点直线平面之间的位置关系练习题.doc

3eud教育网 百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！
第二章 《点、直线、平面之间的位置关系》
一、选择题
1． 给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平面α、β的四个命题：
①若；
②若m、l是异面直线，；
③若；
④若
其中为假命题的是
A．① B．② C．③ D．④
2.设为两两不重合的平面，为两两不重合的直线，给出下列四个命题：
①若，，则；②若，，，，则；
③若，，则；④若，，，，则其中真命题的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：
①若；
②若；
③若；
④若m、n是异面直线，。其中真命题是
A．①和② B．①和③ C．③和④ D．①和④
4．已知直线及平面，下列命题中的假命题是
A．若，，则. B．若，，则.
C．若，，则. D．若，，则.
5．在正四面体P—ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是
A．BC∥平面PDF B．DF平面PAE
C．平面PDF平面ABC D．平面PAE平面ABC
6．有如下三个命题：
①分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线；
②垂直于同一个平面的两条直线是平行直线；
③过平面的一条斜线有一个平面与平面垂直．
其中正确命题的个数为
A．0 B．1 C．2 D．3
7．下列命题中，正确的是
A．经过不同的三点有且只有一个平面
B．分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线
C．垂直于同一个平面的两条直线是平行直线
D．垂直于同一个平面的两个平面平行
8．已知直线m、n与平面，给出下列三个命题：
①若 ②若
③若
其中真命题的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
9．已知a、b、c是直线，是平面，给出下列命题：
①若；
②若；
③若；
④若a与b异面，且相交；
⑤若a与b异面，则至多有一条直线与a，b都垂直.
其中真命题的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
10．过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有
A．18对 B．24对 C．30对 D．36对
11．正方体中，、、分别是、、
的中点．那么，正方体的过、、的截面图形是
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
12．不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有
A．3个 B．4个 C．6个 D．7个
13．设为平面，为直线，则的一个充分条件是
A． B．
C． D．
14．设、 为两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，且l，m，有如下的两个命题：①若∥，则l∥m；②若l⊥m，则⊥．那么
A．①是真命题，②是假命题 B． ①是假命题，②是真命题
C． ①②都是真命题 D．①②都是假命题
15．对于不重合的两个平面与，给定下列条件：
①存在平面，使得、都垂直于；
②存在平面，使得、都平行于；
③内有不共线的三点到的距离相等；
④存在异面直线l、m，使得l//，l//，m//，m//，
其中，可以判定与平行的条件有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
1．已知平面和直线m，给出条件：①；②；③；④；⑤.
（i）当满足条件 时，有；
（ii）当满足条件 时，有（填所选条件的序号）
2．在正方形中，过对角线的一个平面交于E，交于F，则
① 四边形一定是平行四边形
② 四边形有可能是正方形
③ 四边形在底面ABCD内的投影一定是正方形
④ 四边形有可能垂直于平面
以上结论正确的为 （写出所有正确结论的编号）
3．下面是关于三棱锥的四个命题：
①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．
②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥．
③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥．
④侧棱与底面所成的角相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．
其中，真命题的编号是____________．（写出所有真命题的编号）
4．已知m、n是不同的直线，是不重合的平面，给出下列命题：
①若则
②若则
③若,则
④m、n是两条异面直线，若则
上面命题中，真命题的序号是____________(写出所有真命题的序号)
5． 已知m、n是不同的直线，是不重合的平面，给出下列命题：
① 若，则平行于平面内的任意一条直线
② 若则
③若,则
④若,则
上面命题中，真命题的序号是____________(写出所有真命题的序号)
6．连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是 （填写所有正确选项的序号）
①菱形 ②有3条边相等的四边形 ③梯形
④平行四边形 ⑤有一组对角相等的四边形

三、计算题
如图1
1． 如图1所示，在四面体P—ABC中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PB=.F是线段PB上一点，，点E在线段AB上，且EF⊥PB.
（Ⅰ）证明：PB⊥平面CEF；
（Ⅱ）求二面角B—CE—F的大小.

2. 已知正三棱锥的体积为，侧面与底面所成的二面角的大小为。
（1）证明：；
（2）求底面中心到侧面的距离.

3 如图, 在直三棱柱中， ，点为的中点
(Ⅰ)求证;
(Ⅱ) 求证;
(Ⅲ)求异面直线与所成角的余弦值

4．如图，直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.
（Ⅰ）求证AE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求二面角B—AC—E的大小；
（Ⅲ）求点D到平面ACE的距离.

5． 已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，底面ABCD，PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点
（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ）求AC与PB所成的角；
（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小

选择题、填空题答案
一、选择题
1．C 2. B 3．D 4．D 5． C 6．C 7．C 8．C
9．A 10．D 11．D 12．B 13．D 14．D 15．B
二、填空题
1．③⑤ ②⑤ 2．①③④ 3．①，④
4．③④ 5．③④ 6．②③⑤
1.[解]（I）证明：
∵
∴△PAC是以∠PAC为直角的直角三角形，同理可证
△PAB是以∠PAB为直角的直角三角形，△PCB是以∠PCB为直角的直角三角形
故PA⊥平面ABC
又∵
而
故CF⊥PB,又已知EF⊥PB
∴PB⊥平面CEF
（II）由（I）知PB⊥CE, PA⊥平面ABC
∴AB是PB在平面ABC上的射影，故AB⊥CE
在平面PAB内，过F作FF1垂直AB交AB于F1，则FF1⊥平面ABC，
EF1是EF在平面ABC上的射影，∴EF⊥EC
故∠FEB是二面角B—CE—F的平面角
二面角B—CE—F的大小为
2 [证明]（1）取边的中点，连接、，
则，，故平面.
∴ .
（2）如图， 由（1）可知平面平面，则是侧面与底面所成二面角的平面角.
过点作为垂足，则就是点到侧面的距离.
设为，由题意可知点在上，
∴ ，.
,
∴ ，
∵ ，∴ .
即底面中心到侧面的距离为3.
3 [解]（I）直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，
∴ AC⊥BC，且BC1在平面ABC内的射影为BC，∴ AC⊥BC1；
（II）设CB1与C1B的交点为E，连结DE，
∵ D是AB的中点，E是BC1的中点， ∴ DE//AC1，
∵ DE平面CDB1，AC1平面CDB1， ∴ AC1//平面CDB1；
（III）∵ DE//AC1， ∴ ∠CED为AC1与B1C所成的角，
在△CED中，ED=AC 1=，CD=AB=，CE=CB1=2，
∴ ，
∴ 异面直线 AC1与 B1C所成角的余弦值.
解法二：
∵直三棱锥底面三边长，
两两垂直
如图建立坐标系，则C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4),D(,2,0)
(Ⅰ),
(Ⅱ)设与的交点为E，则E(0,2,2)

(Ⅲ)
　　∴异面直线与所成角的余弦值为
4 [解]本题主要考查直线、直线和平面基点和平面的距离等基础知识，考察空间想象能力，逻辑思维能力和运算能力
（I）

（II）连结AC、BD交于G，连结FG，∵ABCD为正方形，∴BD⊥AC，∵BF⊥平面ACE，∴FG⊥AC，∠FGB为二面角B-AC-E的平面角，由（I）可知，AE⊥平面BCE，
∴AE⊥EB，又AE=EB，AB=2，AE=BE=，
在直角三角形BCE中，CE=
在正方形中，BG=，在直角三角形BFG中，
∴二面角B-AC-E为
（III）由（II）可知，在正方形ABCD中，BG=DG，D到平面ACB的距离等于B到平面ACE的距离，BF⊥平面ACE，线段BF的长度就是点B到平面ACE的距离，即为D到平面ACE的距离所以D到平面的距离为
另法：过点E作交AB于点O. OE=1.
∵二面角D—AB—E为直二面角，∴EO⊥平面ABCD.
设D到平面ACE的距离为h，
平面BCE，
∴点D到平面ACE的距离为
解法二：
（Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）以线段AB的中点为原点O，OE所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，过O点平行于AD的直线为z轴，建立空间直角坐标系O—xyz，如图.
面BCE，BE面BCE， ，
在的中点，

设平面AEC的一个法向量为，
则 解得
令得是平面AEC的一个法向量.
又平面BAC的一个法向量为，

∴二面角B—AC—E的大小为
（III）∵AD//z轴，AD=2，∴，
∴点D到平面ACE的距离
[解] 本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识及思维能力和空间想象能力.考查应用向量知识解决数学问题的能力
方案一：
（Ⅰ）证明：∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD，
∴由三垂线定理得：CD⊥PD.
因而，CD与面PAD内两条相交直线AD，PD都垂直，
∴CD⊥面PAD.
又CD面PCD，∴面PAD⊥面PCD.
（Ⅱ）解：过点B作BE//CA，且BE=CA， 则∠PBE是AC与PB所成的角.
连结AE，可知AC=CB=BE=AE=，又AB=2，
所以四边形ACBE为正方形. 由PA⊥面ABCD得∠PEB=90°
在Rt△PEB中BE=，PB=，

（Ⅲ）解：作AN⊥CM，垂足为N，连结BN.
在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB， ∴△AMC≌△BMC,
∴BN⊥CM，故∠ANB为所求二面角的平面角
∵CB⊥AC，由三垂线定理，得CB⊥PC，
在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM.
在等腰三角形AMC中，AN·MC=，
. ∴AB=2，

故所求的二面角为
方法二：因为PA⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为
A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，.
（Ⅰ）证明：因
又由题设知AD⊥DC，且AP与与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC⊥面PAD.
又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD
（Ⅱ）解：因

由此得AC与PB所成的角为
（Ⅲ）解：在MC上取一点N（x，y，z），则存在使

要使

为所求二面角的平面角.

1
故 即二面角E—PC—D的大小为

3eud教育网 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！