无铁心圆筒型永磁同步直线电动机磁场分析.pdf

第 24 卷 第 7 期 2023 年 7 月 电 气 技 术 Electrical Engineering Vol.24 No.7Jul.2023 无铁心圆筒型永磁同步直线电动机磁场分析 谭皓元1 兰志勇1 罗元钧1 叶书帆1 祝涤非2（1.湘潭大学自动化与电子信息工程学院，湖南 湘潭 411105；2.上海策永自动化科技有限公司，上海 200120）摘要 解析法有效解决了有限元法在圆筒型直线电动机中求解时间过长的问题，目前解析法大多针对有铁心圆筒型直线电动机进行分析，罕有对无铁心圆筒型永磁同步直线电动机（ITPMSLM）的分析。鉴于此，本文采用分离变量法求解 ITPMSLM 磁场问题。首先建立电动机的子域解析模型，然后采用分离变量法获得空载时刻气隙磁通密度的解析表达式，并推导得到电动机的反电动势和推力表达式，最后进行有限元仿真，结果证明了该解析法分析 ITPMSLM 磁场问题的有效性。关键词：解析法；圆筒型；无铁心；分离变量法 Design and magnetic field analysis of ironless tubular permanent magnet synchronous linear motor TAN Haoyuan1 LAN Zhiyong1 LUO Yuanjun1 YE Shufan1 ZHU Difei2(1.College of Automation and Electronic Information Engineering,Xiangtan University,Xiangtan,Hunan 411105;2.Shanghai Ceyong Automation Technology Co.,Ltd,Shanghai 200120)Abstract The analytical method effectively solves the problem of long solution time for finite element method in tubular linear motors.Currently,most analytical methods focus on analyzing tubular linear motor with iron core,and there is little analysis on ironless tubular permanent magnet synchronous linear motor(ITPMSLM)without iron core.In response to this issue,this article adopts the separation of variables method to solve ITPMSLM.Firstly,a sub domain analytical model of the motor is established,then the separation of variables method is used to obtain the analytical expression of the air gap magnetic density at no load,and the expressions of the back electromotive force and thrust of the motor are derived.Finally,finite element simulation is conducted,and the results show the effectiveness of this analytical method in analyzing ITPMSLM.Keywords：analytic method;tubular;ironless;the method of separation of variables 0 引言 圆筒型永磁同步直线电动机具有定位精度高、无法向吸力、高推力密度等优势，因此被广泛应用在制造业1、电磁弹射2、医疗设备、轨道交通运输业3和航空等领域。无铁心圆筒型永磁同步直线电动机（ironless tubular permanent magnet synchronous linear motor,ITPMSLM）因其无铁心结构4，不存在端部力与齿槽力，因而具有更高的控制精度。对圆筒型永磁同步直线电动机的研究主要包括电动机各项参数计算、仿真建模分析及电动机性能优化设计等。但在永磁电动机中，电动机新型结构多样、磁场分布复杂，因此难以得到较为准确的磁路计算结果。为了保证计算准确性，需要进行磁场数值计算与分析。因此，国内外研究人员提出了很多简化的方法。其中，等效磁路法5-6最为常见，虽然该方法简化了磁路分析，但在磁路复杂和漏磁较大时模型不准确。有限元法7可以有效处理复杂边界、磁路饱和和非线性等问题，相对于等效磁路法而言，具有明显的优越性，但其前处理和计算耗时 40 电 气 技 术 第 24 卷 第 7 期 长，不适合在电动机优化设计的迭代计算中使用。使用解析法8分析磁场可以避免上述缺点，该方法不需要复杂的前处理且计算时间短，通过推导的磁场表达式能清晰地看出影响磁场分布的各项参数，以便优化磁场。文献9-10介绍了一种许克变换法解析圆筒型永磁同步直线电动机的气隙磁场，但是该方法只能得到位置关于气隙磁场强度的函数，不利于研究电动机结构参数对气隙磁场强度的影响规律；文献11-15针对无槽圆筒型直线电动机采用分离变量法解析磁场，获得了气隙磁通密度的表达式；文献16采用解析法求解了无槽圆筒型直线电动机空载和负载情况下的磁场，并提出了初级铁心长度、三相绕组位置及匝数分配的综合优化方法，有效降低了电动机的负载推力波动，但边界条件过多、计算复杂；文献17-18分析了无铁心电动机的磁场解析模型，但与 ITPMLSM 结构不同，因而解析边界条件有所差别；文献19提出一种磁场的半分析模型来描述三维圆柱形结构中永磁体的分力；文献20提出一种快速三维分析模型来解析永磁体的场分量。虽然国内外大多数研究都是针对有铁心圆筒型永磁同步直线电动机模型的解析法进行推导，但对于 ITPMSLM 的电磁场分析也具有借鉴意义。文献21在圆筒型直线电动机的基础上针对无铁心圆筒型直线电动机提出一种圆柱坐标系下基于磁荷法的空载磁场解析计算方法，求出空载气隙磁场表达式，进而推导电动机反电动势与推力，但其解析过程和表达式比较复杂。鉴于此，本文采用分离变量法推导无铁心圆筒型直线电动机的磁场表达式。以一台15 槽 5 极的 ITPMSLM 为研究对象，对比解析法与有限元法的结果，证明解析法的准确性。本文主要采用分离变量法解析无铁心圆筒型永磁同步直线电动机的磁场。具体工作如下：首先分析 ITPMSLM 的原理与基本结构；然后进行气隙区域与永磁体区域的磁场解析，由于永磁体排列特殊，提出永磁体等效长度的概念，并建立解析模型，采用磁位分离变量法对气隙磁通密度进行推导；最后结合电动机的参数进行反电动势与推力表达式的推导，将有限元仿真结果与解析结果进行对比，证明该解析式在 ITPMSLM 分析中的正确性。1 ITPMSLM 的基本结构分析 本文所分析的 ITPMSLM 基本结构如图 1 所示。由图 1 可见，该电动机主要由一个固定部件（定子）和一个可移动部件（动子）组成。定子由多组环形线圈组成，这些线圈以规定的距离相邻放置，在空间上相对于磁周期相差 120。在直线电动机中，一个磁周期（360）跨越两个磁极的长度，因此线圈的放置相差 2/3 个磁周期；线圈最基本的形式可以通过六个按+u/w/+v/u/+w/v 顺序连接的线圈来实现，其中字母 u、v 和 w 表示相别，“+”“”表示线圈的绕组方向。动子励磁是通过一组轴向磁化方向交替的永磁体来实现的。两个相邻的磁体形成两个磁极，磁体可以沿径向或轴向磁化，或者混合磁化。动子磁场与定子磁场的相互作用力导致动子轴向运动，其方向和大小取决于动子相对于定子的位置和线圈的励磁。电动机最基本的设计可以由一个定子单元和一个动子单元组成，每个单元产生跨越两个磁极的磁场。基本的单元电动机由六个按先前给定顺序连接的线圈和两个磁化方向相反的磁体组成。图 1 ITPMSLM 基本结构 2 磁场分析计算 2.1 轴向充磁磁势的解析模型 永磁体中磁通密度并不均匀，在不同位置和截面处的磁通密度不一样，所以永磁体内部各个区域的工作点有差异。轴向充磁永磁体磁化强度分布函数及模拟等效面电流如图 2 所示，能看到永磁体中大部分磁力线的走向是通过内部先进入导磁材料，再进入气隙磁场，因此大多数区域的工作点差异并不大。由于此款电动机的永磁体之间的排列并不是相邻排列，而是中间有一个跟永磁体大小相同的导磁材料，所以在对永磁体的解析过程中本文提出永磁体等效长度的概念。从图 2 也不难看出，两个永磁体的磁力线都是均匀经过导磁材料，在永磁体作用下可以近似认为导磁材料被两个永磁体分别磁化，其等效长度就为永磁体实际长度加上导磁材料被磁化后的长度。2023 年 7 月 谭皓元等 无铁心圆筒型永磁同步直线电动机磁场分析 41 图 2 轴向充磁永磁体磁化强度分布函数及 模拟等效面电流 mpap2(1)LLLL=+=+（1）式中：Lm为永磁体等效长度；Lp为永磁体实际长度；为等效长度系数；La为导磁材料磁化长度。图 2 中，为极距，z 为次级内侧的位置，hm为永磁体高度。磁化强度分布函数如图 2 中 M(z)波形所示。将永磁体等效成磁化强度分布函数 M(z)，对其进行傅里叶级数展开得()1,3,()cosnnnM zMk z=?（2）其中 rp0mp4sin2nnBnMnLnk=式中：Mn为永磁体磁化强度；Br为永磁体剩磁磁通密度；0为真空磁导率；p为永磁体极弧系数。由图 2 可知，轴向磁化的永磁体在其上下两边存在一层等效面电流，且等效电流密度为 rmM04()()sinsin2Bn LnJzM zz=（3）式中，JM(z)为永磁体等效面电流密度。2.2 气隙磁通密度解析计算 为了方便求解 ITPMSLM 的空载气隙磁通密度，给出双子域解析半模型，将其分为气隙区域 1和永磁体区域 2，ITPMSLM 结构解析如图 3 所示，其中 g 为电动机的气隙长度，R1为次级半径，R2为定子绕组内半径，R0为气隙中线，wc为每组线圈的宽度，hw为绕组径向厚度。图 3 ITPMSLM 结构解析 同时作出以下假设：电动机在坐标 z 方向无限长；各场量都随时间按正弦变化；区域内物理常数是均质、各向同性、线性的。在气隙区域 1 和永磁体区域 2，磁通密度与磁场强度满足 101=BH （4）()20r2=+BMH （5）式中：B1和 H1分别为气隙区域的磁通密度和磁场强度；B2和 H2分别为永磁体区域的磁通密度和磁场强度；M 为永磁体剩余磁化强度；r为相对回复磁导率。1）气隙域的求解 由于气隙区域中无电流，因此气隙处于无旋磁场中，引入标量磁位 A，得 gradA=H （6）式（6）两边取散度，得 divdiv(grad)divA=BH （7）由于气隙中没有电流，所以 divB=0，则 2div(grad)0AA=（8）磁场属于轴对称模型，永磁体充磁均匀且具有对称性，磁位与坐标 无关，气隙磁场中标量磁位满足拉普拉斯方程，有 221121122(,)(,)(,)10A r zA r zA r zArrrz+=（9）式中，A1为气隙区域的磁位。气隙磁场强度的 r、z 分量分别为 1r11z1HrHz=（10）42 电 气 技 术 第 24 卷 第 7 期 采用分离变量法对式（9）进行求解。首先，设待求磁位函数 A1的试探解为 1(,)()()RArrZzz=（11）式中：R(r)为仅为 r 的函数；Z(z)为仅为 z 的函数。然后可将式（9）分离成两个常微分方程，即 2222222d()d()()()0ddd()()0dR rR rrrmzR rrrZ zm Z zz+=+=（12）式中，m 为分离常数。接着可解出 A1的通解为()()()()11 0201,3,34sincosnnnnnAC Ik rC Kk rCk zCk z=+?（13）式中：I0、K0分别为第一类、第二类零阶修正贝塞尔函数22；C1C4为待定系数，根据边界条件确定。设边界条件为()()()()()1z21z101r21r10z22z12,0(0,)0,0rRHR zHRzrRBR zBRzrHzrRHRz=（14）式中：R0、R1、R2分别为气隙中线、次级半径和定子绕组内半径；Hz1、Hz2分别为气隙区域和永磁体区域磁场强度的轴向分量；Br1、Br2分别为气隙区域和永磁体区域磁通密度的径向分量。根据式（4）和式（10）及边界条件可以得出气隙区域内的磁通密度为()()()z101 0201,3,(,)cosnnnnnBr zkD Ik rD Kk rk z=+?（15）()()()r101 1211,3,(,)sinnnnnnBr zkD Ik rD Kk rk z=+?（16）式中：I1、K1分别为第一类、第二类一阶修正贝塞尔函数；D1、D2为待定系数，根据边界条件确定。2）永磁体域的求解 永磁体处于有旋场中，因此可以得到永磁体区域内的泊松方程为 2222220M222(,)(,)(,)1()A r zA r zA r zAJzrrrz+=（17）式中，A2为永磁体区域的磁位。同理可得永磁体区域相同形式的通解为()()()()25 0601,3,78sincosnnnnnAC Ik rC Kk rCk zCk z=+?（18）式中，C5C8为待定系数，根据边界条件确定。永磁体区域 2 除了有齐次解以外，还有特解，即()22222()2sinnnA zx Mk zn=（19）因此，可以进一步得出()()()z20r23 04021,3,(,)2cosnnnnnnBr zx MkD Ik rD Kk rk zn=+?（20）()()r22213 14121,3,(,)2nnnnnBr zMxr xkD Ik rD Kk rrn=+?()0rsinnk z （21）其中，D3、D4为待定系数，根据边界条件确定，有 115226337448DC CDC CDC CDC C=（22）011012011R RxRRxRR=+=+（23）2.3 反电动势与推力的计算 ITPMSLM 的初级绕组线圈均匀围绕在次级轴外，多根线圈串联或并联组成每一相绕组。绕组示意图如图 4 所示，其中 Rc为线圈外半径，Rav为线2023 年 7 月 谭皓元等 无铁心圆筒型永磁同步直线电动机磁场分析 43 圈平均半径。当电动机做直线运动时，线圈通过切割磁场感应出电动势。图 4 绕组示意图 计算空载反电动势时，可以通过假设线圈均匀分布在平均半径处简化计算，其平均半径 Rav为 2cav2RRR+=（24）如图 4 所示，设线圈的轴向和径向所在位置分别为 z 和 r，首先可以利用积分求出一组线圈区域内的径向平均磁通密度为 ()ccc22avr1c2c21(,)d dwzRwRzBBr zr zRRw+=（25）将式（16）代入式（25）可求出径向平均磁通密度。因此该组线圈的空载反电动势为()cavavcav2ceN B R vN BRRv=+（26）式中：Nc为一组线圈串联匝数；v 为次级运动速度。推力是由电枢电流与永磁体磁场相互作用而产生的洛伦兹力。同理可得推力为()cav2cFN B iRR=+（27）式中，i 为输入电流。将所有线圈组上的推力相加，即可得到动子总推力。3 有限元仿真分析 本文所研究的圆筒型永磁同步直线电动机主要结构尺寸见表 1。有限元计算无铁心轴向充磁圆筒型永磁同步直线电动机材料见表 2。根据上述结构与尺寸，对这款 ITPMSLM 进行有限元仿真分析。本文利用 Ansoft Maxwell 建立ITPMSLM 二维（半模型）和三维有限元模型（充分考虑磁饱和及电动机的运行状况）如图 5 所示，该电动机为 15 槽 5 极，通过有限元仿真结果与解析式对比，验证解析方法的准确性。表 1 圆筒型永磁同步直线电动机主要结构尺寸 参数 数值 极数 5 极距/mm 15 气隙长度/mm 0.5 永磁体长度/mm 7.5 初级内径/mm 6 线圈内径/mm 6.5 线圈数 15 线圈厚度/mm 4.5 线圈匝数 100 表 2 无铁心轴向充磁圆筒型永磁同步直线电动机材料 结构 材料 初级外壳 铝 次级钢管 钢 永磁体 钕铁硼 （a）二维模型 （b）三维模型 图 5 ITPMSLM 二维和三维有限元模型 有限元求解时在 Region 上添加 Ballon 边界条件。轴向充磁的 ITPMSLM 半模型的磁场分布如图6 所示，可以看出该电动机的轴向充磁磁力线走向与前文磁势模型分析相符合。图 6 轴向充磁 ITPMSLM 半模型磁场分布 设定初级三相电流为 piA:12*SQRT(2)*SIN Time*3400*15pi2B:12*SQRT(2)*SIN Time*3400*pi153pi2C:12*SQRT(2)*SIN Time*3400*+pi153（28）44 电 气 技 术 第 24 卷 第 7 期 式中，A、B、C 为通入三相交流电的电流。接下来可以得到电动机推力与反电动势波形。推力与时间关系如图 7 所示，可以看出电动机推力基本稳定在 125N 左右，采用平均点法求出推力平均值大约为 126N；而且其波动范围非常小，最大值与最小值之间相差 6N 左右，推力波动仅约为 4%。图 7 推力与时间关系 三相反电动势波形如图 8 所示，是在动子速度为 3.4m/s 时的波形。从图 8 可以看出，波形具有明显的对称性和周期性，因为三相反电动势对称分布，所以只需对 A 相反电动势做快速傅里叶变换（fast Fourier transform,FFT），分析谐波影响。图 8 三相反电动势波形 反电动势谐波如图 9 所示。从图 9 不难看出，反电动势谐波含量低，偶次谐波可以被滤波器过滤，所以仅考虑奇次谐波对反电动势的影响；基波幅值在 19V 左右；三次谐波幅值在 2V 左右，占比约为10.5%；五次谐波、七次谐波和九次谐波基本可以忽略不计，因此该电动机反电动势受谐波影响较小。4 解析法与有限元仿真对比 首先分析图 10 所示永磁体区域磁通密度（轴向分量）随轴向位置变化的波形。图 9 反电动势谐波 图 10 永磁体区域磁通密度随轴向位置变化波形 从图 10 可以看出，随轴向距离增加，磁通密度呈周期性变化，其周期大致为一对极距；永磁体磁通密度幅值在 1.3T 左右，解析法与有限元仿真结果大致趋势相同。对于电动机气隙磁通密度而言，本文主要分析对电动机影响较大的径向分量。图 11 和图 12 分别为电动机在不同径向位置（r=6.25mm 和 r=6.5mm）磁通密度与轴向位置的关系。图 11 r=6.25mm 处的磁通密度与轴向位置关系 由图 11 和图 12 可以看出，越靠近永磁体气隙磁通密度值越大，当 r=6.25mm 时，磁通密度最大值为 0.5T 左右。整体上解析法与有限元法所得磁通 2023 年 7 月 谭皓元等 无铁心圆筒型永磁同步直线电动机磁场分析 45 图 12 r=6.5mm 处的磁通密度与轴向位置关系 密度的周期与幅值大致相同，但某些位置仍有偏差。出现这种偏差的主要原因是，最大磁通密度处对应的实际磁化强度要低于解析模型中使用的剩余磁化强度，而且求解三维有限元模型中的气隙磁通密度受诸多参数影响，如求解位置的选取、剖分网格的划分等，从而导致有限元求解结果存在偏差；此外，对永磁体的平均化处理也会对其产生影响。图 11 还对比了空载和负载（电流激励）情况下同一径向位置的磁通密度波形，可知线圈电流产生的气隙磁场对由线圈电流和永磁体共同产生的气隙磁场影响不大，这说明简化计算磁场时，线圈电流的影响可以忽略不计。动子运动速度为 3.4m/s 时 A 相绕组空载反电动势如图 13 所示，可以看出有限元与解析法的感应电动势波形比较接近，感应电动势的幅值大约在 15V。而二者出现偏差的原因除了磁化强度的偏差，还有在解析时对解析模型做平均化处理的原因。图 13 动子运动速度为 3.4m/s 时 A 相绕组空载反电动势 为了验证推力表达式的准确性，采取平均值法，对不同电流下（012A）的平均推力进行比较。首先对有限元结果求取平均值，即 1avNFFFN+=?（29）式中：N 为选取时间点个数；F1FN分别为所选取时间点对应的推力大小。不同电流下有限元与解析法的平均推力对比如图 14 所示。图 14 不同电流下有限元与解析法的平均推力对比 从图 14 可以看出，不同电流下，有限元与解析法的推力结果非常接近，出现误差的原因与求取有限元平均值结果所选取的点有关。5 结论 本文首先对 ITPMSLM 进行了基本的结构分析，然后采用分离变量法解析计算 ITPMSLM 磁场，得到了电动势与推力的表达式，最后对一台 15 槽 5极 ITPMSLM 分别用解析法和有限元法进行计算并对比，结果表明该解析法适用于这款 ITPMSLM。本文研究的不足之处在于解析法所采取的点较少，解析精确度有待提高；同时，二维磁通密度解析误差有减小空间，后续尝试使用三维解析法对该类电动机问题进行求解会更加准确。参考文献 1 支凡,张鸣,朱煜,等.无铁心永磁同步直线电机推力谐波分析与消除J.中国电机工程学报,2017,37(7):2101-2110.2 KOU Baoquan,LI Liyi,ZHANG Chengming.Analysis and optimization of thrust characteristics of tubular linear electromagnetic launcher for space-useJ.IEEE Transactions on Magnetics,2009,45(1):250-255.3 卢琴芬,沈燚明,叶云岳.永磁直线电动机结构及研究发展综述J.中国电机工程学报,2019,39(9):2575-2588.4 ISHIYAMA N.Linear motor equipped with a stator which is easily assembled:US6040642P.2000-03-21.5 MIZUNO T,YAMADA H.Magentic circuit analysis of 46 电 气 技 术 第 24 卷 第 7 期 a linear synchronous motor with permanent mag-netsJ.IEEE Transactions on Magnetics,1992,28(5):3027-3029.6 廖克亮,兰志勇,李虎如,等.电梯外转子永磁同步电动机等效磁路分析J.电气技术,2016,17(4):12-16.7 TOMCZUK B,SCHRODER G,WAINDOK A.Finite-element analysis of the magnetic 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