，且满足＝·，
求直线OP的斜率；
② 设点O到直线PF1、PF2的距离分别为d1、d2，
求证：＋为定值，并求出该定值．
解：（1）由题意知，2b＝4，∴b＝2，又∵e＝＝，且a2＝b2＋c2，
解得：a＝，c＝1，∴椭圆C的标准方程为＋＝1； ………4分
（2）①由（1）知：B(0,－2)，F1(－1,0)，∴BF1：y＝－2x－2 ………5分
设M(t,－2t－2)，由＝·得： ………7分
代入椭圆方程得：＋6(t＋1)2＝1，
∴36t2＋60t＋25＝0，∴(6t＋5)2＝0， ∴t＝－ ，∴M(－，－) ………9分
∴OM的斜率为，即直线OP的斜率为； ………10分
【或】设直线OP的方程为，由，得 ………6分
由得， ………8分
由＝·得解得： ………10分
②由题意，PF1：y＝(x＋1)，即y0x－(x0＋1)y＋y0＝0 ………11分
∴d1＝，同理可得：d2＝
∴＋＝＋＝PF1＋PF2＝2a＝2 ………15分
【或】∵S△OPF1＝PF1·d1＝OF1·y0，∴PF1·d1＝y0，∴＝PF1．
同理在△OPF2中，有＝PF2．
∴＋＝PF1＋PF2＝2a＝2． ………15分
19. （本小题满分16分）
已知a为实数，函数f (x)＝a·lnx＋x2－4x．
（1）是否存在实数a，使得f (x)在x＝1处取极值？证明你的结论；
（2）若函数f (x)在[2, 3]上存在单调递增区间，求实数a的取值范围；
（3）设g(x)＝2alnx＋x2－5x－，若存在x0∈[1, e]，使得f (x0)＜g(x0)成立，求实数a的取值范围．
解：（1）函数f (x)定义域为(0,＋∞)，f ¢(x)＝＋2x－4＝
假设存在实数a，使f (x)在x＝1处取极值，则f ¢(1)＝0，∴a＝2， ………2分
此时，f ¢(x)＝，
∴当0＜x＜1时，f ¢(x)＞0，f (x)递增；当x＞1时，f ¢(x)＞0，f (x)递增．
∴x＝1不是f (x)的极值点．
故不存在实数a，使得f (x)在x＝1处取极值． ………4分
（2）f ¢(x)＝＝，
①当a≥2时，∴f ¢(x)≥0，∴f (x)在(0,＋∞)上递增，成立； ………6分
②当a＜2时，令f ¢(x)＞0，则x＞1＋或x＜1－，
∴f (x)在(1＋,＋∞)上递增，
∵f (x)在[2, 3]上存在单调递增区间，∴1＋＜3，解得：－6＜a＜2
综上，a＞－6． ………10分
（3）法一：记F(x)＝x－lnx(x＞0)，∴F¢(x)＝(x＞0)，
∴当0＜x＜1时，F ¢(x)＜0，F(x)递减；当x＞1时，F ¢(x)＞0，F(x)递增．
∴F(x)≥F(1)＝1＞0
由f (x0)≤g(x0) 得：(x0－lnx0)a≥－2x0 ………12分
∴a≥，记G(x)＝，x∈[,e]
∴G¢(x)＝＝
∵x∈[,e]，∴2－2lnx＝2(1－lnx)≥0，∴x－2lnx＋2＞0
∴x∈(,1)时，G¢(x)＜0，G(x)递减；x∈(1,e)时，G¢(x)＞0，G(x)递增
∴G(x)min＝G(1)＝－1 ∴a≥G(x)min＝－1．
故实数a的取值范围为[－1,＋∞)． ………16分
法二：记，
原题等价于：，，求a的范围.
∵,令
………12分
（1）当时, ∴；
（2）当时，，故成立．
故实数a的取值范围为[－1,＋∞)． ………16分
注意：其他解法酌情给分
20. （本小题满分16分）
已知两个无穷数列分别满足，，且．
（1）若数列都为递增数列，求数列的通项公式；
（2）若数列满足：存在唯一的正整数，使得，称数列为“梦数列”；设数列的前项和分别为，
① 若数列为“梦5数列”，求；
② 若为“梦数列”，为“梦数列”，是否存在正整数，使得，若存在，求出的值及对应的；若不存在，请说明理由．
解：（1）数列都为递增数列，∴，，
∴，； ………4分
（2）①∵数列满足：存在唯一的正整数，使得，且，∴数列必为，即前5项为首项为1，公差为2的等差数列，从第6项开始为首项7，公差为2的等差数列，
故Sn＝； ………8分
② ∵即， ………9分
而数列为“梦数列”且，∴数列中有且只有两个负项．
假设存在正整数，使得，显然，且为奇数，而中各项均为奇数，∴必为偶数． ………10分
首先证明：．
若，数列中，而数列中，必然为正，否则
，显然矛盾；（※）
∴，
设，易得
而，，
∴为增数列，且进而为增数列，而，
∴，即． ………14分
当时，构造：为，为
此时，
当时，无解
所以，对应的， ………16分

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