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多目标规划在深圳市某电子公司决策中的应用
信息与计算科学 2003级 杨春莹
指导教师 陈 涛 副教授
摘要：目标规划方法是求解有多个目标的极值问题的一种有效、实用的方法，在现代管理决策中处于重要地位。本文通过建立多目标规划的数学模型来解决深圳市某电子公司现需要做出的决策问题，在实现过程中应用LINDO软件对模型进行求解并分析，为电子公司做出生产管理决策提供依据。本文最后对建立的数学模型进行推广。
关键词：多目标规划，经济管理，生产决策，数学模型
The Application of Multiple Objectives Programming
in Decision-making of A Electronic Company in Shenzhen
Yang Chun-ying Information and Computational Science, Grade 2003
Directed by Chen Tao (Associate Prof.)
Abstract：Programming is an effective and practical method when solving Multi-target extreme problem, so it is important in modern management decisions. This paper establishes a multi-programming model to make a decision what a electronic company in Shenzhen need to make now. In the process, I uses LINDO software to solve and analysis the model, then the results provide the reasons that the electronic company need to decide. Finally, the paper makes a promotion for the established mathematical model.
Keyword：Multi-objective planning, Economic Management, Production decision，Mathematical Model
1 引言
美国的查里斯(A.Charnes)和库伯(W.W.Cooper)在1961年首次提出了目标规划的概念。1965年，爱吉利(Y.Ijiri)对多目标规划划分优先等级并提出优先权因子的概念[1]。目标规划是根据企业制订的经营目标以及这些目标的轻重缓急关系，考虑现有资源情况，分析如何达到规定目标或从总体上离规定目标的差距最小[2]。近几十年来，随着企业内专业分工越来越细，组织机构也日趋复杂，企业在制订生产计划或进行决策时常常需要满足多方面的要求，目标规划得到迅速的发展[3]。目前已在经济规划、生产管理、财务分析等方面广泛应用[4]。
2 问题提出与分析
2.1 问题的提出
深圳市某电子有限公司是一家集设计、开发、生产、销售一条龙服务的电子礼品专业公司。该公司在近几年的发展历程中，不断增加了市场占有额，处于同行列领先地位。这一成就主要归功于公司拥有一批忠诚且有技术的工人，他们当中有很多人从公司成立开始一直工作到现在，为公司的发展作出了重大贡献。公司管理层在决策时，首先要考虑的就是要保持职工队伍的稳定性，从而保持职工对工作的热情和忠诚。
在刚刚过去的一年中，公司销量少于历年水平且管理费用及产品开发费用较以往大幅增加，导致总收入下降，净利润为负的一百多万。直接的后果就是公司目前可用于开发新产品的资金没有往年充足，更严重的是会影响到公司的生存与发展。公司若销售量不能很快改善，管理层将会考虑削减公司的生产规模来降低生产总成本。
2.2 分析问题
根据以往的经验，新产品的利润较高且市场销售也比较好，公司通过对市场调查与分析后决定在今年主要生产刚开发出的三种新产品，分别用I、II、III表示(新产品还未上市，在此不透露产品名称，用I、II、III符号代替)。管理层希望能够通过这一措施改变目前的现状，使经营有一线转机，争取在今年恢复以前较高的销量及净利润。由于现在可用于生产的资金有限，管理层不得不在三种新产品中做出取舍决策。另一点要考虑的是，这样做是否会影响职工的稳定性。目前已有竞争者在生产类似的新产品，因此公司管理层必须尽快做出决策。
公司是利润导向型，管理层的目标包括以下内容：保持稳定的利润、增加市场份额、多样化产品线、保持价格稳定、提高员工的士气、保持对业务的控制力、增加公司的声誉。
这些目标有着本质的差别，要把他们综合到一个最高级的目标中去是不现实的。相反，在分析问题时，必须对每个目标进行单独考虑[5]。
管理层认为，在历经了过去一年的销量下降后，必须提高公司的收入，这也正是管理层给出的目标之一—这三种新产品在淘汰之前必须创造出至少450万的毛利润，根据以往的经验及市场调研，单位产品Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的长期利润是7元、5元、15元且分别在2年、2.5年、1年后退出市场，在生产期间的生产产品都能买出(每天产品的产量是根据定单来决定，但每天定单需求波动性不大，在产品退出市场前生产的产品都能卖出，所以本文中决策变量代表产品每天生产的平均量)。
生产部门认为在过去的几年中，除了去年不理想外，公司的收益是很好的。其中最重要的资产就是公司的员工，这也是公司成功的主要原因。若单纯追求短期利润，势必要求裁减人员以缩小公司规模来降低费用，这会造成破坏性的后果。若继续保持员工的稳定，并尽可能地发挥他们的能力，开发生产新产品，将会得到长期收益。若增加员工数量水平，会引起一些问题，特别是当产量减少时，增加员工只能是暂时的。首先，必须考虑这些员工的培训支出；然后，在生产规模缩小时，又不得不将他们裁减掉，所以保持现在大约100名员工的水平是最佳的。根据实验结果，单位产品Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分别耗用0.06人、0.04人、0.1人。
为了生产新产品，将会需要大量的资金，财务部门依据惯常使用的方法计算了在新产品上的最小投资66万。其中，生产新产品的固定成本20万，三种新产品的单位变动成本分别为：1元、0.5元、3.6元。若过度扩展，又会导致存货大幅度增加占用资金，从而减慢了资金的流动[6]。因此，投资最好限制在此范围之内。
总结以上的分析，公司认为必须将利润部标放在第一位，即新产品产生的总利润不得少于450万，先给未达到目标值的一万利润分配权数5。投资资金的限制放在第二位，目标是将投资资金限制在66万元以内，仍以利润的5点权数作为参照，投资目标的权数可设为4。员工作为公司的宝贵财产，其目标是尽量保持现有100人的员工水平。可以将保持员工的目标分成两部分：一是避免裁员；二是避免增加员工。前一种的危害性比后一种要严重。若以利润的5点权数作为参照，可以认为这两部分的权数分别为3和2。(该部分数据及偏好权数由公司管理层确定)
因此，可以得到目标规划决策问题的权数，见表一：

表一 目标规划问题的惩罚权重
因 素
产品的单位贡献
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
目标 权数
长期利润（元）
员工水平（人）
资本投资（元）
7 5 15
0.06 0.04 0.1
1 0.5 3.6
>=4500000 5
=100 2(+)，3(-)
<=660000-200000 4
3 建立模型
在目标规划决策问题中，要决策的是三种产品的平均每天产量。设决策变量，，代表公司产品Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的平均每天生产水平。根据表一可知问题的目标为：
目标1： 总利润目标
目标2： 投资资金目标
目标3： 员工水平目标
管理层已经意识到这些约束条件不可能同时实现他们，他们不可能被看做数学模型的约束。问题的总目标是要使得所有目标都尽可能地实现，所以我们应该对上面的问题使用带优先权的目标规划模型。最优先考虑的目标应该是总利润这个目标，其次考虑资本投资目标，最后考虑雇佣水平中的避免增加员工和解雇大量人员目标。从而可以修正表一中的权重参数得出表二。其中，优先层次分为三级，表示管理层应该先考虑第一层次的目标实现后，再在此基础之上考虑第二层次的目标实现，第二层次的目标实现后，再在此基础之上考虑第三层次的目标实现。
表二 目标规划问题的优先权
因 素
产品的单位贡献
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
目标 权数与优先层次
长期利润（元）
员工水平（人）
资本投资（元）
7 5 15
0.06 0.04 0.1
1 0.5 3.6
>=4500000 5(第一层次)
=100 2(+，第三层次)，3(-，第三层次)
<=460000 3(第二层次)
第一层次的目标是最小化偏差 ，其优先级为；第二层次的目标是最小化偏差， 其优先级为；第三层次的目标是最小化偏差变量、，其优先级为。
数学模型为：

整理后的数学模型为：

4 求解模型及结果进行分析
4.1 在LINDO软件中求解
多目标规划的求解有多种方法，例如：单纯形法、图解法、Excel电子表格法、用LINDO软件求解等[7,8,9]。运用LINDO软件求解多目标规划，一般按优先级一步一步求解[10]，但本文选用LINDO软件直接对模型进行求解。具体说来，是将处于不同优先级的目标函数用不同的变量表示出来，把这些变量按优先顺序依次相加作为新的目标函数，然后调用LINDO中Solve菜单下的Preemptive Goal子菜单求解即可。在此，将正负偏差变量，分别用和来表示(i=1，2，3)，用变量obj1、obj2、obj3分别来表示5y1_、4y2、3y3_+2y3。
其源程序为：
min obj1+obj2+obj3
ST
5110x1+4562.5x2+5475x3+y1_- y1=4500000
730x1+456.25x2+1314x3+y2_- y2=460000
0.06x1+0.04x2+0.1x3+y3_- y3=100
obj1-5y1_=0
obj2-4y2=0
obj3-3y3_-2y3=0
end
在LINDO Untitled中输入上程序后，执行Solve菜单的Preemptive Goal命令。在Reports Window中得如下结果：
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 3
OBJECTIVE VALUE = 0.000000000E+00

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 0
OBJECTIVE VALUE = 0.000000000E+00

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 1
OBJECTIVE VALUE = 179.013702
以上输出表示的是模型中三个优先级的目标函数最优值和计算迭代次数。为了得到最优解，再执行Reports菜单下的Solution命令，得到程序最后结果如下：
OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 179.0137

VARIABLE VALUE REDUCED COST
OBJ1 0.000000 0.000000
OBJ2 0.000000 1.000000
OBJ3 179.013702 1.000000
X1 0.000000 0.000000
X2 1008.219177 0.000000
X3 0.000000 0.000000
Y1_ 0.000000 5.000000
Y1 100000.000000 0.000000
Y2_ 0.000000 0.000000
Y2 0.000000 0.000000
Y3_ 59.671234 0.000000
Y3 0.000000 0.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 0.000000 0.000000
3) 0.000000 0.000000
4) 0.000000 0.000000
5) 0.000000 -1.000000
6) 0.000000 0.000000
7) -0.000004 0.000000

NO. ITERATIONS= 0
4.2 结果分析
根据以上结果，总目标最小值5y1_+4y2+3y3_+2y3=179.0137，X1=0，X2 = 1008.219177，X3=0，因此，我们可以建议产品II每天平均生产1008件，并且推迟了产品Ⅰ和III的生产，需要进一步调研，再视情况而定是否对产品Ⅰ和III进行生产。Y3_= 59.67123说明公司在上决策情况下多余人手59人，一种情况是进行裁员减小公司规模， 另一种情况是多余的59人继续留在公司。公司在近几年的发展历程中，不断增加了市场占有额，处于领先地位主要归功于公司拥有一批忠诚且有技术的工人，员工是公司宝贵的资源，因此不能轻易裁员。公司是多样化生产，每年主要生产新产品，同时也可以兼营以往市场较好的旧产品，可以考虑把剩余的59人分配生产其他产品。Y1=100000.000000，说明在此决策情况下公司不仅实现第一级目标450万的利润还能多赢利10万。y2、y2_和y3的值都为0，说明在实施此方案的情形下，第二层次的目标投入资金限制及第三层次目标部分(不裁减员工)都得到了实现[11]。求解结果与公司生产销售情况基本吻合。
5 模型的推广
对于一般目标规划决策问题，决策者经常是通过给定目标的目的或者理想值，各目标的权系数或优先权来表示自己的偏好。决策者评价一个方案时，经常选择该方案与目的点或者理想点的“偏差”最小的方案。决策者的目标经常是具有层次性的，假定决策者的目标可分为个层次，记为，…，，在每个等级上有个目标，约定优先于，，等等，即只有在尽量满足等级内目标的前提下，才能考虑实现等级上的目标。一般的线性目标规划模型如下[12,13]：

其中：为目的，为理想点，、为非负权系数，、为正负偏差变量。
6 结束语
多目标优化问题是实际经济管理中普遍存在并期待解决的问题。在经济管理中决策是一个典型的多目标优化问题，寻求一种好的多目标优化方法进行生产销售，对于提高生产、增大效益有着重要的实际意义[14]。本文的结论可以归为如下三点[15]：
1、建立数学模型说明多目标规划在公司做决策时的具体应用，并根据求解结果对深圳市某电子公司提出建议。
2、推广出求解同类问题多目标规划的一般模型。
3、通常运用LINDO软件求解多目标规划，按优先级一步一步求解，本文改变以往解法，将处于不同优先级的目标函数用不同的变量表示出来，把这些变量按优先顺序依次相加作为新的目标函数，然后在对新的模型直接用LINDO软件求解。
参考文献
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致谢
本论文是在陈涛老师的悉心指导下完成的，在用软件求解过程中，得到了数学系刘旭东老师的指导及母培松、马琴同学的帮助，还要特别感谢深圳市的这家电子公司的大力支持，为我提供相关数据，在此对他们表示衷心的感谢！