中职-《工程数学基础》第3章.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,3,章 导数的应用,3.1,微分中值定理,3.2,罗必塔法则,3.3,函数的单调性、极值和最值,3.4,函数图形的凹凸与拐点,3.5,曲线的曲率,3.1,微分中值定理,3.1.1,罗尔定理,定理,3.1,（罗尔理）设函数 满足下列三个条件：,（,1,）在闭区间 上连续，,（,2,）在开区间 内可导，,（,3,）在两端点处的函数值相等，即 。,则在 内至少有一点 使得函数 在该点处的导数等于零，即 。,下图是罗尔定理的几何直观表示，你能说出罗尔定理的几何意义是什么吗,?,几何意义是：在两个高度相同的点之间的一段连续曲线上，除端点外各点都有不垂直于,x,轴的切线，那么至少有一点处的切线是水平的。,注意：罗尔定理要求函数必须同时满足三个条件，否则结论不一定成立。,例,3.1,验证函数,并求出 。,解 在区间 上连续，,所以 满足罗尔定理的三个条件。,令 。所以存在 ，使得 。,由罗尔定理可知，如果函数 满足定理的三个条件，则方程,在区间 内至少有一个实根。这个结论常被用来证明某些方程的根的存在性。,例,3.2,如果方程 有正根 ，证明方程 必定在 内有根。,证明 设 ，则 在 上连续，,在 内存在，且 。所以,在 上满足罗尔定理的条件。,由罗尔定理的结论，在 内至少有一点 ，使得,，即 为方程 的根。,3.1.2,拉格朗日中值定理,定理,3.2,（拉格朗日中值定理）设函数 满足系列条件：,（,1,）在闭区间 上连续，,（,2,）在开区间 内可导，,则在 内至少有一点 ，使得,。,下图（图,3-2,）是拉格朗日值值定理的几何直观表示，你能说出朗格朗日中值定理的几何意义吗？,如果曲线 上连续，且除端点,A,B,外处处都有不垂直于,X,的切线，那么在这条曲线上（两端点除外）至少有一点,P,，使得该点的切线与线段,AB,平行。,注意：拉格朗日中值定理要求函数同时满足两个条件，否则结论不一定成立。,例,3.3,验证 在区间 上拉格朗日中值成立，并求出 。,解显然 在区间 上连续，在 内存在。,所以拉格朗日中值定理成立。令 ，即,所以 。,例,3.4,证明 时，不等式 。,证明改写欲求证的不等式为 。构造函数 ，因为,，即要证,，因为 在 上连续，在,内存在，由拉格朗日中值定理得：至少存在一点 ，使得 ，即 ，显然 ，则,，改写的欲求证的不等式成立，原不等式得证。,拉格朗日中值定理可以改写成另外的形式，如：,（,1,）,（,2,）,（,3,）,推论,3.1,如果,即在 内 是常数函数。,证明 任取 因为 ，显然 在 上连续，在 内可导。于是由拉格朗日中值定理有,又因为对于 内一切 都有 而 ，所以 ，于是 ，即 。,既然对于 内任意 都有 ，那么说明 在 内是一个常数。,推论,3.2,如果 。,证明因为 根据推论,3.1,，得,，移项即得结论。,返回,3.2,罗必塔法则,在极限的讨论中我们已经看到：若当 时，两个函数 都是无穷小或无穷大，则,求极限 时不能直接用商的极限运算法则，其结果可能存在，也可能不存在；即使存在，,其值也因式而异。因此常把两个无穷小之比或无穷大之比的极限，称为 型或 型未定式（也称,为 型或 型未定型）极限。对这类极限，一般可以用下面介绍的罗必塔法则，它的特点是在求极,限时以导数为工具。,3.2.1,型未定式,定理,3.3,（罗必塔法则,1,）设函数 满足：,（,1,）（,2,）函数 在 的某个邻域 内（点,可除外）可导，且 ，（,3,），（可以是常数，也可以,为 、），则 。,在具体使用罗必塔法则时，一般先验证定理的条件（,1,），如果是 型未定式，则可以做下去，只要最终得到结果就达到求极限的目的了。,例,3.5,求 。,解 。,例,3.6,求 。,解 。,注意：如果应用罗必塔法则后极限仍然是 型未定式，那么只要相关导,数存在，可以继续日用罗必塔法则，直至求出极限；另外，例,3.6,中,已不是未定式，不能对它使用罗必塔法则，否则要导致错误的结果。,例,3.7,求 。,解 。,3.2.2,型未定式,定理,3.3,（罗必塔法则,2,）设函数 满足：,（,1,）（,2,）函数 在 的某个邻域 内（点,可除外）可导，且 ，（,3,），（可以是常数，也可以,为 、），则 。,在具体使用罗必塔法则时，一般先验证定理的条件（,1,），如果是 型未定式，则可以做下去，只要最终得到结果就达到求极限的目的了。,例,3.8,求 。,解,例,3.9,求 。,解,例,3.10,求 。,解相继应用罗必塔法则 次，得,.,3.2.3,其他类型的未定式,对函数 在求 的极限时，除 型和 型未定式外，还有下列一些其它类型的未定式：,（,1,）型：中的一个函数的极限为,0,，另一个函数的极限为 ，求 的,极限；,（,2,）型：与 的极限都为 ，求 的极限；,（,3,）型：的极限为,1,，的极限为 ，求 的极限；,（,4,）型：与 的极限都为,0,，求 的极限；,（,5,）型：的极限为 ，的极限为,0,，求 的极限。,这些类型的未定式，可按下述方法处理：对（,1,）、（,2,）两种类型，课利用适当变换将他们化,为 型或 型未定式，再用罗必塔法则求极限；对（,3,）、（,4,）、（,5,）三种类型未定式，,直接使用 ，化为 型。,例,3.11,求 。,解 这是 型未定式，因为 ，可将其转化为 型未定式，则：,例,3.12,求 。,解 这是 型未定式，经过通分可将其转化为 型未定式，则：,例,3.13,求 。,解 这是 型未定式，通过恒等变形可将其转化为 型未定式，则：,例,3.14,验证极限 存在，但不能用罗必塔法则求出 。,证明,这是 型未定式，可以利用罗必塔法则，得,，因为 的极限不存在，,所以所给的极限无法用罗必塔法则求出。,在使用罗必塔法则时，应注意一下几点：,（,1,）每次使用罗必塔法则时，必须检验极限是否属于 或 型未定式，如果不是这两种未定式，即不能使用该法则；,（,2,）如果有可约因子或由非零极限的乘积因子，则可先约去或直接提取出，然后再使用罗必塔法则，以简化演算步骤；,（,3,）罗必塔法则与其它求极限方法（如等价小的无穷代换等）地混合使用，往往能简化运算；,（,4,）当 极限不存在时，并不能断定 不存在，此时应考虑使,用其它方法求极限。,返回,3.3,函数的单调性、极值和最值,本节我们将以导数为工具，研究函数的单调性及相关的极值、最值问题，学习如何确定函数的增减区间，如何判定极值和最值。,3.3.1,函数的单调性,定理,3.5,设函数 在闭区间 上连续，在开区间 可导，则有：,（,1,）若在 内 ，则函数 在 上单调增加；,（,2,）若在 内 ，则函数 在 上单调减少。,证明 设 是 内任意两点，不妨设 ，利用拉格朗日中值定理有,若 ，则必有 ，又因为 ，所以,即 。由于 是 内任意两点，因此 在 上单调增加。,同理可证，若 ，则函数 在 上单调减少。,有时，函数在整个考察范围上并不单调，这时，就需要把考察,范围划分为若干个单调区间。如图,3-3,所示，在考察范围,上，函数 并不单调，但可以划分 为 ，,三个区间。在 和 上 单调增加，而在 上单调,减少。,图,3-3,注意：如果函数 在 上可导，那么在单调区间的分界点处的导数为零，即,（在图,3-3,上表现为在点,A,B,处有水平切线）。一般称导数 在区间内部的零点称为函数 的,驻点。这就启发我们，对可导函数，为了确定函数的单调区间，只要求出考察范围内的驻点。同时，如果,函数在考察范围内有若干个不可导点，而函数在考察范围内由这若干个不可导点所分割的每个子区间是可,导的，由于函数在经过不可导点时也可能会改变单调性，所以 还需要找出考察范围内部的全部的不可导,点。综上所述，确定函数 的单调区间的做法为：确定函数 的考察范围,I,（除指定范围外，,一般是指函数的定义域）内部的全部驻点和不可导点；其次，用这些,驻点和不可导点将考察区间分割为,若干个子区间；最后，在每个子区间上用定理,3.5,判断函数 的单调性。为了清楚，最后一步常用,列表方式表示。,.,例,3.15,讨论函数 的单调性 。,解 确定考察范围,.,因为,此外 有不可导点为 。,划分考察区间 为,4,个子区间：。,列表确定每个子区间内导数的符号，利用定理,3.5,判断函数的单调性。,表,3-1,所以，在 和 内是单调减少的，在 和,内是单调增加的。,例,3.16,证明：当 时，。,证明 构造函数 ，则,当 时，所以 ，则 在 内单调增,加，所以 ，又 ，即 ，移项即得结论。,3.3.2,函数的极值,定义,3.1,设函数 在 内有定义，若对于任意一点 ，都有,，则称 是函数 的极大（或极小值），称为函数,的极大（或极小）值点。函数的极大、极小值统称为函数的极值，极大值、极小值点统称为函数的极值点。,定理,3.6,（极值的必要条件）设函数 在其考察范围 内是连续的，不是 的端点。若函数在 处取得极值，则 或者是函数得不可导点，或者是可导点。如果 是,的可导点。那么 必定是函数的驻点，即 。,定理,3.7,（极值的第一充分条件）设函数 在 处连续，在 内可导。当,由小到大经过 时，如果,（,1,）由正变负，那么 是 的极大值点；,（,2,）,由负变正，那么 是 的极小值点；,（,3,）不改变符号，那么 不是 的极值点。,证明 任取,在以 和 为端点的闭区间上，对函数 使用拉格朗日中,值定理，得,当 时，则 ，由已知条件 ，可得,即,当 时，则 ，由已知条件 ，可得,即,综上所述，对 附近的任意 ，都有 ，由极值的定义可知，是 的极大值点。,定理,3.8,（极值的第二充分条件）设 为函数 的驻点，在点 处有二阶导数且,，则 必定是函数 的极值点，且,（,1,）当 时，在 处取得极大值；,（,2,）当 时，在 处取得极小值；,（,3,）当 时，无法判断。,例,3.17,求函数 的极值。,解 解法,1,（,1,）函数的考察范围为 。,（,2,），得驻点为,无不可导点。,（,3,）利用定理,3.7,，判定驻点是否为函数的极值点。列表判定如,3-2,所示。,表,3-2,解法,2,：前两个步骤同解法,1.,又因为 ，则,，由定理,3.8,可知：,为极小值点，为极大值点。,例,3.18,求函数 的极值。,解,（,1,）函数的考察范围为 。,（,2,）由 ，令,得驻点为 另有不可导点为 。,（,3,）利用定理,3.7,，判定驻点或不可导点是否为函数的极值点。列表判定如表,3-3,所示。,.,3.3.3,函数的最大值与最小值,设函数 的考察范围是 ，是 上一点。若对于任意 ，都有,(,或,),，则称 为 在 上的最大（或最小）值，称 为函数 的,最大（或最小）值点。函数的最大值、最小值通称为最值，最大、最小值点通称为最值点。,例,3.19,求函数 在区间 的最大、最小值。,解因为 在区间 上连续，所以在该区间上必定存在最大、最小值。,（,1,），得驻点为 函数无不可导点；,（,2,）计算函数在驻点和两端点处的值：,（,3,）比较这些值，得函数在此区间上最大值为,68,，最大值点为,3,，最小值为,4,，最小值点为,-1,，,1.,例,3.20,要做一个容积为,V,的圆柱形水桶，问怎样设计才能使所用材料最省？,解 要使所用材料最省，就是它的表面积最小。设水桶的地面半径为,r,高为,h,则水桶的表面积为 由体积 ，得 ，所以,由问题的实际意义可知，在 时,必定存在最小值。令 有唯一驻点,，因此它一定是使,s,达到最小值的点，此时对应的高,。,因此当水桶的高和底面直径相等时，所用材料最省。,返回,3.4,函数图形的凹凸与拐点,3.4.1,曲线的凹凸性及其判别法,3.4.2,拐点及其求法,3.4.3,函数的渐近线,3.4.4,函数的分析作图法,产品销售曲线,3.4.1,曲线的凹凸性及其判别法,观察上图中曲线,。在 段，曲线上各点的切线都位于曲线的上方，在 段曲线上各点的切线都位于曲线的下方。在数学上以曲线的凹凸性来区分这种不同的现象。,定义,1,若在区间 内，曲线 的各点处的切线都位于曲线的下方，则称此曲线在 内是,凹,的，若曲线 的各点处的切线都位于曲线的上方，则称此曲线 在 内是,凸,的。,定义,1,定理,1,定理,1,（,曲线的凹凸性的判定定理）设函数,在区间 内具有二阶导数，,（,1,）,如果在区间 内,0,，则曲线在,内是凹的；,如（,2,）如果在区间 内,0,，则曲线在 内是凸的。,定理,1,例,1,判定曲线 在 内的凹凸性,。,解：,，令 ，得 ；,在 内,0,，曲线是凹的。,3.4.2,拐点及其求法,定义,2,若连续曲线 上的点 是凹的曲线弧和凸的曲线弧的分界点，则称点 是曲线的拐点。,拐点的求法,（,1),设 在考察范围 内有二阶导数，求出 ；,（,2,）求出 在 内的的零点及使 不存在的点；,（,3,）用上述各点从小到大依次将 分成若干个子区间，考察在每个子区间内的符号，若在分割点两侧 异号，则 该点是曲线的拐点，否则不是。这一步通常以列表表示。,例,2,求曲线 的凹凸区间与拐点。,解：（,1,）考察范围为函数的定义域,，；,（,2,）在 无 的零点，不存在的点为 ；,（,3,）列表（符号 表示凹的，符号 表示凸的）。,例,2,表格（表格,1,）,不存在,拐点,3.4.3,函数的渐近线,定义,3,若曲线 上的动点 沿着曲线无限地远离原点时，点 与某一固定直线 的距离趋近于零，则称直线 为曲线 的,渐近线,。,1.,水平渐近线,定义,4,设曲线的方程为 ，若当 或 时，有,（为常数），则称曲线有,水平渐近线,。,例,3,求曲线 的水平渐近线,。,解：因为 ，,所以当曲线向左右两端无限延伸时，都以 为水平渐近线。见图,3,。,2.,垂直渐近线,定义,5,设曲线的方程为 ，,若当 或当 （为常数）时，,有 或 ，则称曲线有,垂直渐近线,。,例,4,求曲线 的渐近线。,解：因为,所以当 从左、右两侧趋近于,2,时，曲,线分别向下、上无限延伸，所以 为其垂直渐近线。,又 ，所以当曲线向左右两端无限延伸时，都以 为水平渐近线。见图,4,。,图,4,3.4.4,函数的分析作图法,作函数的图象，其基本方法就是描点法。对于一些不常见的函数，因为对函数的整体性质不甚了解，取点容易盲目，这大大影响了作图的精确性。现在我们已经能利用导数来确定函数的单调区间与极值、曲线的凹凸性与拐点，还会求曲线的渐进线，这样一方面可以 取极值点、拐点等关键点作为描点的基础，减少描点的盲目性；另一方面因为对函数的变化有了整体的了解，可以结合单调性、凹凸性等，描绘较为准确的图象，这就为以分析函数为基础的描点作图法创造了条件。,函数分析作图法的步骤,（,1,）,确定函数的考察范围（若无明确的考察范围，则一般就是函数的定义域），判断函数有无奇偶性与周期性，确定作图范围；,（,2,）,求函数的一阶导数，确定函数的单调区间与极值点；,（,3,）,求 函数的二阶导数，确定函数的凹凸区间与拐点；,（,4,）,若作图范围是无界的，考察函数图象有无渐进线；,（,5,）,根据上述分析，最后以描点法作出函数图象。,其中第（,2,）、（,3,）步常常一气呵成。若关键点太少，可以适当计算一些特殊点的函数值，如曲线与坐标轴的交点等等。,例,5,描绘函数 的图象。,解：（,1,）函数的考察区间是函数的定义域 ，函数是偶函数，关于轴对称，所以只要作出在 范围内的图象，再关于轴对称，即得全部图象；,（,2,），令 得 ；,（,3,），令 ，,得 ；,列表（表格,2,）,极大值,1,拐点,（,4,）当 时，有 ，所以图象有水平渐进线 。（,5,）根据上述讨论结果，作出函数在上的图象，并利用对称性，画出全部图形。所得图象为概率曲线（图,5,）,例,6,描绘函数 的图象。,解：（,1,）函数的定义域是 ，是偶函数，所以只要作出在 范围内的图象；,（,2,），令 ，得 ，无不可导点；,（,3,），无零点，也无二阶导数不存在的点；,列表（表格,3,）,极大值,0,（,4,），所以 是水平渐进线；,，图象有垂直渐进线,且在,的左、右两侧分别向下、上无限延；,（,5,）因为关键点太少故加取特殊点,，,再根据上述讨论结果描绘出函数的图形（图,6,）,返回,