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一个大 Lyapunov 指数四维超混沌系统及其控制和同步杨旦旦，邓林（四川建筑职业技术学院 土木工程系，四川 德阳 618000）摘要：构造了一个新的具有大 Lyapunov 指数的四维超混沌系统。分析了该系统的耗散性和平衡点的稳定性。改变一个系统参数而固定其他系统参数，计算和分析了系统各个参数的变化对系统的 Lyapunov 指数谱的影响，从 Lyapunov 指数谱随各参数的变化判断系统作混沌运动和超混沌运动的参数变化区间。用相图研究了系统随系统参数变化时的运动规律。设计了一种线性反馈控制器将该超混沌系统控制到平衡点。设计了一种线性反馈控制器实现了该超混沌系统的混沌同步。该系统在混沌和超混沌运动参数区间表现出的混沌和超混沌特性可以给基于混沌理论和超混沌理论的工程应用提供选择。计算及分析方法具有一般性，对于其他超混沌系统的动力学分析、控制和同步具有借鉴意义。关键词：超混沌系统；Lyapunov 指数；参数区间；吸引子；超混沌控制；超混沌同步中图分类号：O415.5文献标志码：A文章编号：1008-0171（2023）04-0063-09第 41 卷 第 4 期佛山科学技术学院学报（自然科学版）Vol.41 No.42023 年 7 月Journal of Foshan University（Natural Sciences Edition）Jul.2023收稿日期：2023-03-25作者简介：杨旦旦（1984-），男，江西抚州人，四川建筑职业技术学院高级工程师，博士。混沌广泛应用于保密通信、图像加密等方面。超混沌系统具备多个正的 Lyapunov 指数，动力学行为更加难以预测，因此有更高的应用价值。自从超混沌概念被提出以来，研究人员对其研究取得了许多新成果 1-17。然而，具有较大 Lyapunov 的混沌和超混沌系统比较少见。本文在前人的基础上给出了一个新的最大 Lyapunov 指数大于 11 的四维超混沌系统，分析了该系统的耗散性、平衡点的稳定性，用Lyapunov 指数谱、相图等分析手段研究了系统各参数对系统的动力学特性的影响。设计了一种线性反馈控制器将该超混沌系统控制到平衡点，并设计了一种线性反馈控制器实现了该超混沌系统的混沌同步。1新超混沌的系统模型非线性系统的方程如下x觶=ay-mx+eyz-kwy觶=cx-dy-gxzz觶=hxy-bzw觶=ry+fyz扇墒设设设设设设设设设缮设设设设设设设设设（1）其中，x，y，z，w 为系统的 4 个状态变量；a，b，c，d，e，f，g，h，k，m，r 为系统参数。用文献 18 中计算连续系统 Lyapunov 指数的方法计算此系统的 Lyapunov 指数，当选取参数 a=400，b=15，c=50，d=10，e=30，f=40，佛山科学技术学院学报（自然科学版）第 41 卷g=1，h=1，k=10，m=60，r=-10 时，该系统的 Lyapunov 指数为 姿1=11.296 1，姿2=7.659 6，姿3=0，姿4=-104.011 1，有 2 个正的、大的 Lyapunov 指数，说明此时系统达到超混沌状态。2系统的动力学分析2.1 系统的对称性存在 1 个对称变换 F：（x，y，z，w）寅（-x，-y，z，-w），在变换 F 的作用下具有不变性，即系统关于 z 轴对称，并且这种对称性对所有的系统参数均成立。2.2 系统的耗散性及吸引子的存在性对应的吸引子相图如图 1 所示。当选取第 1 节中给定的系统参数时，对于式（1）有V越坠x觶x+坠y觶y+坠z觶z+坠w觶w=-m-d-b=-850，可见该系统是 1 个耗散非线性系统，系统的状态是有界的，并以指数形式 e-85收敛。当 t 趋于无穷时，包含系统轨线的小体积元以指数速率收缩到 0，系统的轨线最终会被限制在体积为 0 的极限子集上，其渐进运动被固定在 1 个吸引子上，这说明了吸引子的存在性。图 1系统的超混沌吸引子相图2.3 平衡点及其性质解方程组400y-60 x+30yz-10w=0，50-10y-xz=0，xy-15z=0，-10y+40yz=0。扇墒设设设设设设设缮设设设设设设设（2）可以得到系统的平衡点，计算得到系统的平衡点为 O1（0，0，0，0）、O2（0.868 2，4.319 3，0.25，170.801 8）、O3（-0.868 2，-4.319 3，0.25，-170.801 8）。系统的 Jacobi 矩阵为J=-60400+30z30y-1050-z-10-x0yx-1500-10+40z40y0晌尚上上上上上上上上上上上上上上上裳捎梢梢梢梢梢梢梢梢梢梢梢梢梢梢梢。3020100-10-20-30-400-2000200400 x80604020-400-2000200400 x1 0005000500-1 000-400-2000200400 x80604020-30-20-100102030y-30-20-100102030y1 0005000500-1 0001 0005000500-1 00020406080z64第 4 期将平衡点 O1代入系统的 Jacobi 矩阵，得到对应的 4 个特征根为-178.516 5，108.774 0，-0.257 5，-15。其中有 1 个为正、3 个为负，所以 O1点是不稳定的鞍点。将平衡点 O2代入系统的 Jacobi 矩阵，得到对应的 4 个特征根为-181.593 0，111.277 6，0.486 8，-15.171 5。其中有 2 个为正、2 个为负，所以 O2点是不稳定的鞍点。由对称性知 O3点也是不稳定的鞍点。2.4 系统参数对系统 Lyapunov 指数谱的影响Lyapunov 指数是动力系统相邻运动轨线分离程度的一种度量。判断系统运动状态的一种常用方法就是计算系统的 Lyapunov 指数。如果系统所有的 Lyapunov 指数为负，系统将收敛于稳定平衡点；如果系统最大的 Lyapunov 指数为 0，其余 Lyapunov 指数为负，系统处于周期状态；如果系统有 2 个Lyapunov 指数为 0，其余 Lyapunov 指数为负，系统处于拟周期状态；如果系统只有 1 个正的 Lyapunov指数，有 1 个 Lyapunov 指数为 0，系统处于混沌状态；如果系统有 2 个或以上的正的 Lyapunov 指数，有1 个 Lyapunov 指数为 0，系统处于超混沌状态。为了分析系统参数对式（1）的运动状态的影响，这里计算了改变 1 个参数而固定其余参数时的系统的 Lyapunov 指数谱。从 Lyapunov 指数谱随参数的变化判断系统作何种运动的参数区间，重点考虑作混沌和超混沌运动的参数区间。系统是四维的，因此有 4 个 Lyapunov 指数。判断是否为混沌运动，只需看最大的 Lyapunov 指数 L1是否大于 0（数值计算的原因，这里给定 1 个下界 0.05，即如果L1不小于 0.05，判断为混沌运动）。判断是否为超混沌运动，只需看第 2 大的 Lyapunov 指数L2是否大于 0（数值计算的原因，这里也给定 1 个下界0.05，即如果L2不小于 0.05，判断为超混沌运动）。下面给出各参数变化时，系统作混沌运动和超混沌运动的连续参数区间。图 2 给出了 a，b，c，d 分别变化时的系统的 Lyapunov 指数谱L1L2。图 2a 给出系统参数（b，c，d，e，f，g，h，k，m，r=15，50，10，30，40，1，1，10，60，-10），a-20，600 时系统的 Lyapunov 指数谱L1L2；计算结果表明，当 20a152 或 160a180 或 188a192 或 204a208 或 224a228或 244a252 或 268a284 或 300a312 或 340a356 或 380a416 或 424a492或504a592 时，系统作混沌或超混沌运动，特别地当 20a28 或 40a128 或 188a192或204a208 或 224a228 或 244a252 或 272a280 或 300a312 或 340a352 或384a408 或 436a472 或 512a560 或 580a588 系统作超混沌运动。图 2b 给出系统参数（a，c，d，e，f，g，h，k，m，r=400，50，10，30，40，1，1，10，60，-10），b 0，60时 系 统 的 Lyapunov 指 数 谱L1L2；计算结果表明，当 3.5b31.5 或 55.5b56 时，系统作混沌或超混沌运动，特别地当 3.5b31.5时，系统作超混沌运动。图 2c 给出系统参数（a，b，d，e，f，g，h，k，m，r=400，15，10，30，40，1，1，10，60，-10），c-10，104 时系统的 Lyapunov 指数谱L1L2；计算结果表明，当 9c44 或 47c51或 53c73 或 75c95 或 97c98 或 101c104 时，系统作混沌或超混沌运动，特别地当11c43 或 48c51 或 55c73 或 75c90 或 92c95 或 97c98 或 101c104 时，系统作超混沌运动。图 2d 给出系统参数（a，b，c，e，f，g，h，k，m，r=400，15 50，30，40，1，1，10，60，-10），d-10，100 时系统的 Lyapunov 指数谱 L1L2；计算结果表明，当 1d15 或 24d34 或 37d48 或 50d52 或 54d56 或 54d56 时，系统作混沌或超混沌运动，特别地当 1d4 或 7d15 或 25d28 时，系统作超混沌运动。a 参数 a变化时的 Lyapunov 指数谱b 参数 b 变化时的 Lyapunov 指数谱杨旦旦等：一个大 Lyapunov 指数四维超混沌系统及其控制和同步65佛山科学技术学院学报（自然科学版）第 41 卷c 参数 c 变化时的 Lyapunov 指数谱d 参数 d 变化时的 Lyapunov 指数谱图 2系统参数 a，b，c，d 分别变化时系统的 Lyapunov 指数谱图 3 给出了 e，f，g，h 分别变化时的系统的 Lyapunov 指数谱 L1L2。图 3a 给出系统参数（a，b，c，d，f，g，h，k，m，r=400，15，50，10，40，1，1，10，60，-10），e-20，150 时系统的 Lyapunov 指数谱 L1L2；计算结果表明，当-8e150 时，系统作混沌或超混沌运动，特别地当 12e150 时，系统作超混沌运动。图3b 给出系统参数（a，b，c，d，e，g，h，k，m，r=400，15，50，10，30，1，1，10，60，-10），f 1，100时系统的Lyapunov 指数谱 L1L2；计算结果表明，当 1f56 时，系统作混沌或超混沌运动，特别地当 12f56时，系统作超混沌运动。图 3c 给出系统参数（a，b，c，d，e，f，h，k，m，r=400，15，50，10，30，40，1，10，60，-10），g 1，401 时系统的 Lyapunov 指数谱 L1L2；计算结果表明，当 1g193 时，系统作混沌或超混沌运动，特别地当 1g145 时，系统作超混沌运动。图 3d 给出系统参数（a，b，c，d，e，f，g，k，m，r=400，15，50，10，30，40，1，10，60，-10），h 1，401 时系统的 Lyapunov 指数谱 L1L2；计算结果表明，当1h401 时，系统作混沌或超混沌运动，特别地当 21h29 或 57h93 或 161h277 时，系统作超混沌运动。a 参数 e 变化时的 Lyapunov 指数谱b 参数 f 变化时的 Lyapunov 指数谱c 参数 g变化时的 Lyapunov 指数谱d 参数 h 变化时的 Lyapunov 指数谱图 3系统参数 e，f，g，h 分别变化时系统的 Lyapunov 指数谱图 4 给出了 k，m，r 分别变化时的系统的 Lyapunov 指数谱 L1L2。图 4a 给出系统参数（a，b，c，d，e，f，g，h，m，r=400，15，50，10，30，40，1，1，60，-10），k-3，100 时系统的 Lyapunov 指数谱 L1L2；计算结果表明，0k14 时，系统作混沌或超混沌运动，特别地当 3k14 时，系统作超混沌运动。图 4b 给出系统参数（a，b，c，d，e，f，g，h，k，r=400，15，50，10，30，40，1，1，10，-10），m 15，415 时系统的 Lyapunov 指数谱 L1L2；计算结果表明，27m159 或 199m387 时，系统作混沌或超混沌运动，特别地当 3966第 4 期m43 或 55m67 或 75m151 时，系统作超混沌运动。图 4c 给出系统参数（a，b，c，d，e，f，g，h，k，m=400，15，50，10，30，40，1，1，10，60），r-200，300 时系统的 Lyapunov 指数谱 L1L2；计算结果表明，-200r-170 或-150r205 或 220r225 或 270r275 或 285r290 时，系统作混沌或超混沌运动，特别地当-140r205 时，系统作超混沌运动。a 参数 k 变化时的 Lyapunov 指数谱b 参数 m 变化时的 Lyapunov 指数谱c 参数 r 变化时的 Lyapunov 指数谱图 4系统参数 k，m，r 分别变化时系统的 Lyapunov 指数谱3典型参数值的数值模拟Lyapunov 指数无法直观看到系统作何种运动，而吸引子相图能直观看到系统作周期运动还是混沌运动。因此本节针对不同的典型的基本参数，数值模拟得到对应的吸引子的相图。由于参数较多，这里以参数 b 变化为例，其余参数保持和图 2b 中一样。b 的变化区间为 0，60。当 b=0，系统收敛于稳定平衡点。当 b（0，60 时，6 个典型 b 值下系统的吸引子在 x-y 平面的相图如图 5 所示。结合 Lyapunov 指数谱可知，当 b=1 时，系统成周期态；当 b=7 时，系统成超混沌态；当 b=33 时，系统成拟周期态；当 b=35时，系统成拟周期态；当 b=46 时，系统成拟周期态；当 b=60 时，系统成周期态。图 5不同的 b 值下系统吸引子的相轨迹在 x-y 平面的投影杨旦旦等：一个大 Lyapunov 指数四维超混沌系统及其控制和同步67佛山科学技术学院学报（自然科学版）第 41 卷4超混沌控制利用线性反馈控制法将新超混沌系统控制到平衡点 O（0，0，0，0），设计线性反馈控制器为 p1=-l（x-0），p2=-l（y-0），p3=-l（z-0），p4=-l（w-0），将它们反馈到式（2）方程组，l 是正的反馈增益。令式（1）的参数为 a=400，b=15，c=50，d=10，e=30，f=40，g=1，h=1，k=10，m=60，r=-10，则受控超混沌系统可表示为x觶=400y-60 x+30yz-10w-l（x-0），y觶=50 x-10y-xz-l（y-0），z觶=xy-15z-l（z-0），w觶=-10y+40yz-l（w-0）。扇墒设设设设设设设设设缮设设设设设设设设设O（0，0，0，0）点的 Jacobi 矩阵为-60-l4000-1050-10-l0000-15-l00-100-l晌尚上上上上上上上上上上上上上上上裳捎梢梢梢梢梢梢梢梢梢梢梢梢梢梢梢。根据 Routh-Hurwitz 判据得知，经计算当 l109 时特征方程的 4 个特征根的实部都小于 0。由于受控系统的平衡点除了 O 点还有其他点，因此为了使系统能快速渐进稳定于 O，l 需要更大一些。图 6 给出了 l=130 的数值模拟结果，由图 6 可见，状态变量 x，y，z，w 在 0.4 s 内都被控制到了 O 点。图 6状态变量 x，y，z，w 被控制到 O 点的过程5超混沌同步设驱动系统为x觶1=400 x2-60 x1+30 x2x3-10 x4，x觶2=50 x1-10 x2-x1x3，x觶3=x1x2-15x3，x觶4=-10 x2+40 x2x3。扇墒设设设设设设设设设缮设设设设设设设设设68第 4 期设驱动变量为 x2，构造响应系统为y觶1=400 x2-60y1+30 x2y3-10y4，y觶2=50y1-10 x2-y1y3+p1，y觶3=y1x2-15y3，y觶4=-10 x2+40 x2y3+p2，扇墒设设设设设设设设设缮设设设设设设设设设其中，p1、p2为待设计的反馈控制器。设误差变量为e1=y1-x1，e2=y2-x2，e3=y3-x3，e4=y4-x4。扇墒设设设设设设设缮设设设设设设设则误差系统可化为e觶1=-60e1-10e4+30 x2e3，e觶2=50e1-（x1e3+x3e1+e1e3）+p1，e觶3=-15e3+x2e1，e觶4=40 x2e3+p2。扇墒设设设设设设设设设缮设设设设设设设设设选取线性反馈控制器 p1=-10e2、p2=-10e4，则误差系统可化为e觶1=-60e1-10e4+30 x2e3，e觶2=50e1-10e2-（x1e3+x3e1+e1e3），e觶3=-15e3+x2e1，e觶4=40 x2e3+p2。扇墒设设设设设设设设设缮设设设设设设设设设由于坠e觶1坠e1、坠e觶2坠e2、坠e觶3坠e3、坠e觶4坠e4均为负，这就有了误差 e1、e2、e3、e4趋于 0 的基本条件，再加上混沌系统的有界性，误差会自行趋于 0。设驱动系统的初始值为（20，20，20，20），响应系统的初值为（10，10，10，10），误差曲线模拟结果如图 7 所示。图 7同步误差曲线图杨旦旦等：一个大 Lyapunov 指数四维超混沌系统及其控制和同步69佛山科学技术学院学报（自然科学版）第 41 卷6结语本文设计了一个新的具有大 Lyapunov 指数的四维超混沌系统。分析得到新系统的耗散性和平衡点的稳定性。计算了系统各个参数变化时系统的 Lyapunov 指数谱，从而得到系统作混沌运动和超混沌运动的参数变化区间。用相图研究得到系统随某个参数变化时的运动规律。用线性反馈控制法将该超混沌系统控制到平衡点快速而有效。设计一种线性反馈控制器实现该超混沌系统的混沌同步。该系统在混沌和超混沌运动参数区间表现出的混沌和超混沌特性可以给基于混沌和超混沌理论的工程应用提供选择。本文的计算及分析方法具有普适性，对于其他超混沌系统的动力学分析、控制和同步具有一定借鉴意义。参考文献：1BAO B C,XU Q,XU J P.Multi-scroll hyperchaotic system based on Colpitts model and its circuit implementationJ.Journalof Electronics,2010,27（4）:538-543.2满峰泉,侯承玺,王忠林,等.一个新的超混沌系统设计与实现 J.通信技术,2010,43（11）:108-111.3高智中.一个新的非线性系统及其超混沌控制 J.浙江大学学报（理学版）,2012,39（3）:303-307.4尹社会,王记昌.四维自治超混沌模型及其电路实现 J.甘肃科学学报,2020,32（1）:95-99.5JIA H Y,CHEN Z Q,YUAN Z Z.A novel one equilibrium hyper-chaotic system generated upon L俟 attractor J.ChinesePhysics B,2010,19（2）:1-10.6王杰智,李航,王蕊,等.一个新四维光滑四翼超混沌系统及电路实现 J.山东大学学报（理学版）,2015,50（11）:104-112.7朱雷,刘艳云,王轩,等.一个新四维超混沌系统的构建与电路实现 J.华中师范大学学报（自然科学版）,2016,50（2）:206-210.8高智中.超混沌 Tang 系统的分析及其线性反馈同步与其电路实现 J.中山大学学报（自然科学版）,2020,59（1）:15-23.9李德奎.新四翼超混沌系统的线性反馈控制 J.贵州大学学报（自然科学版）,2021,38（4）:32-35,44.10YANG Q G,ZHANG K M,CHEN G R.Hyperchaotic attractors from a linearly controlled Lorenz system J.Nonlinear Analysis:Real World Applications,2009,10（3）:1601-1617.11张泽峰,黄丽莲,项建弘,等.新的具有宽参数范围的五维保守超混沌系统的动力学研究 J.物理学报,2021,70（23）:128-138.12邵慧婷,杨启贵.具有 4 个正 Lyapunov 指数的六维超混沌系统的复杂动力学研究 J.广西师范大学学报（自然科学版）,2022,40（5）:433-444.13洪玲玲,杨启贵.新四维超混沌系统的复杂动力学研究 J.广西师范大学学报（自然科学版）,2019,37（3）:96-105.14王涛,陈璐,李木子,等.宽频带超混沌系统的动力学分析及状态观测器同步 J.吉林大学学报（理学版）,2019,57（5）:1219-1223.15YANG Q G,CHEN C T.A 5D hyperchaotic system with three positive Lyapunov exponents coined J.International Journal ofBifurcation and Chaos,2013,23（6）:1350109.16YANG Q G,OSMAN W M,CHEN C T.A new 6D hyperchaotic system with four positive Lyapunov exponents coined J.International Journal of Bifurcation and Chaos,2015,25（4）:1550060.17李晓霞,郑驰,王雪,等.一个新的具有超级多稳态的五维忆阻超混沌系统 J.哈尔滨工业大学学报,2022,54（3）:163-170.18张晓丹,李志萍,张丽丽.一类基于奇异值分解的 Lyapunov 指数计算方法 J.北京科技大学学报,2005,27（3）:371-374.70第 4 期A new four-dimensional hyperchaotic system with large Lyapunov exponent was constructed.Thedissipation of the system and the stability of the equilibrium point were analyzed.By changing one systemparameter while fixing other system parameters,the influence of the change of each system parameter on theLyapunov exponent spectrum of the system was calculated and analyzed,and the parameter change ranges of thechaotic motion and hyperchaotic motion of the system were judged from the change of Lyapunov exponentspectrum with each parameter.Then the phase diagram was used to study the motion law of the system with thechange of system parameters.The hyperchaotic system was controlled to the equilibrium point by linear feedbackcontrol method.The hyperchaotic system was synchronized by linear feedback control method.The chaotic andhyperchaotic characteristics of the system in chaotic and hyperchaotic motion parameter ranges can provide achoice for engineering applications based on chaos and hyperchaos theory.The calculation and analysis methodsare universal and have reference significance for the dynamic analysis and control of other hyperchaotic systems.hyperchaotic system;Lyapunov exponents;parameter ranges;attractor;hyperchaos control;hyperchaos synchronization（Department of Civil Engineering,Sichuan College of Architectural Technology,Deyang 618000,China）YANG Dandan,DENG LinStudy on control and synchronization of afour-dimensional hyperchaotic system withlarge Lyapunov exponent杨旦旦等：一个大 Lyapunov 指数四维超混沌系统及其控制和同步征稿启事本刊根据近些年的办刊实践及学校学科发展状况，对栏目进行调整。除常规栏目“数理科学”“信息科学”“医学”“土木工程”“食品科学”“生命科学”“环境科学”等之外，还新设“畜牧与兽医”“临床医学”“人工智能”等特色栏目，得到全国各地学者的关注和支持。诚挚欢迎广大学者一如既往惠赐佳作。投稿邮箱：联系电话：[phone]