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线线垂直、线面垂直、面面垂直部分习及答案
1．在四面体ABCD中，△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形．
(第1题)
(1)求证：BC⊥AD；
2如图，在三棱锥S—ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC．
（1）求证：AB⊥BC；
3.如图，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，PA⊥底面ABCD，E为AB的中点，且PA=AB．
（1）求证：平面PCE⊥平面PCD；（2）求点A到平面PCE的距离．
4. 如图2-4-2所示，三棱锥S—ABC中，SB=AB，SC=AC，作AD⊥BC于D，SH⊥AD于H， 求证：SH⊥平面ABC.
5. 如图所示，已知Rt△ABC所在平面外一点S，且SA=SB=SC，点D为斜边AC的中点.
(1)求证：SD⊥平面ABC；
(2)若AB=BC，求证：BD⊥平面SAC.
6. 证明：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1D
7. 如图所示，直三棱柱中，∠ACB=90°，AC=1，，侧棱，侧面的两条对角线交点为D，的中点为M.
求证：CD⊥平面BDM.
8.在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，
作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD．
9. 如图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC⊥平面BSC．
10.如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点，连结ED，EC，EB和DB．
(1)求证：平面EDB⊥平面EBC；
(2)求二面角E－DB－C的正切值.
11：已知直线PA垂直于圆O所在的平面，A为垂足，AB为圆O的直径，C是圆周上异于A、B的一点。求证：平面PAC^平面PBC。
12.. 如图1-10-3所示，过点S引三条不共面的直线，使∠BSC=90°，∠ASB=∠ASC=60°，若截取SA=SB=SC.
求证：平面ABC⊥平面BSC
13. 如图1-10-5所示，在四面体ABCD中，BD= a, AB=AD=BC=CD=AC=a.求证：平面ABD⊥平面BCD.
14.如图所示，△ABC为正三角形，CE⊥平面ABC，BD∥CE，且CE=AC=2BD，M是AE的中点，求证：(1)DE=DA；(2)平面BDM⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA．
15.如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点．
(1)求证：MN∥平面PAD；(2)求证：MN⊥CD；(3)若∠PDA=45°，求证：MN⊥平面PCD．
16. 如图1，在正方体中，为 的中点，AC交BD于点O，求证：平面MBD
答案与提示：
1. 证明：(1)取BC中点O，连结AO，DO．
∵△ABC，△BCD都是边长为4的正三角形，
∴AO⊥BC，DO⊥BC，且AO∩DO＝O，
∴BC⊥平面AOD．又AD平面AOD，
∴BC⊥AD．
2. 【证明】作AH⊥SB于H，∵平面SAB⊥平面SBC．平面SAB∩平面SBC=SB，∴AH⊥平面SBC，
又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC，而SA在平面SBC上的射影为SB，∴BC⊥SB，又SA∩SB=S，
∴BC⊥平面SAB．∴BC⊥AB．
3. 【证明】PA⊥平面ABCD，AD是PD在底面上的射影，
又∵四边形ABCD为矩形，∴CD⊥AD，∴CD⊥PD，∵AD∩PD=D∴CD⊥面PAD，∴∠PDA为二面角P—CD—B的平面角，
∵PA=PB=AD，PA⊥AD∴∠PDA=45°，取Rt△PAD斜边PD的中点F，则AF⊥PD，∵AF 面PAD ∴CD⊥AF，
又PD∩CD=D∴AF⊥平面PCD，取PC的中点G，连GF、AG、EG，则GF CD又AE CD，
∴GF AE∴四边形AGEF为平行四边形∴AF∥EG，∴EG⊥平面PDC又EG 平面PEC，
∴平面PEC⊥平面PCD．
（2）【解】由（1）知AF∥平面PEC，平面PCD⊥平面PEC，过F作FH⊥PC于H，则FH⊥平面PEC
∴FH为F到平面PEC的距离，即为A到平面PEC的距离．在△PFH与 △PCD中，∠P为公共角，
而∠FHP=∠CDP=90°，∴△PFH∽△PCD．∴，设AD=2，∴PF=，PC=，
∴FH=∴A到平面PEC的距离为．
4. 【证明】取SA的中点E， 连接EC，EB.
∵SB=AB,SC=AC,
∴SA⊥BE,SA⊥CE.
又∵CE∩BE=E,
∴SA⊥平面BCE.∵BC平面BCE
5. 证明：(1)因为SA=SC，D为AC的中点，
所以SD⊥AC.
连接BD. 在Rt△ABC中，有AD=DC=DB，
所以△SDB≌△SDA， 所以∠SDB=∠SDA， 所以SD⊥BD.
又AC∩BD=D， 所以SD⊥平面ABC.
(2)因为AB=BC，D是AC的中点， 所以BD⊥AC.
又由(1)知SD⊥BD， 所以BD垂直于平面SAC内的两条相交直线，
所以BD⊥平面SAC.
6.
证明：连结AC
AC为A1C在平面AC上的射影
7. 证明：如右图，连接、、，则.
∵ ，∴为等腰三角形.
又知D为其底边的中点， ∴ .
∵ ，， ∴ .
又，∴ . ∵ 为直角三角形，D为的中点， ∴ ，.
又，， ∴ .
.即CD⊥DM.
∵ 、为平面BDM内两条相交直线， ∴ CD⊥平面BDM.
8.证明：取AB的中点Ｆ，连结CF，DF．
∵，∴．
∵，∴．
又，∴平面CDF．
∵平面CDF，∴．
又，，
∴平面ABE，．
∵，，，
∴ 平面BCD．
9.证明：如图，已知PA=PB=PC=a，
由∠APB=∠APC=60°，△PAC，△PAB为正三角形，
则有：PA=PB=PC=AB=AC=a，
取BC中点为E
直角△BPC中，， ，
由AB=AC，AE⊥BC，
直角△ABE中，，，，
在△PEA中，，，
∴ ，
平面ABC⊥平面BPC
.
10. 证明：(1)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点．∴△DD1E为等腰直角三角形，∠D1ED＝45°．同理∠C1EC＝45°．∴，即DE⊥EC．
在长方体ABCD－中，BC⊥平面，又DE平面，
∴BC⊥DE．又，∴DE⊥平面EBC．∵平面DEB过DE，∴平面DEB⊥平面EBC．
(2)解：如图，过E在平面中作EO⊥DC于O．在长方体ABCD－中，∵面ABCD⊥面，∴EO⊥面ABCD．过O在平面DBC中作OF⊥DB于F，连结EF，∴EF⊥BD．∠EFO为二面角E－DB－C的平面角．利用平面几何知识可得OF＝， (第10题)
又OE＝1，所以，tanEFO＝．
11.（1）【证明】∵C是AB为直径的圆O的圆周上一点，AB是圆O的直径
∴BC⊥AC；
又PA⊥平面ABC，BC平面ABC，
∴BC⊥PA，从而BC⊥平面PAC．
∵BC 平面PBC，
∴平面PAC⊥平面PBC．
.
12. 证明：如图1-10-4所示,取BC的中点D，连接AD，SD.
由题意知△ASB与△ASC是等边三角形，则AB=AC，
∴AD⊥BC,SD⊥BC.
令SA=a,在△SBC中，SD= a,
又AD= = a,
∴AD2+SD2=SA2,即AD⊥SD.
又∵AD⊥BC，∴AD⊥平面SBC.
∵AD平面ABC，
∴平面ABC⊥平面SBC.
13. 证明：取BD的中点E，连接AE，CE.则AE⊥BD,BD⊥CE.
在△ABD中，AB=a,BE= BD= ,
∴AE= ,同理,CE= .
在△AEC中，AE=EC= ,AC=a,
∴AC2=AE2+EC2，即AE⊥EC.
∵BD∩EC=E,∴AE⊥平面BCD.
又∵AE平面ABD，
∴平面ABD⊥平面BCD
14. 证明： ((1)取EC的中点F，连接DF．
∵ CE⊥平面ABC，
∴ CE⊥BC．易知DF∥BC，CE⊥DF．
∵ BD∥CE，∴ BD⊥平面ABC．
在Rt△EFD和Rt△DBA中，
∵ ，，
∴ Rt△EFD≌Rt△DBA．故DE=AD．
(2)取AC的中点N，连接MN、BN，MNCF．
∵ BDCF，∴ MNBD．N平面BDM．
∵ EC⊥平面ABC，∴ EC⊥BN．
又∵ AC⊥BN，∴ BN⊥平面ECA．
又∵ BN平面MNBD，∴ 平面BDM⊥平面ECA．
(3)∵ DM∥BN，BN⊥平面ECA，∴ DM⊥平面ECA．
又∵ DM平面DEA，
∴ 平面DEA⊥平面ECA．
15. 证明：(1)取PD的中点E，连接AE、EN，
则，
故AMNE为平行四边形，∴ MN∥AE．
∵ AE平面PAD，MN平面PAD，
∴ MN∥平面PAD．
(2)要证MN⊥CD，可证MN⊥AB．
由(1)知，需证AE⊥AB．
∵ PA⊥平面ABCD，
∴ PA⊥AB．又AD⊥AB，
∴ AB⊥平面PAD．
∴ AB⊥AE．即AB⊥MN．
又CD∥AB，∴ MN⊥CD．
(3)由(2)知，MN⊥CD，即AE⊥CD，再证AE⊥PD即可．
∵ PA⊥平面ABCD，∴ PA⊥AD．
又∠PDA=45°，E为PD的中点．
∴ AE⊥PD，即MN⊥PD．
又MN⊥CD，
∴ MN⊥平面PCD．
16.证明：连结MO，，∵DB⊥，DB⊥AC，，
∴DB⊥平面，而平面 ∴DB⊥．
设正方体棱长为，则，．
在Rt△中，．∵，∴． ∵OM∩DB=O，∴ ⊥平面MBD．
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