中职-《工程数学基础》第6章.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,6,章 空间解析几何与多元函数微积分,以前我们讨论的函数只依赖于一个自变量，但在自然科学和工程技术上常常会遇到依赖于两个或更多个自变量的函数，这种函数称为多元函数本章先介绍空间解析几何的初步知识，然后在一元函数的基础上，讨论多元函数的基本概念、多元函数的微积分法及其应用学习本章时，在方法上要注意二维向量与三维向量及一元函数与二元函数之间的异同点，以便更好地掌握多元函数微积分法的基本概念和方法,6.1,空间解析几何初步,6.2,多元函数,6.3,偏导数与全微分,6.4,多元函数的极值和最值,6.5,二重积分,6.6,二重积分的计算与应用,6.1,空间解析几何初步,6.1.1,空间直角坐标系,1.,空间直角坐标系的概念,2.,空间点的直角坐标,x,y,z,O,M,x,y,z,6.1.2,向量及其运算,1.,向量的概念,在研究力学、物理学及其他一些实际问题时,我们经常遇到这样一类量,它既有大小又有方向,我们把这一类量叫做,向量,如力、速度、位移等,.,向量的表示：,a,b,c,向量的模：,单位向量：,模等于,1,的向量。,零向量：,模为,0,的向量。,向量平行：,a,b,向径：,x,y,z,r,O,M,如图，称 为向径，通常记作,r.,记,a,（,x,y,z,）,.,向量，向径，坐标之间有一一对应的关系。,a,2.,向量的线性运算,（,1,）向量的加法,：,c=a+b,加法运算定律：,交换律：,a+b=b+a;,结合律,：,(a+b)+c=a+(b+c).,(2),向量的减法,：,a-b=a+(-b),A,B,C,a+b,a,b,a,b,b,a,b,a,b,（,3,）向量的数乘,：,a,实数,向量,数乘运算定律：,结合律：,(),a,=(,a,)=(,a,);,分配律：,(,a+b,)=,a,+,b,(+),a,=,a,+,a,定理,1,：,设向量,a,0,，则向量,b,平行于,a,的充分必要条件是存在唯一的实数,使,b,=,a.,(4),坐标基本向量及向量关于基本向量的分解,坐标基本向量：,i,=(1,0,0);,j,=(0,1,0);,k,=(0,0,1),a,=(x,y,z)=x,i,+y,j,+z,k,x,y,z,O,M,a,i,j,k,x,i,y,j,z,k,向量的坐标运算：,a,b,a+b,例,1,：,设,a,=(0,-1,2),b,=(-1,3,4),求,a,+,b,2,a,-,b,.,解：,a,+,b,=(0+(-1),-1+3,2+4)=(-1,2,6);,2,a,-,b,=(2,0,2,(-1),2,2)-,(-1,3,4),=(0-(-1),-2-3,4-4)=(1,-5,0).,例,2,：,已知两点,A(0,1,-4),B(2,3,0),试用坐标表示向量,解：,3.,向量的数量积,向量的夹角,:,(,a,b),或,(b,a),向量垂直：,a,b,定义,1,设,a,b,是两个向量，它们的模及夹角的余弦的乘积，称为向量,a,与,b,的数量积，记为,a,b,，,即,ab,a,b,cos(,a,b,).,坐标基本向量的数量积,：,ii=jj=kk=,1;,ij=ji=ik=ki=jk=kj=,0.,数量积的性质：,aa=,;,a0=,0,其中,0,是零向量,;,ab=ba,;,(,a,),b=a,(,b,)=,(,ab,),其中是任意实数,;,(,a+b,),c=ac+bc,向量的数量积不满足结合律,例,3,已知,(,a,b,)=,a,=3,b,=4,求向量,c,=3,a,+2,b,的模。,解：,把,代入,即得,所以,向量数量积的坐标运算：,a,b,.,例,4,已知三点,求向量,与,的夹角,.,解：,所以,4.,向量的向量积,定义,2,a,b,两个向量的向量积是一个向量,记作,它的模为,它的方向与,a,b,所在的平面垂直,成右手系,.,且使,a,b,a,b,向量的向量积的运算性质：,a,a=0,;,a,0=0,;,a,b,b,a,;,(,a,),b=a,(,b,)=,(,a,b,),(,a,+,b,),c=,a,c+b,c,(,a,+,b,),c=,a,c+b,c.,坐标基本向量的向量积：,i,j=k,j,k=i,k,i=j,j,i=-k,k,j=-i,i,k=-j,向量的向量积不满足交换律，结合律,向量积的坐标运算：,例,5,已知,求,。,.,解：,例,6,已知三点,求,解：,由向量积的定义及几何意义知,.,的面积,.,5.,向量的关系与判断,（,1,）向量垂直及其判定,定理,2,两个非零向量,a,b,垂直,a,b,=0.,定理,2,设,a,b,垂直,=0.,（,2,）向量平行及其判定,定理,3,a,b,存在实数,使,a,b.,定理,4,a,b,a,b=,0.,例,7,已知两向量,解,(1),由定理,2,知,当,a,b,时,a,b,=,(2),因为,由定理,3,知,无论,x,取何值,a,与,b,都不平行,.,求,x,的值,若,(,1),a,b,;,(2),a,b,.,=0,，,即,x,=-8,；,6.1.3,空间平面及其方程,1.,平面的点法式方程,例,8,求过点,且以向量,解：,根据平面点法式方程,得所求平面为,即,为法向量的平面方程,.,例,9,求过三点,解：,由于,且,垂直于,和,所确定的平面,因此可取平面的法向量为,所求平面方程为,即,的平面方程,.,2.,平面的一般式方程,令,例,10,求过,z,轴和点,解,由于平面通过,z,轴,因此,C,=0,D,=0,故可设所求方程为,将点,代入方程,得,即,所以所求方程为,的平面方程,.,例,11,求过点,解,设平面方程为,将三点坐标代入方程得,解之得,代入方程,整理得所求平面方程为,.,的平面方程,.,6.1.4,空间直线及其方程,1.,空间直线的一般式方程,l,l,过一条直线的平面有无数个,但只要在其中任取两个,把它们的方程联立起来,所得的方程组就表示空间直线,l.,2.,空间直线的点向式方程与参数方程,点向式方程,参数方程,例,12,求过点,(1,3,-2),且垂直于平面 的直线方程,.,解,由于所求直线与已知平面垂直,故平面的法向量与直线的,方向向量平行,所以所求直线的方向向量可取为,故所求的,直线方程为,例,13,求过两点,解,由于直线过,A,B,两点,可取方向向量,故所求的直线方程为,的直线方程,.,6.1.5,线、面的位置关系,1.,两平面的位置关系,（,1,）平面间平行、垂直的判定及夹角计算,设两平面,的方程为,则它们的法向量分别为,平面,(,若某个分母为,0,则对应分子也为,0,重合作为平行的特例,),平面,若,既不平行又不垂直,记,(,),为,所成两面角的平面角,(,平面夹角,),因为,(,),所以,.,90,（,2,）点到平面的距离公式,例,14,求两平行平面,:,解,两平行平面的距离就是其中一个平面上任意一点到,另一平面的距离,.,取,点,到平面,的距离为,.,间的距离,.,2.,两直线的位置关系,(1),直线间平行、垂直的判定及夹角计算,.,设直线,的方程为,方向向量为,.,直线,.,(,若某个分母为,0,则对应分子也为,0,重合作为平行的特例,),直线,.,若,既不平行又不垂直,记,(,),为,所成的角,简称夹角，,（）,9,0,则,(2),点到直线的距离,.,已知直线,和直线外一点,，过,作,的垂直平面,垂足为,称,为,到直线,的距离,.,例,15,：,求原点到直线,解,直线,的方向向量为,过原点作,的垂直平面,垂足为,则,就是,的法向量,所以,的方程为,解方程组,得,所以,点是,原点到直线的距离,的距离,.,3.,直线与平面的位置关系,设有平面,直线,(,若某个分母为,0,则对应分子也为,0,直线在平面上作为平行的特例,),记,交角为,则,.,例,16,求直线,与平面,之间的夹角,解,直线,的方向向量,平面,的法向量,所以由公式可得,11.,1,返回,6.2,多元函数,6.2.1,多元函数概述,x,y,O,若点,是,面上的一个点，,，我们把点集,叫做点,的,邻域,，记为,对于点,的,邻域，当不包括点,时，也称它为,空心邻域,，记作,由,xOy,平面上的一条或几条曲线所围成的一部分平面或整个,平面，称为,xOy,平面上的一个,平面区域,围成平面区域的曲,线称为,区域边界,.,不包含边界的区域称为,开区域,，包含全部,边界的区域称为,闭区域,.,包含部分边界的区域称为,半开半闭,区域,.,若能找到适当长为半径的圆，使区域内的所有点都在,该圆内，这样的区域称为,有界区域,.,否则称为,无界区域,.,有界，开区间,无界，开区间,1.,多元函数的定义,例,三角形面积,与,其底,长,a,，高,h,有下列依赖关系：,例,2,一定质量的理想气体的压强,P,与体积,V,和绝对温度,T,之间,满足下列确定性关系：,其中,k,为常数，,T,，,V,为取值于集合,的实数对,.,定义,3,设有三个变量,，如果对于变量,，在它们,内的每一对确定的值，按照某一对应法则,，,变量,z,都有唯一确定的值与之对应，则称,为,在,上的,二元函数,，记作,的变化范围,二元及二元以上的函数统称为,多元函数,2.,二元函数的定义域,实际问题：根据自变量所表示的实际意义确定函数的定义域；,数学式函数：能使该数学式子有意义的那些自变量取值的全体,例,3,求函数,的定义域，并计算,和,x,y,O,3,解,:,函数的定义域为,例,求函数,的定义域,解,函数的定义域为,3.,二元函数的几何意义,例,5,作,二元函数,的图形,例,6,作,二元函数,的图形,6.2.2,二元函数的极限,定义,4,设函数,在点,的某一空心邻域内有定义，,以任意方式趋近于点,时，对应的函数值,都趋近于一个确定的,，那么称这个常数,为函数,当,时的极限，记为,如果在此邻域内的动点,常数,或,，或,例,7,求下列极限,（,2,）,解,（,1,）原式,=,（,2,）令,，则当,时，,故,（,1,）,例,8,讨论二元函数,当,时，极限是否存在,.,沿直线,趋于点,时，此时,所以,可见其极限值是随直线斜率,的不同而不同，因此,不存在,解,当,6.2.3,二元函数的连续性,定义,5,设函数,在点,的某一邻域内有定义，,趋,近,于点,时，函数,的极限等于,在点,处的函数值,，即,，则称,在点,处连续,如果当邻域内的任意一点,函数,间断点：,如果函数,在点,处不连续，,的,间断点,则称该点为函数,（,1,）,函数,在点,处无定义,（,2,）当点,趋于点,时，函数,的极限不存在,（,3,）函数,在点,处极限值不等于,函数在该点的函数值,例,讨论下列函数的间断点,(,或间断线,),：,；（,2,）,（,1,）,解,（,1,）当,时，函数,无定义，,和,所以直该函数有间断线,（,2,）当,时，函数,无定义，所以圆周,是该函数,的间断线,定义,6,由变量,的基本初等函数及常数经过有限次,的四则运算或复合而构成的，且用一个数学式,子表示的二元函数称为,二元初等函数,性质,(,最值性质,),如果函数,在有界闭区域,连续，则,在,上一定存在最大值和最小值,上,性质,(,介值性质,),如果函数,在有界闭区域,上连续，,则,在,上一定可取得介于函数最大值,与最小值,之间的任何值,返回,6.3,偏导数与全微分,6.3.1,偏导数的概念及求法,1,偏导数的定义,定义,7,设函数,在点,的某一邻域内有定义，当,固定在,，而,在,处有,增,量,时，相应的函数有,增,量,如果极限,存在，,则称此极限值为函数,在点,处,对,的,偏导数,.,记为,，,，,或,即,类似地，,函数,在点,处,对,的偏导数,，定义为,.,2,二元函数偏导数的几何意义,对,轴的斜率,表示,表示,对,轴的斜率,偏导数的求法,要求,，把,看成常数，函数看成是以,一元函数，然后对,求导数。,为自变量的,例,1,设,，求,，,，,及,解,，,例,2,下列函数的偏导数,(2),(1),解,(1),(2),例,3,已知理想气体的状态方程,（,是常数），证明：,证明,，,，,，,，,，,注意,偏导数的记号,是一个整体记号，不能理解为“分子”,与“分母”,之商。,定义,8,设,是变量,的函数，其定义域为，而,又是变量,的函数，即,，,且,，于是,也是,的函数，我们称它是由,与,复合而成的,多元,复合函数,为,中间变量,，,是,自变量,定理,5,设函数,在点,处偏导数存在，函数,在对应点,处可偏导，则复合函数,在点,处偏导数存在，且,，,例,4,设,，求,解,设,，,，则,于是,，,，,，,所以,例,5,设,，求,，,解,设,，则,于是,，,所以,例,6,设,，求全导数,解,例,7,设,，求,，,解,设,，则,例,设,，,是可偏导函数，求证：,证明,设,，则,，,因此,例,设函数,，而,，求,.,解,.,隐函数的偏导数,三元方程,可以确定一个二元隐函数,且,例,10,求由方程,所确定的隐函数的导数,，则,，,，,解,设,代入公式,，得,例,11,求由方程,所确定的隐函数,关于,，,的偏导数,解,设,，则,所以,函数的偏导数与函数的连续性的关系,例,在点,处的极限不存在，故在点,处不连续,但是,，,.,二元函数连续与偏导数存在，这两个条件之间是没有必然联系的,.,5,高阶偏导数,二阶偏导数,，,，,，,导数的偏导数称为原来函数的,阶偏导数,二阶或二阶以上的偏导数统称为,高阶偏导数,例,12,设,，求它的所有二阶偏导数,解,因为,，,，,所以,定理,6,如果函数,在区域,混合,偏导数,都连续，则在该区域上必有,上一阶偏导和二阶,例,13,设,，求,解,，,，,所以,，,6.3.2,全微分,1,二元函数的全增量,定义,7,设二元函数,在点,当自变量,在点,处分别在该邻域内有增量,，,时，相应的函数,的增量为,的某邻域内有定义,称其为二元函数,在点,处的,全增量,2,全微分的概念,例,14,设矩形金属薄片原长为,，宽为,，则面积,设薄片受热膨胀，长增加,宽增加,，其面积相应增加,那么,令,当,时，,是,的高阶无穷小,。,定义,10,设二元函数,在点,的,某邻域内,在点,的全增量，,有定义，如果,可以表示为,其中,与,，,无关，,，,是当,时，比,则称二元函数,在,点,处,可微,更高阶的无穷小，,并称,为函数,在点,处的,全微分,，记作,即,3.,可微与可导的关系,定理,7,（,可微的第一必要条件,）,若函数,在点,处可微，即,，,则在该点,的两个偏导数存在，并且,全微分计算：,定理,8,（可微的第二必要条件）,若二元函数,在点,处可微，则在该点一定连续。,定理,9,（可微的充分条件）,若二元函数,在点,处的两个偏导数,存在且在点,处连续，则函数,在该点一定可微,例,15,求函数,在点,处，关于,的全增量与全微分,解,，,将,代入,的表达式，得,例,16,求函数,的全微分,解,因为,，,不难验证,，,除,点外,都存在且连续,，所以,返回,6.4,多元函数的极值和最值,6.4.1,多元函数的极值,定义,11,设函数,在点,如果对于该邻域内的任一点,都有,(,或,),，则称函数,在点,处有,极大值,(,或,极小值,),，点,f(x,y,),的,极大值点,(,或,极小值点,)(,统称为,极值点,),的某邻域内有定义，,称为函数,函数的极大值与极小值统称为,极值,定理,10(,极值存在的必要条件,),设函数,在点,处,的两个偏导数都存在，且在该点处取得极值，则必有,，,使,与,同时成立的点,称为函数,的,驻点,极值点一定是驻点但是，驻点却未必是极值点,定理,11,(,极值存在的充分条件,),设函数,在点,的某个邻域内有连续的一阶及二阶偏导数，且,是函数的驻点，即,若记,，,，,则,(1),当,时，点,是极值点，且,当,时，,是极大值点，,为极大值；,当,时，,是极小值点，,为极小值；,(2),当,时，,不是极值点,(3),当,时，,可能是极值，也可能不是极值,极值求法,(1),求方程组,的一切实数解，得所有驻点,(2),求出二阶偏导数,分别求出二阶偏导数的,值,，并对每一驻点，,(3),对每一驻点,，,判断,的符号，当,定理的结论判定,是否为极值，是极大值还是极小值,时，要用其他方法来求极值,时，可按上述,当,例,1,求函数,的极值,.,解,.,解方程组,求得驻点为,(1,0),，,(1,2),(-3,0),(-3,2),在点,(1,0),处，,且,故函数在,(1,0),处有极小值,-5,；,在,(-3,2),处有极大值,31.,在点,(1,2),及在点,(-3,0),处，,都大于,0,，所以它们都不是极值点；,在点,(-3,2),处，,且,6.4.2,多元函数的最大值与最小值,求函数最大值和最小值的一般方法：,先求出函数在有界闭,区域内的所有驻点处的函数值及函数在该区域边界上的最,大值和最小值，然后比较这些函数值的大小，其中最大者,就是最大值，最小者就是最小值,例,2,要做一个容积为,8,的长方体箱子，问箱子各边长为多大时，,所用材料最省？,解,设箱子的长、宽分别为,，则高为,箱子所用材料的表面积为,当面积,最小时，所用材料最省为此求函数,的驻点，,得唯一驻点（,2,，,2,）,6.4.3,条件极值,除了对自变量限制在其定义域内并没有其它的限制条件的,极值问题，称为,无条件极值,对自变量有约束条件的极值问题称为,条件极值,求函数,在约束条件,下的极值点,拉格朗日乘数法,求函数,在约束条件,下的极值点,(1),构造辅助函数：,(2),求,对,的偏导数，由极值存在的必要条件，,建立以下方程组,(3),解上面方程组求得,，则,就是可能的极值点,例,3,设周长为,求矩形的边长各为多少时，圆柱体的体积最大？,的矩形，绕它的一边旋转构成圆柱体，,解,设矩形的边长分别为,，且绕边长为,得到的圆柱体的体积为,的边旋转，,，,其中矩形边长,满足约束条件,构造辅助函数,求,的偏导数，,得,代入第三个方程，得,即当矩形边长,圆柱体的体积最大，,返回,6.5,二重积分,6.5.1,二重积分的概念,1,两个实例,(1),平面薄片的质量,已知一平面薄片，在,占有区域,，其质量分布的面密,为,函数，试求薄片的质量,平面上,度函数为,上的连续,分割,:,将区域,任意分割成,个小,块,用,既表示第,个小块，也表示第,个小块的面积,求和,:,记,为,的直径,当,很小时，可以认为在,上质量分布是均匀的，并用任意点,处的密度,作为,的面密度，记,为第,个小块的质量，则,因此薄片的质量可以表示为,取极限,:,若记,，则定义,为所求平面薄片的质量,（,2,）曲顶柱体的体积,若有一个柱体，它的底是,平面上的闭区域,，它的侧面是以,的边界曲线为准线，且,轴的柱面，它的顶是曲面,设,为,上的连续函数，且,下面我们来求其体积,母线平行于,称这个柱体为曲顶柱体,.,分割：将区域,任意分割成,个小块,这样就将曲顶柱体相应地分割成,个小曲顶柱体，它们的体积记为,求和：记,为,的直径则当,很小时，在,中任取一点,，以,为高而底为,顶柱体的体积为,，可以将其看作是以,为底的小曲顶柱体体积的近似值因此曲顶柱体,的平,体积的近似值可以取为,取极限：若记,，则定义,为所求曲顶柱体的体积,.,2,二重积分的概念,定义,12,设,是定义在有界闭区域,上的有界函数,任意分割成,个小块,，,也表示第,个小块的面积任取一点,作,和式,记,为,的直径，,若,将区域,且此极限值不依赖于区域,的分法，也不依赖于,的取法，而仅与区域,D,及函数,有关，则称此极限为函数,在区域,上的,二重积分,.,存在，,区域小块内点,记作,，即,其中,称为,被积函数,，,称为,积分区域,，,称为,被积表达式,，,称为,面积元素,，,和,称为,积分变量,若函数,在有界闭区域,上的二重积分存在，,在区域,上,可积,则称,6.5.2,二重积分的几何意义,（,1,）若在区域,上,，则二重积分,表示以区域,为底，以曲面,曲顶柱体的体积,为曲顶的,（,2,）若在区域,上,，则上述曲顶柱体在,面的下方二重积分,的值是负的，它的,绝对值为该曲顶柱体的体积,特别地，若在区域,上，,，且,的面积为,则,6.5.3,二重积分的基本性质,性质,1,（线性性质）,（,均为常数）,性质,2,（区域可加性）,如果区域,被连续曲线分割为,与,两部分，则,性质,3,（单调性）,如果在区域,上有,，则,性质,4,（,二重积分介值定理）,设,和,分别为函数,在有界闭区域,上的最大值和最小值，则,性质,5,（,二重积分中值定理）,设,在有界闭区域,上连续，,是区域,的面积，则在,上至少存在一点,，使得,返回,6.6,二重积分的计算与应用,6.6.1,二重积分的计算,1,在直角坐标系下计算二重积分,若区域,可以表示为：,其中,，,在,则称,为,型区域,.,上连续，,常记为,(2),若区域,可以表示为：,其中,、,在,上连续，则称,为,型区域,.,或记为,例,1,计算,，其中,解,积分区域,是矩形，且被积函数,，故有,积分，,作,平行于,例,计算,，其中,由,围成,解,画出区域,的图形，,若先对,轴的直线，,与,分别是入口曲线与出口,=,因此,曲线，则,例,计算,，其中,由,确定,解,若先对,积分，将,投影到,轴上，得,，,作平行,于,轴的直线，,，出口曲线为,，即,=,故,入口曲线为,若先对,积分，将,投影到,轴上，得,作平行于,轴的直线，入口曲线为,出口曲线为,，即,=,故,例,4,计算,，其中,是长方形区域：,解,将二重积分化为二次积分时，不同的积分次序将会导致计算的,难易差异因此，计算时应注意选择积分次序选择积分次序,要考虑被积函数和积分区域两个因素,例,5,计算,解,由于,不能用初等函数表示出来，因此，我们考虑,用交换积分次序的方法来计算这个二重积分,2,在极坐标系下计算二重积分,在极坐标系下，我们用两组曲线,常数及,常数，即一组同心圆与一组过原点的,任意分成,个小区域,.,射线，将区域,若第,个小区域,是由,所围成由扇形面积公式可得,因此面积微元,所以,通常是选择先对,积分，后对,积分的次序,，则,积分区域,例,6,计算,，其中,为圆域：,解,在极坐标系下，区域,可以表示为：,因极点在区域,的内部，故,例,7,其中,为圆环：,解,可以表示为：,例,8,计算,（其中,）,可以表示为：,解,6.6.2,二重积分应用举例,.,平面图形的面积,例,10,求由抛物线,和直线,所围成的平面图形,的面积,解,由,解得,可以表示为：,故区域,的面积,为,.,空间立体的体积,例,11,求由旋转抛物面,与平面,所围成的立体,的体积,所求立体的体积是以,为底、高为,的正圆柱体积，与以旋转抛物面,为顶，以,为底的曲顶柱,解,体的体积之差,正圆柱体体积,曲顶柱体体积,于是，所求立体的体积为,.,质量与质心,例,12,求质量均匀分布的半圆形薄板的形心,解,设半圆的圆心在原点，半径为,则半圆形区域,为,由于区域,关于,轴对称，所以,，,因此半圆的形心为,本章内容小结,本章主要内容：空间直角坐标系的概念；向量的概念；,平面和直线的概念；平面法向量的概念；空间直线方向,向量的概念；多元函数的概念；偏导数、高阶偏导数、,全微分的概念；多元函数求导法则；多元函数的极值、,最值和条件极值；二重积分的概念和性质；二重积分的,计算及二重积分的应用,.,本章概念较多，把二维向量推广到三维向量，理解二,元函数与一元函数的异同是学好本章的关键,.,3.,在向量运算中充分利用向量运算的性质和非零向量之,间平行、垂直的条件,.,在建立平面、直线方程时,要善于,将一些几何条件转化为向量之间的关系,在学习微分学时，注意偏导数与一元函数导数、全微分,与一元函数微分的异同,.,求偏导数的关键是先把多元函数,作为一元函数看待，再用一元函数的方法求导；复合函,数求偏导数必须先分析函数的复合形式，然后用链式法,则求导；多元隐函数的求导是把隐函数看成复合函数，,然后使用复合函数的求导方法,.,在一元函数中，可导与可微是等价的，但在多元函数中则,不然，二元函数可微必可偏导，关于,的两个偏导数若,连续，则此二元函数可微,.,5.,注意求多元函数极值与求一元函数极值的异同，掌握用拉格,朗日乘数法求条件极值的步骤：,作拉格朗日辅助函数；,(2),对拉格朗日辅助函数求一阶偏导数，令一阶偏导数为零并与,约束条件联立成方程组，解方程组，得到可能的极值点,.,(3),结合问题的实际意义确定极值点和极值,.,6.,在学习二重积分时，首先根据积分的实际意义来理解二重积,分概念，确定其积分区域。掌握二重积分的性质，注意二重积,分与定积分的异同,.,7.,对二重积分计算的重点是把二重积分化为二次积分来运算,.,在二重积分化为二次积分时，特别应注意二次积分顺序的选,择和积分变量上下限的确定,.,在计算一些积分区域为扇形或圆,形时，可以考虑使用极坐标系计算,.,8.,掌握二重积分在实际生产活动中的应用，特别要注重范例,的学习，并能举一反三,