求阴影面积的常用方法.doc

求阴影面积的常用方法
计算平面图形的面积问题是常见题型，求平面阴影部分的面积是这类问题的难点。不规则阴影面积常常由三角形、四边形、弓形、扇形和圆、圆弧等基本图形组合而成的，在解此类问题时，要注意观察和分析图形，会分解和组合图形。现介绍几种常用的方法。
一、转化法
此法就是通过等积变换、平移、旋转、割补等方法将不规则的图形转化成面积相等的规则图形，再利用规则图形的面积公式，计算出所求的不规则图形的面积。
例1. 如图1，点C、D是以AB为直径的半圆O上的三等分点，AB=12，则图中由弦AC、AD和围成的阴影部分图形的面积为_________。
分析：连结CD、OC、OD，如图2。易证AB//CD，则的面积相等，所以图中阴影部分的面积就等于扇形OCD的面积。易得，故。
二、和差法
有一些图形结构复杂，通过观察，分析出不规则图形的面积是由哪些规则图形组合而成的，再利用这些规则图形的面积的和或差来求，从而达到化繁为简的目的。
例2. 如图3是一个商标的设计图案，AB=2BC=8，为圆，求阴影部分面积。
分析：经观察图3可以分解出以下规则图形：矩形ABCD、扇形ADE、。所以，。
三、重叠法
就是把所求阴影部分的面积问题转化为可求面积的规则图形的重叠部分的方法。这类题阴影一般是由几个图形叠加而成。要准确认清其结构，理顺图形间的大小关系。
例3. 如图4，正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内作半圆，求所围成阴影部分图形的面积。
解：因为4个半圆覆盖了正方形，而且阴影部分重叠了两次，所以阴影部分的面积等于4个半圆的面积和与正方形面积的差。故。
四、补形法
将不规则图形补成特殊图形，利用特殊图形的面积求出原不规则图形的面积。
例4. 如图5，在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，，求四边形ABCD所在阴影部分的面积。
解：延长BC、AD，交于点E，因为，所以，又，易求得，所以
。
五、拼接法
例5. 如图6，在一块长为a、宽为b的矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽都是c个单位），求阴影部分草地的面积。
解：（1）将“小路”沿着左右两个边界“剪去”；（2）将左侧的草地向右平移c个单位；（3）得到一个新的矩形（如图7）。由于新矩形的纵向宽仍然为b，水平方向的长变成了，所以草地的面积为。
六、特殊位置法
例6. 如图8，已知两个半圆中长为4的弦AB与直径CD平行，且与小半圆相切，那么图中阴影部分的面积等于__________。
分析：在大半圆中，任意移动小半圆的位置，阴影部分面积都保持不变，所以可将小半圆移动至两个半圆同圆心位置（如图9）。
解：移动小半圆至两半圆同圆心位置，如图9。设切点为H，连结OH、OB，由垂径定理，知。又AB切小半圆于点H，故，故

七、代数法
将图形按形状、大小分类，并设其面积为未知数，通过建立方程或方程组来解出阴影部分面积的方法。
例7. 如图10,正方形的边长为a,分别以两个对角顶点为圆心、以a为半径画弧,求图中阴影部分的面积。

解：设阴影部分的面积为x，剩下的两块形状、大小相同的每块面积为y，则图中正方形的面积是，而是以半径为a的圆面积的。故有，。解得。即阴影部分的面积是。
需要说明的是,在求阴影部分图形的面积问题时,要具体问题具体分析，从而选取一种合理、简捷的方法。
思考吧 如图11，正方形的边长为1，以CD为直径在正方形内画半圆，再以点C为圆心、1为半径画弧BD，则图中阴影部分的面积为___________。

例6：如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB＝BC＝CA＝4cm，则图中阴影部分的面积是 cm2。
O
B
D
A
(C)
O
D
C
A
B
O
B
C
A

例7：如图，A、B、C、D是圆周上的四点，且AB＋CD＝AD＋BC，如果弦AB的长为8，弦CD的长为4，那么图中两个弓形(阴影部分)的面积和是 。(取3)
5、环形
O
A
P
例8：如图，在两个同心圆中，P是大圆上任一点，PA切小圆于点A，设PA＝4，则图中阴影部分面积是 。

6、扇形
例9：如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，以BC的中点E为圆心的MPN与AD相切于P，则图中阴影部分的面积为( )
C
B
E
D
P
M
N
A
(A)(B) (C) (D)

二、组合图形
1、四边形与圆组合
例10：如图，四个正方形的边长都相等，其中阴影部分面积相等的图形个数是( )（A）0；（B）2；（C）3；（D）4。

2、圆与圆组合
B
A
D
C
Q
例11：如图，AB、AE分别为两个半圆的直径，弦CD∥AB，且与小圆相切，若CD＝12，则图中阴影部分的面积为 。
A
B
O
C
D
F
O
A
B
E
D
C

A（ ）
D
C
E
B
F
例12：如图，设计一个商标图案(如图阴影部分)，在矩形ABCD中，AB＝2BC，且AB＝8cm，以点为圆心，AD长为半径作半圆，则商标图案面积为 cm2.
C
B
D
E
A
O
A
B
D
C
E

4、扇形与圆组合
例13：如图，⊙O半径为2cm，直径AB垂直于直径CD，以B为圆心，BC的长为半径作CED，则CED与CAD所围成的阴影部分的面积是 ；
三、动态图形
1、翻折
例14：矩形ABCD的长、宽分别为5和3，将顶点C折过来，使它落在AB上的C/点(DE为折痕)，那么阴影部分的面积是 ；
2、旋转
例15：如图，将边长为1的正方形ABCD绕A点按逆时针方向旋转600，得正方形A/B/C/D/，则旋转前后两个正方形重叠部分的面积是 。
组合图形
1、求下列组合图形阴影部分的面积。

2、①求它的周长和面积。（单位：厘米） ②圆的周长是18.84cm，求阴影部分面积。

③长方形的面积和圆的面积相等，已知圆 ④求直角三角形中阴影部分的面积。
的半径是3cm，求阴影部分的周长和面积。 （单位：分米）

⑤下图中长方形长6cm，宽4cm，已知阴影 ⑥图中阴影①比阴影②面积小48平方厘米，
①比阴影②面积少3cm2，求EC的长。 AB=40cm，求BC的长。

⑦平行四边形的面积是30cm2， ⑧一个圆的半径是4cm，求阴影部分面积。
求阴影部分的面积。

⑨已知AB=8cm，AD=12cm，三角形ABE和三角形ADF的面积，各占长方形ABCD的1/3，求三角形AEF的面积。

⑩梯形上底8cm，下底16cm，阴影 ⑾求阴影部分面积。（单位：cm）
部分面积64cm2，求梯形面积。

⑿梯形面积是48平方厘米，阴影部分比空白 ⒀阴影部分比空白部分大6cm2，求S阴。
部分12平方厘米，求阴影部分面积。

3、求下列图形的体积。（单位：厘米）