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一、填空题
1．若正数a，b，c依次成公比大于1的等比数列，则当x＞1时，logax，logbx，logcx________.
①依次成等差数列；
②依次成等比数列；
③各项的倒数依次成等差数列；
④各项的倒数依次成等比数列．
答案：③
2．已知a，b，c，d是公比为2的等比数列，则的值为__________．
解析：＝＝＝.
答案：
3．已知数列{an}是公比q≠1的等比数列，则{an＋an＋1}，{an＋1－an}，{}，{nan}这四个数列中，是等比数列的是________．
解析：∵＝q，
＝q，＝＝1.
∴以上三个数列均为等比数列．
而＝·q不是常数，
∴{nan}不是等比数列．
答案：{an＋an＋1}，{an＋1－an}，{}
4．下列命题中正确的是________．
①数列{2an}是等比数列(n∈R)；
②若b2＝ac，则a，b，c成等比数列；
③若－＝－，则－a，b，－c成等比数列；
④若数列{an}的相邻两项满足关系式an＝an－1q(q为常数)，则数列{an}为等比数列．
解析：等比数列中首项、公比均不能为0.①中，若a＝0，则{an}不是等比数列；②中，若a＝b＝c＝0，则{an}不是等比数列；④中，若q＝0，则{an}不是等比数列．
答案：③
5．已知2a＝3,2b＝6,2c＝12，则a，b，c的下列关系正确的是________．
①成等差数列不成等比数列；
②成等比数列不成等差数列；
③成等差数列又成等比数列；
④既不成等差数列又不成等比数列．
答案：①
6．如果a，b，c都大于零，且a，b，c既成等差数列，又成等比数列，那么a，b，c的大小关系是__________．
解析：∵a，b，c既成等差数列，又成等比数列，
∴2b＝a＋c，即b＝.
又b2＝ac，∴()2＝ac.
∴a＝c.
又a，b，c都大于零，∴a＝b＝c.
答案：a＝b＝c
7．已知x,2x＋2,3x＋3是一个等比数列的前三项，则其第四项等于__________．
解析：由已知得(2x＋2)2＝x(3x＋3)．
∴x＝－1或－4.
若x＝－1，则x＋1＝0，不合题意，
∴x＝－4，∴a4＝－.
答案：－
8．如果a，b，c成等比数列，那么函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的个数是__________．
解析：∵b2＝ac，∴b2－4ac＝－3b2<0.
答案：0
9．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a＋b＋c的值为________．
1
2
1
a
b
c
答案：1
二、解答题
10．三个互不相等的数成等差数列，如果适当排列这三个数，也可以成等比数列，已知这三个数的和等于6，求此三数．
解：由题意可设此三数为a－d，a，a＋d，其中d≠0，
则有(a－d)＋a＋(a＋d)＝6，所以a＝2.
①若a为等比中项，则a2＝(a－d)(a＋d)．
解得d＝0(舍去)；
②若a＋d为等比中项，则(a＋d)2＝a(a－d)．
解得d＝－6，
从而此三数为8,2，－4；
③若a－d为等比中项，则(a－d)2＝a(a＋d)．
解得d＝6，则这三数为－4,2,8.
因此，此三数为－4,2,8或8,2，－4.
11．已知a，b，c是不为1的正数，x＞0，y＞0，z＞0，且有ax＝by＝cz和＋＝，求证：a，b，c顺次成等比数列．
证明：令ax＝by＝cz＝k，
则x＝logak，y＝logbk，z＝logck.
∵＋＝，∴＋＝.
∴＋＝，即lg a＋lg c＝2lg b.
∴b2＝ac.∵a，b，c均不为0，
∴a，b，c成等比数列．
12．已知三个数成等差数列，其和为126.另外三个数成等比数列，把两个数列的对应项依次相加，分别得到85,76,84，求这两个数列．
解：设成等差数列的三个数为b－d，b，b＋d，由已知，得b－d＋b＋b＋d＝126，∴b＝42.
∴这三个数可写成42－d,42,42＋d.
再设另三个数为a，aq，aq2.由题设，得
整理，得
解这个方程组，得a＝17或a＝68.
当a＝17时，q＝2，d＝－26.
当a＝68时，q＝，d＝25.
所以成等比数列的三个数为17,34,68，此时成等差数列的三个数为68,42,16；或者成等比数列的三个数为68,34,17，此时成等差数列的三个数为17,42,67.
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