线性规划中的参数问题.doc

高一预科班培优资料 编写：颜家其 审核：数学教研组 2015年4月10日

线性规划中的参数问题

典例解析
例1. (2006年重庆卷文16)已知变量，满足约束条件.若目标函数（其中）仅在点处取得最大值，则的取值范围为 .

变式1：(2006年湖北卷理9)已知平面区域由以为顶点的三角形内部以及边界
组成.若在区域上有无穷多个点可使目标函数取得最小值，则( )
A．－2 B．－1 C．1 D．4

变式2：（2013年浙江卷理13）设，其中实数满足，若的最大值为12，
则实数________.

变式3： (2008年安徽卷理15)若为不等式组表示的平面区域，则当从－2连续变化到1
时，动直线 扫过中的那部分区域的面积为 .

变式4：(2009年安徽卷理7)若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等
的两部分，则的值是( )
A. B. C. D.

变式5：(2009年山东卷理12)设满足约束条件若目标函数
的最大值为12，则的最小值为( )

A. B. C. D.4

变式6：（2014年福建卷文11）已知圆，设平面区域，
若圆心,且圆与轴相切，则的最大值为（ ）
A.5 B.29 C.37 D.49

例2。(2008年陕西卷理10)已知实数满足,如果目标函数的最小值为，
则实数等于（ ）
A．7 B．5 C．4 D．3

变式1：（2012年福建卷文10）若直线上存在点满足约束条件，则实数
的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．2

变式2：(2009年福建卷文9)在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）所表示的
平面区域内的面积等于2，则的值为( )
A. -5 B. 1 C. 2 D. 3
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

变式3：（2007年浙江卷理17）设为实数，若，
则的取值范围是 ．

变式4：(2006年广东卷理9)在约束条件下，当时，目标函数的最大
值的变化范围是( )
A. B. C. D.

例3.（2014年全国1卷文11）设，满足约束条件且的最小值为7，
则（ ）
A.-5 B.3 C.-5或3 D.5或-3

变式：(2011年湖南卷理7)设，在约束条件下，目标函数的最大值小于2，
则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．

巩固练习
班级 姓名 等级
1. (2008年山东卷理12)设二元一次不等式组所表示的平面区域为，使函数
的图象过区域的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2. (2009年陕西卷理11)若满足约束条件，目标函数仅在点（1，0）处取
得最小值，则的取值范围是( )w.w.w.k.s.5.u.c.o.m w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
A.（，2 ） B.（，2 ） C. D.
3. (2014年安徽卷理5)满足约束条件，若取得最大值的最优解不唯一，
则实数的值为（ ）
A. B. C.2或1 D.
4. （2014年山东卷文10） 已知满足约束条件，当目标函数
在该约束条件下取到最小值时，的最小值为（ ）
A.5 B.4 C. D.2
5.（2007年北京卷理6）若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围
是（　　）
A． B． C． D．或
6. (2010年浙江卷理7)若实数，满足不等式组且的最大值为9，
则实数（ ）
A. B. C.1 D.2
7. (2013年北京卷理8)设关于的不等式组表示的平面区域内存在点，
满足，求得的取值范围是( )
A. B. C. D.
线性规划中的参数问题

典例解析
例1. (2006年重庆卷文16)已知变量，满足约束条件.若目标函数（其中）仅在点处取得最大值，则的取值范围为 .
解：画出可行域如图所示，其中B（3，0），
C（1，1），D（0，1），若目标函数取
得最大值，必在B，C，D三点处取得，故有
3a>a＋1且3a>1，解得a>

变式1：(2006年湖北卷理9)已知平面区域由以为顶点的三角形内部以及边界
组成.若在区域上有无穷多个点可使目标函数取得最小值，则( )
A．－2 B．－1 C．1 D．4
解：依题意，令z＝0，可得直线x＋my＝0的斜率为－，结合可行域可知当直线x＋my＝0与直线AC平行时，线段AC上的任意一点都可使目标函数z＝x＋my取得最小值，而直线AC的斜率为－1，所以m＝1，选C
变式2：（2013年浙江卷理13）设，其中实数满足，若的最大值为12，
则实数________.

变式3： (2008年安徽卷理15)若为不等式组表示的平面区域，则当从－2连续变化到1
时，动直线 扫过中的那部分区域的面积为 .

解：如图知是斜边为3 的等腰直角三角形，是直角边为1等腰直角三角形，区域的面积
变式4：(2009年安徽卷理7)若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等
的两部分，则的值是( )
A. B. C. D.
[解析]：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分△ABC
由得A（1，1），又B（0，4），C（0，）
∴△ABC=，设与的
交点为D，则由知，∴
∴选A.
变式5：(2009年山东卷理12)设满足约束条件若目标函数
的最大值为12，则的最小值为( )

A. B. C. D.4
【解析】:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax+by= z（a>0，b>0）
过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4,6）时,
目标函数z=ax+by（a>0，b>0）取得最大12,
即4a+6b=12,即2a+3b=6, 而=,故选A.
答案:A w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
【命题立意】:本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题.要求能准确地画出不等式表示的平面区域,并且能够求得目标函数的最值,对于形如已知2a+3b=6,求的最小值常用乘积进而用基本不等式解答.
变式6：（2014年福建卷文11）已知圆，设平面区域，
若圆心,且圆与轴相切，则的最大值为（ ）
A.5 B.29 C.37 D.49

考点：线性规划.

例2、(2008年陕西卷理10)已知实数满足,如果目标函数的最小值为，
则实数等于（ ）
A．7 B．5 C．4 D．3
解：画出满足的可行域，可得直线与直线的交点使目标函数取得最小值，故 ，解得，
代入 得
变式1：（2012年福建卷文10）若直线上存在点满足约束条件，则实数
的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．2
考点：线性规划.
难度：中.
分析：本题考查的知识点为含参的线性规划，需要画出可行域的图形，含参的直线要能画出大致图像.
解答：可行域如下：

所以，若直线上存在点满足约束条件，
则，即.

变式2：(2009年福建卷文9)在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）所表示的
平面区域内的面积等于2，则的值为( )
A. -5 B. 1 C. 2 D. 3
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
解析解析 如图可得黄色即为满足的直线恒过（0，1），故看作直线绕点（0，1）旋转，当a=-5时，则可行域不是一个封闭区域，当a=1时，面积是1；a=2时，面积是；当a=3时，面积恰好为2，故选D.

变式3：（2007年浙江卷理17）设为实数，若，
则的取值范围是 ．
【答案】：
【分析】：作图易知,设若不成立;
故当且斜率大于等于时方成立.

变式4：(2006年广东卷理9)在约束条件下，当时，目标函数的最大
值的变化范围是( )
A. B. C. D.
解：由
交点为，
（1） 当时可行域是四边形OABC，此时，
（2） 当时可行域是△OA此时，
故选D.

例3.（2014年全国1卷文11）设，满足约束条件且的最小值为7，
则（ ）
A.-5 B.3 C.-5或3 D.5或-3

变式：(2011年湖南卷理7)设，在约束条件下，目标函数的最大值小于2，
则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
答案：A
解析：画出可行域，可知在点取最大值，由解得.

巩固练习
班级 姓名 等级
1.(2013年大纲卷理15)记不等式组所表示的平面区域为，若直线与公
共点，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】作出题中不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.
∵直线过定点C（-1,0），由图并结合题意可知，
∴要使直线与平面区域D有公共点，则.
【学科网考点定位】线性规划
2． (2008年山东卷理12)设二元一次不等式组所表示的平面区域为，使函数
的图象过区域的的取值范围是（ ）
A． B． C．D．
解：区域是三条直线相交构成的三角形（如图）
显然，只需研究过、两种情形， 且即

3. (2009年陕西卷理11)若满足约束条件，目标函数仅在点（1，0）处取
得最小值，则的取值范围是( )w.w.w.k.s.5.u.c.o.m w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
A.（，2 ） B.（，2 ） C. D.
答案：B
解析：根据图像判断，目标函数需要和，平行，
由图像知函数a的取值范围是（，2 ）

4. (2014年安徽卷理5)满足约束条件，若取得最大值的最优解不唯一，
则实数的值为（ ）
A. B. C.2或1 D.

5. （2014年山东卷文10） 已知满足约束条件，当目标函数
在该约束条件下取到最小值时，的最小值为（ ）
A.5 B.4 C. D.2
【答案】
【解析】画出可行域（如图所示），由于，所以，经过直线与直线

6.（2007年北京卷理6）若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围
是（　　）
A． B． C． D．或
解析：不等式组，将前三个不等式画出可行域，三个顶点分别为(0，0)，(1，0)，(，)，第四个不等式，表示的是斜率为－1的直线的下方，∴ 当0<a≤1时，表示的平面区域是一个三角形，当a≥时，表示的平面区域也是一个三角形，选D。

7. (2010年浙江卷理7)若实数，满足不等式组且的最大值为9，
则实数（ ）
A. B. C.1 D.2
解析：将最大值转化为y轴上的截距，将m等价为斜率的倒数，数形结合可知答案选C，本题主要考察了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题
8.（2012年福建卷理9）若直线上存在点满足约束条件，则实数的
最大值为（ ）
A． B．1 C． D．2
考点：线性规划.
难度：中.
分析：本题考查的知识点为含参的线性规划，需要画出可行域的图形，含参的直线要能画出大致图像.
解答：可行域如下：
所以，若直线上存在点满足约束条件，
则，即.

9. (2013年北京卷理8)设关于的不等式组表示的平面区域内存在点，
满足，求得的取值范围是( )
A. B. C. D.

7.（2012年福建卷理9）若直线上存在点满足约束条件，则实数的
最大值为（ ）
A． B．1 C． D．2

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