浙江省杭州市2011届高三数学第二次教学质量检测-理-新人教A版.doc

杭 州 市
2011届高考科目教学质量检测（二）数学（理）试题

考生须知:
1. 本卷满分150分, 考试时间120分钟.
2. 答题前, 在答题卷密封区内填写学校、班级和姓名.
3. 所有答案必须写在答题卷上, 写在试题卷上无效.
4. 考试结束, 只需上交答题卷.

参考公式：
如果事件A, B互斥, 那么 棱柱的体积公式
P(A+B)=P(A)+P(B) V=Sh
如果事件A, B相互独立, 那么 其中S表示棱柱的底面积, h表示棱柱的高
P(A·B)=P(A)·P(B) 棱锥的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是p, 那么n V=Sh
次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中S表示棱锥的底面积, h表示棱锥的高
Pn(k)=Cpk (1－p)n-k (k = 0,1,2,…, n) 球的表面积公式
棱台的体积公式 S = 4πR2
球的体积公式
其中S1, S2分别表示棱台的上、下底面积, V=πR3
h表示棱台的高 其中R表示球的半径
选择题部分
一、选择题: 本大题共10小题, 每小题5分,共50分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的．
1．设函数 若，则=（ ）
A．– 3 B．±3 C．– 1 D．±1
2．设是三条不同的直线，是两个不同的平面，则的一个充分条件为（ ）
A． B．
C． D．
3． 6名同学安排到3个社区A，B，C参加志愿者服务，每个社区安排两名同学，其中甲同学必须到A社区，乙和丙同学均不能到C社区，则不同的安排方法种数为（ ）
A．12 B．9 C．6 D．5
4．已知非零向量a，b满足|a + b| =|a–b |=|a|，则a + b与a–b的夹角为（ ）
A． B． C． D．
5．若正实数满足，则（ ）
A．有最大值4 B．有最小值
C．有最大值 D．有最小值
6．已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
7．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则判断框内m的取值范

开始
k=1
S=0
S=S+2k
k=k+1
结束
输出k
否
是

?
围是（ ）
A．(30，42] B．(42，56]
C．(56，72] D．(30，72)
8．体育课的排球发球项目考试的规则是: 每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止. 设学生一次发球成功的概率为p (p ¹ 0)，发球次数为X，若X的数学期望EX >1.75，则p的取值范围是 ( )
A. (0，) B. (，1) C. (0，) D. (，1)
9．已知双曲线的左、右焦点分别为,过作双曲线的一条渐近线的垂线,垂足为,若的中点在双曲线上,则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
10．已知函数集合只含有一个元素，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
非选择题部分
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．

(第12题)
11．已知是虚数单位，则 .
12．如图是某赛季甲乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲乙两人比赛得分的中位数之和是 　　　 　 .
13．设
则___________.

(第15题)
14．如果以抛物线过焦点的弦为直径的圆截y轴所得的弦长为4, 那么该圆的方程是 .
15．一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的外接球的表面积为 .
16．设实数满足不等式组且的最小值为，当时，实数的取值范围是___________.
17．由数字1，2，3，4，5，6，7组成一个无重复数字的七位正整数，从中任取一个，所取的数满足首位为1且任意相邻两位的数字之差的绝对值不大于2的概率等于 .
三、解答题: 本大题共5小题, 共72分．解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤．

18．(本题满分14分)
已知函数图象的两相邻对称轴间的距离为.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）在中，分别是角的对边，若求的最大值．

19．(本题满分14分)
已知正项数列满足：对任意正整数，都有成等差数列，成等比数列，且
（Ⅰ）求证：数列是等差数列；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
(Ⅲ) 设如果对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围．

（第20题–1）

20．(本题满分14分)

（第20题–2）
如图1，在平面内，ABCD是的菱形，ADD``A1和CD D`C1都是正方形．将两个正方形分别沿AD，CD折起，使D``与D`重合于点D1 .设直线l过点B且垂直于菱形ABCD所在的平面，点E是直线l上的一个动点，且与点D1位于平面ABCD同侧（图2）．
(Ⅰ) 设二面角E – AC – D1的大小为q，若£ q £ ，求线段BE长的取值范围；
(Ⅱ)在线段上存在点，使平面平面，求与BE之间满足的关系式，并证明：当0 < BE < a时，恒有< 1．

21．(本题满分14分)
已知直线所经过的定点恰好是椭圆的一个焦点，且椭圆上的点到点的最大距离为3.
(Ⅰ) 求椭圆的标准方程；
(Ⅱ) 设过点的直线交椭圆于、两点，若，求直线的斜率的取值范围.

22．(本题满分16分)
已知函数
（Ⅰ）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值；
（Ⅱ）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标为，直线的斜率为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

参考答案
一、选择题 (每小题5分,共50分)

题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
B
B
C
A
B
C
A
D

二、填空题 (每小题4分，共28分)
11．1 12．64 13．110 14．(x – )2 + (y ±1)2 =
15． 16． 17．
三、解答题(共72分)
18．(本题满分14分)
（Ⅰ） 4分
∵图象的两条相邻对称轴间的距离为，∴的最小正周期
7分
（Ⅱ）由 得
∵０＜Ａ＜p，
11分
由余弦定理，得
因此，
于是，当即为正三角形时，的最大值为 14分
19．(本题满分14分)
（1）由已知，得 ①， ② . 由②得 ③.
将③代入①得，对任意，有
即
是等差数列. 4分
（Ⅱ）设数列的公差为，
由经计算，得

9分
（Ⅲ）由（1）得

不等式化为
即
设，则对任意正整数恒成立．
当，即时，不满足条件；
当，即时，满足条件；
当，即时，的对称轴为，关于递减，
因此，只需 解得
综上， 14分
20．(本题满分14分)

（第20题 – 1 ）
（方法1）设菱形的中心为O，以O为原点，对角线AC，BD所在直线分别为x,y轴，建立空间直角坐标系如图1．设BE = t （t > 0） ．
（Ⅰ）

设平面的法向量为，则
3分
设平面的法向量为，
则 4分
设二面角的大小为，则， 6分
∵cosq Î， ∴ ，
解得 £ t £ ． 所以BE的取值范围是 [，]． 8分
(Ⅱ) 设，则

由平面平面，得平面，
,化简得：(t ¹ a)，即所求关系式：（BE ¹ a).
∴当0< t < a时，< 1. 即：当0 < BE < a时，恒有< 1． 14分
（方法2）
（Ⅰ）如图2，连接D1A，D1C，EA，EC，D1O，EO，
∵ D1A= D1C，所以，D1O⊥AC，同理，EO⊥AC，
∴是二面角的平面角．设其为q． 3分

（第20题 – 2）
连接D1E，在△OD1E中，设BE = t （t > 0）则有：
OD1 = ，OE = ，D1E = ，
∴ . 6分
∵cosq Î， ∴ ，
解得 £ t £ ． 所以BE的取值范围是 [，]．
所以当条件满足时，£ BE £ ． 8分
（Ⅱ）当点E在平面A1D1C1上方时，连接A1C1，则A1C1∥AC，

（第20题 – 3）
连接EA1，EC1，设A1C1的中点为O1，则O1在平面BDD1内，过O1作O1P∥OE交D1E于点P，则平面平面．
作平面BDD1如图3．过D1作D1B1∥BD交于l点B1，设EO交D1B1于点Q．
因为O1P∥OE，所以==，
由Rt△EB1Q∽RtEBO，得，解得QB1 = ，得=， 12分
当点E在平面A1D1C1下方时，同理可得，上述结果仍然成立． 13分
∴有=（BE ¹a），∴当0 < t < a时，< 1. 14分

21．(本题满分14分)
(Ⅰ)由得，
由，解得. 2分
设椭圆的标准方程为，则解得，
从而椭圆的标准方程为. 6分
(Ⅱ)　过的直线的方程为，，，
由，得，因点在椭圆内部必有，
有， 8分
所以|FA|·|FB| ＝(1 + k2 )|(x1 – 1)(x2 – 1 )| 11分
由， 得， 解得或，
所以直线的斜率的取值范围为. 14分

22．(本题满分16分)
（Ⅰ） 2分
若函数在上递增，则对恒成立，即对恒成立，而当时，
若函数在上递减，则对恒成立，即对恒成立，这是不可能的．
综上， 的最小值为1． 6分
（Ⅱ）假设存在，不妨设
9分

若则，即，即． （*） 12分
令，（)，
则＞0．∴在上增函数， ∴，
∴（*）式不成立，与假设矛盾．∴
因此，满足条件的不存在． 16分

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用心 爱心 专心