《复变函数与积分变换》复习(研究生)2013.doc

《复变函数与积分变换》研究生复习
计算题部分
一、 填空题
1. 若，，则材=（P14，两个复数的商等于它们的模的商；两个复数的商的辐角等于被除数和除数的辐角之差）
2. 复数的指数形式是，幅角主值= 。（P46）
3. 复数= ，= （计算过程可见第三题）。（P46）
4. 设 解析，则， == 。（P41，柯西。黎曼方程）
5. 设C为自原点到的直线段，则积分=（用牛顿-莱布尼兹公式）。
6. 级数是 条件收敛 （填发散、条件收敛或绝对收敛）。
7. =。（请分别用柯西积分公式或留数定理计算）
8. 设.，则 是可去奇点（选：可去奇点、极点或本性奇点），
= 0 。
9. 函数的奇点是（都是一级极点）
10. 是 的 本性奇点 （选：可去奇点、极点或本性奇点），= 1 。
11. 函数的幂级数展开式是。
12. 拉普拉斯变换的定义是。
13. 若, 则 。
二、 计算
1. 说明函数在一点连续、可导、解析的关系。
讨论的连续、可导、解析性。
答：函数在一点连续、可导、解析的关系是：解析可导连续，反之不成立。
对，设，则，即 。
由于都是连续函数，故在复平面上处处连续。由于。显然可微，但只在处满足柯西-黎曼方程。因此只在处可导，但在复平面上处处不解析。
2. 分别求 和 的模、幅角、实部、虚部。
解：
所以模为 ，幅角4 + 2 k (主值为4 -)，实部、虚部。

所以模为 ，幅角 + 2 k (主值为 )，实部 、虚部 。
3. 求,
解：

。其中k = 0时可得相应主值。
4. 验证 是调和函数，并求，使函数
为解析函数。
解：，因此u是调和函数。
下面用偏积分法求v：由，得到；
再由，得，，
所以当时，为解析函数。
三、 求下列积分
1. ，其中C是从0到的直线段。
解：由于z e z 是解析函数，用分部积分法可得
2. 其中C是从0到的直线段
解：由于被积函数不解析，本题只能沿曲线来计算积分。直线段的参数方程为 z =(2 + i)t ( t从0到1),d z =(2 + i)d t。所以得到

3. 设，求（6分）
解：所以

进而得
4. 求积分,为不通过的闭曲线.
解：当a不在C内时，由柯西-古萨基本定理，得
当a在C内时，由高阶导数公式，得
。

5.
解：的一级极点有z = 0.5+k，其中在C内。且由法则Ⅲ可求得在各极点处的留数为。故由留数定理得
同理；
四. 函数的展开式
1. 求在内的罗朗展开。
2. 在内的罗朗展开。
3. 将函数 展成 z 的罗朗级数，并指出收敛范围。
解：1. 对，因为在内有
，故在 内有

2. 对，在内时

3.

四、 积分变换部分
1. 求拉氏变换，，。
解：

2. 求下列函数的拉氏逆变换
,
解:

证明题部分
1. 应用棣莫弗公式证明
2. 证明：如果函数在区域D内解析，且在D内是一个常数，
那么是常数。
3. 证明
4. 证明如果级数在它的收敛圆的圆周上一点处绝对收敛，则它在收敛圆
所围成的闭区域上绝对收敛。

综合题部分
1. 写出指数函数，对数函数，幂函数，正弦函数，余弦函数的表达式，并指出它们的特性，例如，解析性（导数是什么），周期性，是否有界等。
2. 设函数在处分别有m级及n级零点,试问在处具有什么性质(解析？零点？可去奇点？极点？本性奇点？), 并根据m, n的不同情况求出它们的留数(其中m,n为非负整数)
3. 描述什么是洛朗级数与泰勒级数，并说出它们的区别与关系是什么。（请就知道的尽量回答完整）
4. 试说明柯西定理，柯西积分公式，高阶导数公式是留数定理的特殊情况。
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