与圆有关的阴影面积的计算.doc

属于我们自己的中考
辅导材料:与圆有关的阴影面积的计算

准备阶段:
1.圆的面积公式: .其中为圆的半径.
2.半圆的面积公式: .
3.扇形的面积公式: .其中为扇形的半径,为扇形的半径.
4.扇形的面积公式（另）: .其中为扇形的半径,为扇形的弧长.
证明: ∵,
∴.
5.关于旋转:
（1）复习旋转的性质.
（2）会画出一个图形旋转后的图形.
（3）旋转的作用: 通过旋转,有时候我们可以把分散的几何条件集中起来,使题目呈现出整体上的特点.
该作用也常用于与圆有关的阴影面积的计算.
6.重点介绍: 转化思想
在解决数学问题时,把复杂问题简单化,把一般问题特殊化,把抽象问题具体化等的思想方法,叫做转化思想.
7.怎样求与圆有关的阴影的面积?
（1）利用圆、半圆以及扇形的面积计算公式.
（2）利用整体与部分之间的关系.
（3）采用整体思想 求不规则图形的面积,一般将其转化为规则图形的和差来解决,具体可以通过平移、旋转或割补的形式进行转化.

九年级数学习题 第11页
实战阶段:
★1.（2015.河南）如图（1）所示,在扇形AOB中,∠AOB=90°,点C为OA的中点,CE⊥OA交弧AB于点E.以点O为圆心,OC的长为半径作弧CD交OB于点D.若OA=2,则阴影部分的面积为__________.

解析: 图（1）中阴影所在图形为不规则图形,可以利用整体与部分之间的关系的方法求解,即采用整体和差的方法.
解:连结OE.
∴OA=OB=OE
∵CE⊥OA
∴△COE为直角三角形
∵点C为OA的中点
∴
∴在Rt△COE中, ∠CEO=30°
∴∠EOC=60°
∵∠AOB=90°
∴∠BOE=30°
在Rt△COE中,由勾股定理得:

★2.（2015.贵州遵义）如图（2）所示,在圆心角为90°的扇形OAB中,半径OA=2 cm,C为弧AB的中点,D、E分别是OA、OB的中点,则图中阴影部分的面积是__________.

解:连结OC,并作CM⊥OA于点M.
∵点C为弧AB的中点, ∠AOB=90°
∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=45°
∴△COM为等腰直角三角形
∴OM=CM
∵OC=2cm
∴CM=OCcm
∵D、E分别是OA、OB的中点
∴OD=OE=1 cm
∴DM=OM－OD=cm

cm2.
注意: 若题目对结果无特殊要求,则结果保留,不取具体值.
★3.(2015.开封二模)如图（3）所示,在△ABC中,CA=CB,∠ACB=90°,AB=2.点D为AB的中点,以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF,点C恰好在弧EF上,则图中阴影部分的面积为_____
__________.
解析: 本题问题的解决要用到三角形全等的知识,请复习:
（1）三角形全等的判定定理有哪些?
（2）全等三角形具有怎样的性质?
对于第二个问题,全等三角形的面积相等,我们可以借助该性质将三角形的面积等量转化.

解:连结CD.设DE与AC交于点M,DF与BC交于点N.

∵∠ACB=90°
∴∠CDE＋∠1=90°
∵CA=CB,点D为AB的中点
∴CD⊥AB（等腰三角形“三线合一”）
∴∠CDE＋∠2=90°
∴∠1=∠2
∴∠DCN=ACB=45°
∴∠DAM=∠DCN
∵∠ACB=90°
∴
∴DE=CD=1
在△ADM和△CDN中
∵
∴△ADM≌△CDN(ASA)
∴S△ADM=S△CDN
∵S四边形DMCN=S△CDM+S△DCN
S△ACD=S△CDM+S△ADM
∴S四边形DMCN= S△ACD
∴

在求扇形的面积时确定圆心角的度数很重要
大多数扇形的圆心角题目会直接给出,但有时却需要我们自己求解.见第★5题.
★4.（2015.洛阳一模）如图（4）所示,在扇形OAB中,∠AOB=90°,半径OA=6.将扇形AOB沿过点B的直线折叠.点O恰好落在弧AB上点D处,折痕交OA于点C,则图中阴影部分的面积为__________.

解析: 本题,,题目所给条件不难求出扇形OAB的面积,但△BOC的面积不易求得.如果连结OD,那么OB=OD,再根据对折,得OB=BD,从而OB=OD=BD,即△BOD为等边三角形.至此,问题便很容易解决.
解: 连结OD.

∴OB=OD
∵△BOC≌△BDC（由翻折可得）
∴OB=BD,∠OBC=∠DBC
∴OB=OD=BD
∴△BOD为等边三角形
∴∠OBD=60°
∴∠OBC=∠DBC=30°
在Rt△BOC中,∵∠OBC=30°
∴
∴
∴OC=
∴

★5.（2015.焦作一模）如图（5）所示,在矩形ABCD中,AB=,AD=1,把该矩形绕点A顺时针旋转得到矩形AB′C′D′,点C′落在AB的延长线上,则图中阴影部分的面积是__________.

解: 在Rt△ABC中,由勾股定理得:

∴AC=2BC
∴∠BAC=30°
由旋转的性质得:=∠BAB′=30°
∴

★6.（2014.河南）如图,在菱形ABCD中,AB=1,∠DAB=60°.把菱形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到菱形AB′C′D′,其中点C的运动路径为弧CC′,则图中阴影部分的面积为__________.

解: 由题意可知:A、D′、C三点共线,A、B、C′三点共线,如图所示,设BC与C′D′相交于点E.

容易得知:∠BED′=∠CEE′=90°.
设D′E=,则BE=,CD′=（为什么?）
∴CE=
在Rt△D′CE中,由勾股定理得:

解之得:（舍去）
∴D′ECE=
由菱形的性质并结合勾股定理不难求得:AC=
∴

★7.（2015.新乡一模）如图（7）所示,在Rt△AOB中,∠AOB=30°,∠A=90°,
AB=1,将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°得到Rt△COD,则在旋转过程中线段AB扫过的面积为__________.
解析: 本题中阴影部分是由相关图形的旋转形成的,阴影部分的面积与两个扇形的面积之间的关系为:

解: 在Rt△AOB中,∵∠AOB=30°
∴OB=2AB=2
由勾股定理得:

∴

★8.（2014.许昌一模）如图（8）所示,在平面直角坐标系中,已知⊙D经过原点O,与轴、轴分别交于A、B两点,B点的坐标为,OC与⊙D相交于点C,∠OCA=30°,则图中阴影部分的面积为__________.
解析: 本题将圆的知识点与平面直角坐标系相结合,使得问题的解决更加灵活.实际上,平面直角坐标系是研究几何或解析几何的有力工具.

解: 连结AB.

∵∠AOB=90°
∴AB是⊙D的直径
∵∠OCA=30°
∴∠OBA=30°
∵B
∴OB=
设OA=,则AB=
在Rt△AOB中,由勾股定理得:

解之得:（舍去）
∴OA=2, AB=4
∴
∴

在求扇形的面积时确定扇形的半径很重要
★9.如图（9）所示,在扇形OAB中,
∠AOB=60°,扇形半径为4,点C在弧AB上,CD⊥OA,垂足为点D,当△OCD的面积最大时,图中阴影部分的面积为__________.

解析: 本题涉及到三角形面积最大的问题.当直角△COD满足什么条件时,其面积最大,弄清楚这个问题是解决本题问题的关键.
解: 在Rt△COD中,由勾股定理得:

∵
∴
∴
显然,当OD=CD时,取=号,此时△COD是等腰直角三角形,其面积最大,最大值为
∴COD=45°
∴

★10.（2015.郑州外国语中学）如图（10）所示,在正方形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,△AOB绕点B逆时针旋转60°得到△BO′B′,AB与弧OO′相交于点E,若AD=2,则图中阴影部分的面积是__________.

解: 由题意可知:
∠ABB′=60°,∠EBO′=15°
在Rt△ABD中,由勾股定理得:

由正方形的性质得:OB=
∴
∴

▲11.（2013.湖北潜江模拟）如图（11）,在Rt△AB C中,∠C=90°,∠A=30°,
AC=6 cm, CD⊥AB于D,以C为圆心,CD为半径画弧,交BC于E,则图中阴影部分的面积为 【 】
（A）cm2
（B）cm2
（C）cm2
（D）cm2

▲12.(2013.洛阳模拟)如图所示,AB是⊙O的切线,OA=1,∠AOB=60°,则图中阴影部分的面积是 【 】

（A） （B）
（C） （D）
▲13.（2015.新乡二模）如图所示,在菱形ABCD中,∠B=60°,AB=2,扇形AEF的半径为2,圆心角为60°,则图中阴影部分的面积是__________.

▲14.（2013.郑州二模）如图所示,直径AB为6的半圆,将其绕A点旋转60°,此时点B到了点B′处,则图中阴影部分的面积是__________.

▲15.（2013.许昌一模）如图所示,在正方形ABCD中,AB=4,O为对角线BD的中点,分别以OB、OD为直径作⊙O1、⊙O2,则图中阴影部分的面积为__________（结果保留）.

▲16.（2015.自贡）如图,AB是⊙O的直径,CD⊥AB,∠CDB=30°,CD=,则阴影部分的面积为_________.

▲17.(2015.省实验中学)如图所示,在平行四边形ABCD中,AD=2, AB=4, ∠A=30°,以点A为圆心,AD的长为半径画弧交AB于点E,连结CE,则阴影部分的面积是________.（结果保留）

▲18.如图,在△ABC中,AB=BC=2,若
∠ABC=90°,则图中阴影部分的面积是__________.

▲19.如图所示,△ABC中,OA=OB=4,∠A=30°,AB与⊙O相切于点C,则图中阴影部分的面积是__________.

▲20.如图所示是两个半圆,点O为大半圆的圆心,AB是大半圆的弦且与小半圆相切,且AB=24,则图中阴影部分的面积为__________.

▲21.如图所示,半径为2 cm,圆心角为90°的扇形OAB中,分别以OA、OB为直径作半圆,则图中阴影部分的面积为__________.

▲22.如图所示,在等腰直角△ABC中,AB=AC=8,以AB为直径的半圆O交斜边BC于D,则图中阴影部分的面积为__________.

▲23.（2014.赤峰）如图所示,反比例函数的图象与原点( 0 , 0 )为圆心的圆交于A、B两点,且点A的坐标为,则图中阴影部分的面积为__________.