中职-《工程数学基础》第4章.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四章 积分及其应用,4.1,积分概述,4.2,直接积分法,4.3,换元积分法,4.4,分部积分法,4.5,广义积分法,4.6,积分在几何上的应用,4.7,积分在物理上的应用,4.1,积分概述,4.1.1,积分的定义,单曲边梯形的面积,所谓单曲边梯形是指将直角梯形的,斜腰换成连续曲线段后的图形,.,如图,4-1,：,图,4-1,如何计算上述图形的面积呢？,适当选取直角坐标系，将曲边梯形,的一直腰放在,x,轴上，两底边为,x=a,x=b,设曲,不妨设,如图,边的方程为,y=f(x),.,，,且,上连续,。,4-2,：,图,4-2,具体做法如下：,（,1,）化整为微,任取一组分点,将区间,分成,n,个小区间：,第,i,个小区间的长度为,第,i,个小曲边梯形的面积为,。,，,过各个分点作,x,轴的垂线，将原来的曲边梯形分成,n,个小曲边梯形，,（,2,）微量近似 在每一个小区间,上任取一点,，,（,3,）积微为整 将,n,个小矩形面积相加，作为原曲边梯形面积的近似值,，当,时，,（,4,）极限求精 设,原曲边梯形的面,积为,。,.,积分的定义,注意下面的讨论：,以,表示以,为底边的曲边梯形的面积,则所求面积,，,因为,由连续函数的介值定理，存在,，使,当,因为,连续，所以,，所以,。,虽然，以上所讨论的只是一个求曲边梯形面积的数学模型，,但这种局部以直代曲（以小矩形面积代替小曲边梯形面积），,然后相加并求极限的思想，正是微积分的精华所在。,为此，可以有如下定义：,定义,4.1,设函数,在区间,上连续，且,，则,表示,在,牛顿,莱布尼茨公式,或,微积分基本公式,.,其中，,称为被积函数，,a,和,b,分别称为积分下限和积分上限，,称为积分表达式，,为积分变量，,称为积分区间,.,上的积分,.,这个式子就是,有名的,例,求,.,解,因为,，所以,.,原式,=,例,求,解,因为,.,，,所以，原式,=,图,4-3,4.1.2,积分的几何意义,如果,在,上连续且非负，则,恰好表示由曲线,，直线,以及,轴所围图形的面积,.,如图,4-3,：,图,4-4,如果,在,上连续且非正，则,恰好表示由曲线,，直线,以及,轴所围图形,面积的负值,.,如图,4-4,：,图,4-5,一般的情况下，如果,在,上连续，则,表示由曲线,，直线,以及,轴所围图形面积的代数值,.,如图,4-5,：,4.1.3,积分的性质,由积分的定义，可以推出积分具有以下一些性质,（假设被积函数在积分区间上连续）：,性质,（常数性质）,.,性质,（反积分区间性质）,.,性质,（线性性质）,性质,（积分区间的可加性）,性质,（有序性）如果在区间,上有,则,.,性质,（积分估值性质）设函数,，则,性质,（积分中值定理）在,内至少存在一个,（中值），使,图,4-6,这个性质的几何解释是明显的（如图,4-6,）：,若,在,上连续且非负，在,内至少存在一点,，使得以,为底，高为,的矩形面积等于以,为底边，曲线,为曲边的曲边梯形的面积,.,返回,4.2,直接积分法,4.2.1,原函数的定义,如果,在,上连续，则必存在,，使得,.,我们称,为,在,上的一个,原函数,.,例如：,，所以,就是,的一个原函数，又比如,（,C,为常数），所以,的原函数不止一个，而是,为,的一个原函数，则,的全部原函数为,（,C,为常数），我们可以记为,日微分中值定理的推论知道，若,无穷多个,.,由拉格朗,图,4-7,上述表达式也可称为,的不定积分，其几何意义是很明显的：,表示一个曲线族,.,如图,4-7,：,平行于,轴的直线与族中每一条曲线的,，因此，曲线族,交点处的切线斜率都等于,可以由一条曲线通过平移得到,.,由导数或微分的基本公式可直接得到如下原函数的计算公式：,直接积分法的定义,4.2.2,另外，若,和,都存在原函数,和,，因为,所以,由上述,13,个基本公式结合,4-1,中的积分性质,3,或上面这个公式，,同时对被积函数进行恒等变换而进行的积分运算称为,直接积分法,.,例,1,计算,.,解,因为,所以，原式,=,，,例,2,计算,.,解,因为,所以，原式,=,例,3,计算,解,原式,=,例,4,计算,解,原式,=,例,5,计算,解,原式,=,例,6,计算,解,原式,=,返回,4.3,换元积分法,4.3.1,第一换元积分法,定理,设,.,则,例,计算下列积分：,（）,；（）,（）,；（）,.,；,上述题目都有一个共同的特征：将,写成,我们也称此种方法为,凑微分法,.,凑微分法可以进行换元也,进行换元，不换元则不必换积分上下限，而换元则必换限,.,.,可以不,常用的微分式子有以下一些（,c,为常数）：,在应用凑微分法熟练之后，可以省略,直接写出结果,这一步，,例,2,计算,解,例,3,计算,解,例,4,计算,解,例,5,计算,解,注意：,例,6,计算,解,4.3.2,第二换元积分法,定理,.,则,例,7,计算,解,令,所以,例,8,计算,解,令,所以,思考一下,，例,8,中,t,的积分区间可以取成,怎么样？,例,9,计算,解,令,所以,例,10,计算,解,令,所以,返回,4.4,分部积分法,设函数,在,上均具有连续导数，则由,或,两边积分得：,称这个公式为,分部积分公式,.,例,1,求,.,解,令,则,注意：如果令,则,此时，右式反而比左式更复杂，这真是弄巧成拙了,.,因此，,这样选取,是不合适的,.,由此可见，应用分部积分法是否有效，,是十分关键的,.,一般可根据以下两个原则选取,选择,（,1,）由,求,比较容易；,例,2,求,.,解,令,（例,1,中，,.,）,例,3,求,.,解,令,，则,例,4,求,.,解,例,5,求,.,解,令,则,例,6,求,解,令,则,例,7,求,解,令,则,对于等式右端仍令,得,即,所以,一般地,返回,4.5,广义积分法,4.5.1,无穷区间上的广义积分,图,4-8,例,1,如图,4-8,，,若求以,为曲顶、,1,，,A,为底的,单曲边梯形,的面积,S,（,A,），则为,现在若要求出由,轴所“界定”的“区域”的面积,S,，,，它已经不是通常意义的积分了,来获取面积，即,则因为区域是,（累积范围是无限的）,.,不过，我们可以这样处理：通过,S,（,A,），,令,定义,1,设函数,在,内有定义，对任意,（即,存在），称,无穷区间广义积分,，即,（简称,无穷积分,），记做,若等式右边的极限存在，则称无穷积分,收敛，,否则就称为发散,.,同样可以定义,（极限号下的积分存在）；,（两个极限号下的积分都存在,）,.,它们也称为无穷积分,.,如果等式右边的极限都存在，,则称无穷积分收敛，否则就是发散,.,图,4-9,4.5.2,无界函数的广义积分,若求以,为曲顶、,为底的单,），则为,例,4,如图,4-9,，,曲边梯形的面积,S,（,现在若要求出由,轴和,y,轴所“界定”的“区域”的面积,S,，,则因为函数,在,处没有意义，且在（,0,，,2,无界，,与例,1,类似，,它已经不是通常意义的积分了（函数是无界的）,.,不过，,我们,可以这样处理：通过,S,（,），令,来获取面积，即,定义,2,设函数,在,上有定义，,对任意,，,在,上可积，即,存在，则称,为无界函数,在,上的,广义积分，记作,若等式右边的极限存在，则称,无界函数广义积分,收敛，,否则就称为发散,.,无界函数广义积分,也称为,暇积分,，其中,a,称为暇点,.,暇点也可以是区间的右端点,b,或区间中的内部点，类似地，,可以有如下定义：,（,b,为暇点,）,为暇点）,若等式右端的极限都存在，则暇积分收敛，否则就是发散,.,返回,4.6,积分在几何上的应用,4.6.2,平面图形的面积,1,直角坐标系下平面图形的面积,x,图,4-11(a),y,O,y,=,f,2,(,x,),b,a,y,=,f,1,(,x,),x,图,4-11(b),y,O,x,=,g,1,(,y,),x,=,g,2,(,y,),d,c,通常把由上下两条曲线,与,及左右两条直线,x,a,与,x,b,与,及上下两条直线,y,c,与,y,d,所围成的平面,图形称为,X-,型图形；而由左右两条曲线,所围成的平面,图形称为,Y-,型图形,.,注意构成图形的两条,直线，,有时也可能蜕化为点,4.6.1,积分的微分法,X-,型图形的面积,.,Y-,型图形的面积,.,例,1,计算曲线,所围成的图形的面积,A,.,解,解方程组,得交点为（,0,，,0,）、（,1,，,1,）,.,由公式，所求图形的面积为,例,2,计算抛物线,y,2,2,x,与直线,y,x-4,所围成的图形的面积,A.,解,解方程组,得交点为（,2,，,-2,）、（,8,，,4,）,.,由公式，所求图形的面积为,例,3,求由曲线,和直线,及,y,轴所围成图形的面积,A.,解,在,之间，两条曲线有两个交点：,由图易知，,所求面积为,x,图,4-14,y,O,y,=sin,x,2,1,y,=cos,x,1,C,B,2,曲边以参数方程给出的平面图形的面积,例,4,求摆线一拱,与,x,轴所围图形的面积,A.,解,所围图形为,X-,图形，曲边方程为,由公式得,换元,而,所以,3.,极坐标情形,x,图,4-16,r,=,r,(,),O,d,对极坐标系中的图形,将从极角,的变化特点来考虑求面积问题,所围成的图形称为曲边扇形,.,下面利用微元法求它的面积公式,.,在极坐标系中，称由曲线,r,r,(,),及射线,.,在,上任取一微段,面积微元,d,A,表示这个角内的小曲边扇形的面积，,（等式右边表示以,）为半径、中心角为,的,，,扇形面积），所以曲边扇形的面积为,.,例,5,计算双纽线,(,a,0),所围成的图形的面积,.,解,双纽线即,因为图形关于极点对称，所以所求面积,A,是,部分面积的两倍,.,x,y,a,4.6.3,空间立体的体积,这里我们主要介绍旋转体的体积,.,把,X-,型单曲边梯形绕,x,轴旋转一周得到旋转体，其体积为,x,图,4-18(a),O,y,x,A,(,x,),f,(,x,),b,a,y=f,(,x,),类似可得把,Y-,型单曲边梯形绕,y,轴旋转一周所得旋转体的体积,的计算公式，,x,O,y,x,=,g,(,y,),d,c,图,4-18(b),例,6,连接坐标原点,O,及点,P,(,h,r,),的直线、直线,x,h,及,x,轴围成一个直角三角形,.,将它绕,x,轴旋转构成一个底,半径为,r,、高为,h,的圆锥体,.,计算这圆锥体的体积,.,解,直角三角形斜边的直线方程为,所求圆锥体的体积为,例,7,计算椭圆,绕,x,轴及,y,轴旋转而成的椭球体的体积,.,解,（,1,）绕,x,轴旋转所得的椭球体，,可以看作是由上半个椭圆,及,x,轴围成的图形绕,x,轴旋转而成的立体，,由公式得,x,y,a,b,a,b,O,图,4-20(a),（,2,）绕,y,轴旋转所得的椭球体，可以看作是由右半个椭圆,及,y,轴围成的图形绕,y,轴旋转而成的立体，,由公式得,x,O,y,a,b,a,b,图,4-20,（,b),4.6.4,平面曲线的弧长,1,直角坐标情形,设光滑曲线由直角坐标方程,y,f,(,x,)(,a,x,b,),给出,曲线长度微元,ds,的计算公式,x,O,y,a,b,x,x,+,dx,A,B,P,dy,y,=,f,(,x,),图,4-22,据微元法，得所求的弧长为,例,9,计算曲线,(,),的弧长,.,解,因为,所以由公式得所求弧长为,2,参数方程情形,设曲线由参数方程,给出,其中,在,上连续且不同时为,0,，,代入弧微分公式得对应于参数微段,t,t+dt,的弧长微元为,由微元法得，所求弧长为,例,10,计算星形线,的长度,.,解,由对称性，星形线的长度是第一象限部分长度的,4,倍,.,弧长微元为,所求弧长为,6,a,.,3,极坐标情形,设曲线由极坐标方程,r,r,(,),(,),给出,其中,在,上具有连续导数,.,由直角坐标与极坐标的关系，,曲线相当于以参数,式,给出,.,于是得对应于参数微段,弧长微元为,由微元法，得所求弧长为,返回,4.7,积分在物理上的应用,4.7.1,变力做功,取物体运动路径为,x,轴，位移量为,x,，则，力为,F=F(,x,).,现物体从点,x=a,移动到点,x=b,，,求力,F,对物体所做功,W,的做法如下：,在区间,a,b,上任取一微段,x,x+dx,，力,F,在此微段上做功微元为,d,W.,假设在微段,x,x+dx,上,F(,x,),看成不变，,则，功的微元为,d,W=F(,x,),dx,.,由微元法得到,例,1,半径为,1,米的半球形水池（如图），池中充满,了水，把池内水全部抽完需做多少功？,解,把水看作是一层一层地抽出来的,.,任取一个与池面距离为,x,的小薄层，,厚度为,dx,，功的微元,（把这层水抽到地面）为,所以，抽干水所做的功为,图,4-26,例,2,、弹簧在弹性限度之内，外力拉长或压缩弹簧需要克服弹力做功,.,已知弹簧每拉长,0.1m,需用,9.8N,的力，求把弹簧拉长,0.5m,时，,外力所做的功,W.,解,据虎克定律，,其中,k,为弹性系数，,由题设知,9.8=0.1k,即,k=98,，,所以,功的微元为,，,所以，外力克服弹力做的功为,4.7.2,液体的压力,平行于液体表面，深度为,h,，,上表面的面积为,S,的物体，,其上表面所承受的压力为,，,其中,为液体的密度，,为重力加速度,.,我们只就承压面与液体表面垂直的情况，,但在实际问题中，,往往会遇到物体表面,不是平行,而是呈现一定的角度的现象，,讨论液体对承压面的压力,.,承压面沿深度为,x,的水平线上,压强相同，,为,，现在在深,x,处取一高为,dx,的微条，,设其面积为,dS,微条上受液体的压力微元为,dP,，,近似认为在微条上压强相同，则,若承压面的深度从,a,到,b(ab),则承压面上受液体的总压力为,例,3,设有一竖直的水闸门，形状是等腰梯形，上底与水,长为,8m,，下底长,4m,，高为,10m.,求闸门所受水,的压力。,面平齐，,解,如图：,容易推出，水深为,xm,处水闸面的宽度为,水的密度为,，,闸门入水深度从,0m,到,10m,，,所以闸门受水的总压力为,