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例 11045760004 是()位数，读作()，“5”在()位上，表示()。分析：此题旨在考查整数的位数、数位、计数单位这些基础知识的掌握情况和它们之间的区别。读数时应先把多位数按四位一级分为个级、万级和亿级。读完亿级和万级要在后面加“亿”字和“万”字，每一级里数字前面或中间有几个 0 都只读一个零，每级末尾的“0”不必读出来。解十十亿四千五百七十六万零四百万位五个一百万例 2用 0、1、2、3、4 这五个数字组成五位数(每个数字不重复)，其中最大的一个数是()，最小的一个数是()。分析：要想组成的五位数最大，就应该把 04 这五个数字中最大的 4 排在最高位，3 排在次高位，以此类推。要想组成的五位数最小，就应该把最小的数字排在最高位，但是 0 不能排在最高位，所以把1 排在最高位，0 排在次高位，以此类推。解其中最大的一个数是 43210，最小的一个数是 10234。例 3甲乙两数的和是 434.3，乙数的小数点向右移动两位就等于甲数，求甲数是多少？分析：此题重在考查小数点位置移动引起小数大小的变化，以及与和倍问题的综合应用。乙数的小数点向右移动两位，就是把乙数扩大 100 倍，与甲数相等，则甲数就是乙数的 100倍，甲、乙两数的和就是乙数的(100+1)倍，所以乙数是 434.3(100+1)=4.3，甲数是 4.3100=430。解 434.3(100+1)=4.3乙数4.3100=430 或 434.34.3=430甲数例 4 一个三位小数，用“四舍五入”法精确到百分位约是 6.00，这个三位小数最大是()，最小是()。分析：此题旨在考查应用四舍五入法取近似值的能力。把一个三位小数用“四舍五入”法精确到百分位，关键是看它的千分位。此题已知近似值是 6.00，所求的最大三位小数取近似数时用的是“四舍法”，个位上是 6，十分位上和百分位上是 0，如果保证千分位上在取近似值后不向前一位进一，最大只能是 4；所求的最小三位小数取近似值时用的是“五入”法，即千分位能向前一位进一，所以千分位上最小应是 5，而近似数 6.00 是在个位、十分位、百分位上的数字组成的两位小数在得到 0.01 后形成的，所以该数的个位上应是 5，十分位上是 9，百分位上也应是 9。解 这个三位小数最大是 6.004，最小是 5.995。例 5在下面的横线上填上适当的计量单位。(1)电冰箱的高度为 140。(2)一张电脑桌的桌面约 30。(3)一块橡皮的体积约 8。(4)小明的身高 153，体重 50。(5)上一节课的时间为 40。分析本题旨在考查学生对计量单位的整体感知的把握程度。首先要根据题目中测量的要求，确定合适的计量单位(如长度单位)；另外，也可根据测量得出的数据，联系实际生活经验，选用合适的计量单位。解(1)电冰箱的高度为 140 厘米。(2)一张电脑桌的桌面约 30 平方分米。(3)一块橡皮的体积约 8 立方厘米。(4)小明的身高 153 厘米，体重 50 千克。(5)上一节课的时间为 40 分钟。例 6填空(1)23000 毫升=()升=()立方米(2)2.4 时=()时()分(3)3 千克 50 克=()千克=()克分析此题主要考查各计量单位之间的进率，单名数、复名数的概念，及名数改写的方法。(1)23000 毫升=()升=()立方米此题是三个单名数之间的改写，牢记它们之间的进率就不难得出答案了。(2)2.4 时=()时()分此题是将单名数改写成复名数。方法是把 2.4 时分成 2 时和 0.4 时两部分，再把其中的 0.4时改写成以分作单位的单名数(0.460=24)。(3)3 千克 50 克=()千克=()克此题是将复名数改写成分别以千克和克作单位的单名数。方法是把题中的复名数 3 千克 50克分为 3 千克和 50 克两部分，再把 50 克改写为千克作单位的单名数 0.05 千克(501000)，两部分合起来就是 3.05 千克。或者把 3 千克改写成以克作单位的单名数 3000 克(31000)，两部分合起来就是 3050 克。例 7甲乙两地相距 1380 千米，一列火车于下午 5 时 30 分从甲地开往乙地，平均每小时行60 千米。火车什么时间到达乙地？分析本题着重考查关于时间的推算方法。先根据两地间的路程和火车的速度，计算出所用时间，138060=23(小时)。再从下午 5 时 30 分往后推 23 小时是第二天下午 4 时 30 分。具体推算方法：因为 1 日=24 小时，先从下午 5 时 30 分开始，经过 24 小时正好是第二天下午 5 时 30 分。再往回倒退 1 小时就可算出经过 23 小时是第二天下午 4 时 30 分。把 23 小时分为两部分，从下午 5 时 30 分开始，先经过 7 小时就是第二天 0 时 30 分，再经过 16 小时是下午 4 时 30 分。解 138060=23(小时)下午 5 时 30 分再过 23 小时是第二天下午 4 时 30 分。答：火车第二天下午 4 时 30 分到达乙地。例 8先仔细阅读下面材料，然后做出合理分析。深圳一家公司贴出了招工广告：本公司因工作需要招聘男员工 20 名，年龄在 40 岁以下，高中以上文凭。本公司员工月平均工资不低于 1000 元。一位受聘者第一个月工资只领取了 800元，他走上法庭，状告该公司经理不兑现承诺，没履行合同。这位员工的官司能不能打赢？请从数学角度加以分析。分析此题时代性强，要求我们熟悉社会生活中的基本生活和工作情境，并善于运用数学观念去分析、解决实际问题。解所谓“月平均工资不低于 1000 元”，是说一年的总工资平均分成 12 份，每份的工资不低于 1000 元，并不是指每月的工资都要真正高于 1000 元。第一个月的工资领到 800 元，只要以后的工资高一些，一年的月平均工资仍可以达到 1000 元。因此，这位员工的官司打不赢。例 9幼儿园小班的 20 个小朋友和大班的 30 个小朋友一起分饼干，小班的小朋友每人分 10块，大班的小朋友每人比大、小班小朋友的平均数多 2 块。求一共分掉多少块饼干？分析要求共分掉多少块饼干，只要知道大、小班小朋友分得的平均数，再乘以总人数30+20=50(人)就可以了。因为大班的小朋友每人比大、小班小朋友的平均数多 2 块，30 个小朋友一共多：230=60(块)，说明小班的 20 个小朋友只要添上这 60 块饼干就可以达到大、小班小朋友的平均数。小班小朋友每人可添：6020=3(块)。因此，大、小班小朋友分得的平均块数是 10+3=13(块)。一共分掉了 1350=650(块)。解大、小班小朋友的平均块数：23020+10=13(块)一共的饼干块数：13(30+20)=650(块)答：一共分掉 650 块饼干。例 10 甲班 51 人，乙班 49 人，某次考试两个班全体同学的平均成绩是 81 分，乙班的平均成绩要比甲班平均成绩高 7 分，那么乙班的平均成绩是多少分？解法一设乙班的平均成绩为 x 分。乙班的总分+甲班的总分=两个班的总分49x+(x-7)51=81(51+49)49x+51x-357=8100100 x=8457x=84.57解法二如果给甲班每人加上 7 分，这样甲班的平均分就和乙班的平均分相等，而两个班的总分也就随着增加 751 分，这样(51+49)人的总分是81(51+49)+751分。乙班的平均分为：81(51+49)+751(51+49)=84.57(分)答：乙班的平均分为 84.57 分。例 11先仔细阅读下面材料，然后做出合理分析。深圳一家公司贴出了招工广告：本公司因工作需要招聘男员工 20 名，年龄在 40 岁以下，高中以上文凭。本公司员工月平均工资不低于 1000 元。一位受聘者第一个月工资只领取了 800元，他走上法庭，状告该公司经理不兑现承诺，没履行合同。这位员工的官司能不能打赢？请从数学角度加以分析。分析此题时代性强，要求我们熟悉社会生活中的基本生活和工作情境，并善于运用数学观念去分析、解决实际问题。解所谓“月平均工资不低于 1000 元”，是说一年的总工资平均分成 12 份，每份的工资不低于 1000 元，并不是指每月的工资都要真正高于 1000 元。第一个月的工资领到 800 元，只要以后的工资高一些，一年的月平均工资仍可以达到 1000 元。因此，这位员工的官司打不赢。例 12幼儿园小班的 20 个小朋友和大班的 30 个小朋友一起分饼干，小班的小朋友每人分10 块，大班的小朋友每人比大、小班小朋友的平均数多 2 块。求一共分掉多少块饼干？分析要求共分掉多少块饼干，只要知道大、小班小朋友分得的平均数，再乘以总人数30+20=50(人)就可以了。因为大班的小朋友每人比大、小班小朋友的平均数多 2 块，30 个小朋友一共多：230=60(块)，说明小班的 20 个小朋友只要添上这 60 块饼干就可以达到大、小班小朋友的平均数。小班小朋友每人可添：6020=3(块)。因此，大、小班小朋友分得的平均块数是 10+3=13(块)。一共分掉了 1350=650(块)。解大、小班小朋友的平均块数：23020+10=13(块)一共的饼干块数：13(30+20)=650(块)答：一共分掉 650 块饼干。例 13甲班 51 人，乙班 49 人，某次考试两个班全体同学的平均成绩是 81 分，乙班的平均成绩要比甲班平均成绩高 7 分，那么乙班的平均成绩是多少分？解法一设乙班的平均成绩为 x 分。乙班的总分+甲班的总分=两个班的总分49x+(x-7)51=81(51+49)49x+51x-357=8100100 x=8457x=84.57解法二如果给甲班每人加上 7 分，这样甲班的平均分就和乙班的平均分相等，而两个班的总分也就随着增加 751 分，这样(51+49)人的总分是81(51+49)+751分。乙班的平均分为：81(51+49)+751(51+49)=84.57(分)答：乙班的平均分为 84.57 分。例 14某班同学今天至少完成一门语文或数学作业，已知做完语文作业的有 40 人，做完数学作业的有 45 人，两门作业都做完的有 36 人。这个班有多少同学？分析如右图所示：左边的圆表示做完语文作业的 40 人，右边的圆表示做完数学作业的 45 人，中间公共部分表示两门作业都做完的 36 人，两圆实际占纸的大小表示全班的人数。从图上看，用左边圆加上右边圆，就把中间语数都完成的部分加了 2 遍，所以再减去语数 36 人这一块的面积，就是两个圆实际占纸的大小，即全班的人数。所以，列式为：40+45-36=49(人)答：这个班有 49 人。例 15三年级有 48 个学生，都订过语文报或数学报，其中订过语文报的有 30个学生，订过数学报的有 29 个学生，两种报纸都订过的有几个学生？分析根据题意可作图如右：从图中可以看出全班 48 人，订过语文报或数学报的共 30+29=59(人)，超过全班人数 59-48=11(人)，这 11 人都订过语文报或数学报。例 16二年级一班共有 45 名同学，其中少先队员有 37 人，这个班级有男生 20 人，女生中有 4 人不是少先队员，问男生中有多少人不是少先队员？分析这道题中有许多数量，少先队员、非少先队员、男生、女生、男生少先队员、女生少先队员，可作图如下观察可发现，非少先队员有 45-37=8 人，女生非少先队员有 4 人，那么男生中非少先队员有 8-4=4 人。例 17今天是星期六，再过 100 天是星期几？分析再过一天是星期日，再边两天是星期一再过 7 天又是星期六，一个星期是 7 天，因此以 7 天为一个周期，1007=142。由于余数为 2，也就是 14 个周期再过 2 天，所以再过 100 天是星期一。例 181770 的小数点后面第 2002 位上的数字是几？这 2002 个数字的总和是多少？分析解决这个问题的办法首先是试除，再发现规律，找到周期。试除后得到：1770=0.242857142857142我们观察便可发现其中的规律：从小数第二位起，依次是 4、2、8、5、7、1，反复出现，也就是说以这 6 个数字为一个周期，(20021)3333，说明反复出现 333 次后还有 3 个数字，那么小数点后 2002 位上的数字是 8。接下来，我们不难发现这 2002 个数字的和可以这样去算：2+(4+2+8+5+7+1)333+4+2+8=9007。例 19按照下面排列规律，数 2002 应在第几行，第几列？一二三四五12345678910111213141516171819202122分析观察发现，这个表中的数字以 5 个数为一个周期，第一列下面的数被 5 除余数为 1，第二列下面的数被 5 除余数为 220025=4002，余数为 2，所以 2002 在第二列的下面。又因为每行有 5 个数，由于 20025=4002，所以 2002 在第 401 行，第 2 列。例 20下表的第一行的文字和第二行的字母都有各自的周期，那么第 100 列的文字和字母分别是什么？奥林匹克奥林匹克奥林ABCABCABCA分析先看上面一行，都是以“奥林匹克”重复出现，所以周期是 4，由于 1004=25，所以第 100 个文字为“克”；再看下面一行，都是以“A、B、C”重复出现，周期为 3，由于1003=331，所以第 100 个字母为“A”。例 21有一串数字 2134从第三个数码起，每一个数码都是它前面的两个数码的和的个位数。问在这串数码中，第 1000 中数码是多少？分析试写下去2134718976392134718976我们发现，从第13个数起都是213471897639，周期为 12，100012=834，余数为 4，那么，第 1000 个数为第四个，是 4。例 22猜年龄。贝贝设计的猜年龄程序如下：输入你的年龄乘 2减去 2乘 0.5输出结果(1)小丽输入的年龄为 a，请用式子表示输出数。(2)奶奶输入自己的年龄后，输出的结果是 68，猜猜奶奶的年龄。分析此题讲述了同学们经常玩的一种游戏，生动有趣。通过用字母表示输出结果，揭示输入数与输出数间的简单关系，明确猜年龄游戏的实质。解(1)a22a2(2a2)0.5(2a2)0.5=2a0.520.5=a1(2)奶奶的年龄是：68+1=69(岁)例 23用小棒摆图形。(1)摆 n 个八边形需要多少根小棒？(2)2010 根小棒可摆多少个八边形？分析此题数形结合，关键是要同学们认真观察、比较、归纳出规律。用 8 根小棒摆好一个八边形后，增加 1 个 7 根，摆两个八边形；增加 2 个 7 根，摆三个八边形所以摆 n 个八边形，只需在第一个的基础上增加(n1)个 7 根小棒。解(1)8+7(n1)=7n+1；(2)8+7(n1)=2010n=287答:(1)摆 n 个八边形要 7n+1 根小棒；(2)2010 根小棒可摆 287 个八边形。提示这里还可将第一个八边形假想为：先摆上 1 根小棒，那么接着每增加 7 根小棒就增加一个八边形，用式子表示为 7n+1。例 24将自然数 1100 排列如下表：在这个表里，用长方形框出了两行 6 个数(图中长方形仅为示意)，如果框起来的 6 个数的和为 423，那么这 6 个数中最小的数是几？分析此题别致新颖，解答关键在于仔细观察，掌握规律，科学地设出未知数，灵活解答。仔细观察发现，框起来的 6 个数，同一行的 3 个数依次相差 1，上下两个数相差 7。若设长方形内 6 个数中最小的一个数是 x，那么这个长方形内 6 个数如下：xx+1x+2x+7x+8x+9可根据题意“6 个数的和为 423”列出方程。解设长方形框内 6 个数中最小的一个数是 x，则：6x+(1+2+7+8+9)=4236x+27=4236x=396x=66答:这 6 个数中最小的数是 66。例 25甲盒中有 99 个白球和 100 个黑球，乙盒中放有足够多的黑球。现在每次从甲盒中任意取出两个球放在外面。如果两个球同色，则从乙盒中取出 1 个黑球放入甲盒；如果两个球异色，仍将其中的白球放回甲盒中。这样经过 197 次取放之后，甲盒中剩几个球？各是什么颜色？说明理由。分析根据取放规则，取同色 2 球，放回 1 黑球，甲盒中每次少 1 个球。取异色球，放回 1 白球，甲盒中仍是每次少 1 个球，即甲盒中球在一一减少。甲盒中的白球只在同白 2 球时才会减少，即白球总是成对减少。解甲盒中的球数在取放 197 次后为：99+100-197=2(个)而白球在甲盒中每次成对减少，即甲盒中的白球始终保持奇数个。所以，取放 197 次后，甲盒中只有一黑一白两个球。例 267 个人共有 100 元，每人带的钱数各不相同，且都是整数元。请证明他们中至少有 3人的钱数之和不少于 50 元。分析要着眼于大钱数尽可能小的情形，为此要使这 7 个人的钱数尽可能接近。解1007=142先以 14 为中间项得一等差数列：11，12，13，14，15，16，17再将其中的 16 改为 18。那么，15+17+18=50即至少有 3 人的钱数之和不少于 50 元。例 27有五颗相同的骰子放成一排(如下图)，五颗骰子底面的点数之和是多少？分析五颗骰子有三颗露出了 5，并且 5 和 1，2，3，6 相邻，所以 5 的对面是 4；2 与 1，3，5 相邻，因为 5 与 4 相对，故 2 也与 4 相邻，所以 2 的对面是 6；剩下的 1 与 3 必相对。五颗骰子底面的点数从左至右依次是 4，6，3，1，4，其和为 4+6+3+1+4=18。例 28计算：195.1分析根据数的特点，我们可把 19 拆成（20-1）计算，也可把 51 拆成 5+01 进行计算。解法一 195.1=（201）5.1=205.15.1=1025.1=96.9解法二 195.1=19（5+0.1）195+190.195+1.996.9例 29 计算：0.71.5+0.738.5分析运用乘法分配律进行计算比较方便。解原式0.7（1.5+38.5）0.74028例 30计算：0.1250.25640.3分析这是一道连乘算式，注意到 0.12581，0.2582，而 64 可以拆分为 88，所以可以这样计算：解原式01250.25880.3（0.1258）（0.258）0.3120.30.6例 31计算：（972792）（7595）分析75和95的分子相同，972和 792化成假分数后分子也相同，可以提取公因数变形约分。解例 32计算：2113214311091分析第一个分数的分母 2 是 12 的积；第二个分数的分母 6 是 23 的积，第三个分数的分母 12 是 34 的积第九个分数的分母 90 是 910 的积。这就是说，题中的每个加数都可以看成两个分数的积，即进一步观察又发现，每个积的两个因数，分子都是 1，分母的差也是 1。经验告诉我们：像这样的两个分数的积等于它们的差，于是21=1121=112161=2131=2131121=3141=3141901=91101=91101再进一步观察又发现，上面这些减法算式，前一个算式的减数正好是后一个算式的被减数，这些为原式的计算提供了极大的便利条件。按照变形后的结果相加时，中间的那些“减数”、“被减数”全都互相抵消，最后只剩下11101。例 33两个编筐小组完成一批编筐任务，第二组完成总数的83，第一组比第二组多编 108个，这批编筐任务共有多少个？分析把这批编筐任务看作单位“1”。第一组除了完成与第二组同样多（总数的83）以外，还多 108 个。也就是总数的（18383）是 108 个，求编筐总数。解108（18383）1080.25432（个）答：这批编筐共 432 个。例 34小明比小华的存书多41，那么小华比小明的图书少几分之几？分析因为小明存书多41，把小华的书看作 4 份，则小明为 5 份。解（54）551例 35某发电厂去年计划发电 70 万千瓦时，结果上半年完成计划的73，下半年完成计划的53。请问，此发电厂是否超额完成了任务？超额发电多少万千瓦时？分析根据已知“上半年完成计划的73，下半年完成计划的53”可估计到这个发电厂是超额完成了任务。求超额发电多少万千瓦时，需先求超额完成了计划的几分之几。根据上半年、下半年完成的分率，可知全年超额完成了计划的73+531351，根据超额完成的分率可以求出超额完成的具体千瓦时。解70（73+531）703512（万千瓦时）答：去年超额完成了任务，超额了 2 万千瓦时。提示分数乘法应用题的单位“1”是已知的（70 万千瓦时），求单位“1”的几分之几是多少时，要弄清所求数量究竟占单位“1”的几分之几，再依据单位“1”对应分率对应数量，从而求得所求问题。例 36某施工队修路，第一天修了这条路的83，第二天修了 50 米，这时已修好的路恰好是没修好的75，还有多长的路没有修好？分析要求还有多长的路没有修好，必须知道原来的路有多长，因此，求出原有路长是此题的关键。要求出原有路的长，应从第二天修的 50 米出发，找到 50 米对应总数的分率，也就是找到了解题的突破口。根据第一天修了总长的83，第一、二天修好的恰好是没有修好的75，也就是说两天修好的路是总路长的755，画图分析如下：可见，50 米对应总长度的（75583），从而找到解决问题的突破口。解50（75583）502411200（米）1200（1125）700（米）答：还有 700 米长的路没有修好。例 37小明读一本故事书，第一天读了全书的41，第二天比第一天多读 2 页，这时共读了36 页，这本书共有多少页？分析第二天读的比第一天多 2 页，也就是比全书的 14 多 2 页，从图中可以看出全书的 14与 14 的和是（36-2）页，求全书多少页。解（362）（41+41）342168（页）答：这本书共有 68 页。例 38师傅和徒弟同时要完成同样多的零件任务，当徒弟还差 840 个没加工时，师傅已完成了自己任务的一半；当师傅已完成任务时，徒弟还有61没完成，求师傅和徒弟各完成零件多少个？分析根据师傅已完成全部任务时，徒弟还有61，说明这时徒弟已完成了（161）。当师傅完成自己任务的一半时，徒弟应完成65的一半，这时徒弟还差 840 个没完成，也就是任务的（1652）是 840 个，这样就可以求出师傅和徒弟各完成零件多少个？解 840（1652）=840（1125）8401271440（个）1440161=1200（个）答：师傅完成零件 1440 个；徒弟完成零件 1200 个。例 39一捆电线用去全长的41，又用去余下的32，最后还剩下 3.6 米。这捆电线原来有多少米？分析把第一次用去之后余下的电线看作单位“1”，余下的（132）是 3.6 米，求出余下的米数。再把这捆电线的全长看作单位“1”，已知全长的（141）是余下的米数，求出电线全长。解3.6（132）（141）3.6314310.84314.4（米）答：电线原来长 14.4 米。例 40张明看一本故事书，每天看 30 页，3 天后还剩下全书的85没有看。求这本故事书共有多少页？分析求总页数的关键是在确定全书总数为单位“1”后，找到已看的相当于全书总页数的几分之几。从题中看出，已看的页数为 30390（页），已看了全书的 18583，所以90 页与全书的83相对应，这样便可求出全书总页数。解 3031859083240（页）答：这本故事书共 240 页。例 41王师傅计划做一批零件，第一天做了计划的74，第二天又做了余下的53，这时还剩42 个零件没做，问王师傅计划做多少个零件？分析把计划做的零件总数看作单位“1”，解题关键是找到与剩下 42 个零件的对应分率。第一天做了74，余下单位“1”的73。在73中又做了53，余下了73的52，即7352356，因此 42 个与计划的356相对应。解 42（174）（153）427352=42356=245（个）答：王师傅计划做 245 个零件。例 42一篓苹果分给甲、乙、丙 3 人，甲分得全部苹果的51加 5 个苹果，乙分得全部苹果的41加 7 个苹果，丙分得其余苹果的21，最后剩下的苹果正好等于一篓苹果的81。求这篓苹果有多少个？分析我们可以根据题意画出线段图：从线段图上可以清楚地看出：如果把一篓苹果看作单位“1”，那么 5 个与 7 个的和就相当于一篓苹果的（15141812）。解法一（5+7）（15141812）1210340（个）解法二设这篓苹果有 x 个，根据题意有51x+5+41x+7+81x2=xx（51x+41x+281x5+7103x=12x=40答：这篓苹果有 40 个。例 43甲、乙两数的和是 1.32，如果把乙数的小数点向左移动一位，那么甲、乙两数的比是 11，原来甲、乙两数各是多少？分析这样想：一个数的小数点向左移动一位，这个数就缩小 10 倍。“乙数的小数点向左移动一位后，甲、乙两数的比是 11。”这句话的意思是：乙数缩小 10 倍后与甲数相等，乙数是甲数的 10 倍。解法一设甲数是 x，乙数是 10 x。x+10 x=1.3211x=1.32x=0.1210 x=100.12=1.2解法二1.32（10+1）0.12（甲）0.12101.2（乙）答：原来甲数是 0.12，乙数是 1.2。例 44一个圆柱体和一个圆锥体的体积相等，已知圆柱体的高是圆锥体高的72，求圆柱体底面积与圆锥体底面积的比。分析这样想：把已知的条件代入到字母公式中进行推导。解把已知条件直接代入字母公式：V 柱S1h1，V 锥31S2h2S1h1=31S2h2，72S1=31S2S1S2=3172，S1S276答：圆柱体底面积与圆锥体底面积的比是 76。例 45一个长方形长与宽的比是 145，如果长减少 13 厘米，宽增加 13 厘米，则面积增加182 平方厘米，那么原长方形面积是多少平方厘米？分析这样想：要求原长方形面积，我们必须想办法求出原长方形的长和宽，也就是必须找到 182 平方厘米与原长方形之间的关系。画图，如图所示，把长减少 13 厘米后，减少的面积移到宽增加 13 厘米后增加的面积部分，那么阴影部分就是增加的 182 平方厘米。解BC 长：1821314（厘米）BD 长：14+1327（厘米）从图中可看出 AB 长就是原长方形的宽，AD 与 AB 的比就是 145。AB 与 BD 的比：5（145）59AB 长（即长方形的宽）：279515（厘米）AD 长（即长方形的长）：1551442（厘米）原长方形的面积：4215630（平方厘米）答：原来长方形的面积是 630 平方厘米。例 46客车和货车同时从 A、B 两地相向开出，客车每小时行驶 50 千米，货车的速度是客车速度的 80%，相遇后客车继续行驶 3.2 小时到达 B 地。A、B 两地相距多少千米？分析根据题意画图：从题意可知，要求 A、B 两地相距多少千米，先要求出客、货两车合行全程所需的时间。客车 3.2 小时行了 503.2160 千米，货车行 160 千米所需的时间为：160（5080%）4 小时。解503.2160（千米）160（5080%）160404（小时）（50+5080%）4904360（千米）答：A、B 两地相距 360 千米。例 47甲、乙两辆汽车同时从 A、B 两站相对开出，第一次相遇时离 A 站有 90 千米。然后各按原速度继续行驶，分别到达对方站后立即沿原路返回，第二次相遇时离 A 站的距离占A、B 两站间全程的 65%。A、B 两站间的路程是多少千米？分析根据题意画图：甲、乙第一次相遇，合行一个全程，甲车行了 90 千米。第二次相遇时，两车合行三个全程，甲车行了 903270 千米。从图上可以看出甲车走了1+（165%）个全程。解903270（千米）270（1+165%）2701.35200（千米）答：A、B 两站间的路程是 200 千米。例 48甲、乙两车分别从 A、B 两地出发，在 A、B 两地之间不断往返行驶。甲、乙两车的速度比为 37，并且甲、乙两车第三次相遇地点和第四次相遇的地点恰好相距 100 千米，那么 A、B 两地的距离是多少千米？分析根据题意将 A、B 间的距离平均分成 10 份，画图得：甲、乙两车的速度比为 37，因此，在相同的时间内，甲、乙所行路程比也为 37。第三次相遇，甲、乙两车合行了 1+2+25 个全程，甲车行了 3515 份，距离 A 点 10（1510）5 份，即在 C 处相遇。第四次相遇，甲、乙两车合行了 1+2+2+27 个全程，甲行了 3721 份，相遇点 D 距离 A 点 211021 份。解 3（1+2+2）15（份）10（1510）5（份）3（1+2+2+2）21（份）211021（份）100（51）10250（千米）答：A、B 两地的距离是 250 千米。例 49有一桶水小明一人可饮用 14 天，若和小丽同饮则可饮用 10 天。若小丽独自饮用，可饮用多少天？分析把一桶水的总量看作“1”，小明和小丽两人同饮用一天，饮用一桶水的101，减去小明一天饮用的141，剩下的就是小丽一天饮用一桶水的几分之几（101141）。最后，看“1”里包含多少个（101141），就是小丽独自饮用的天数。解 1（101141）35（天）。答：小丽独自饮用，可饮用 35 天。例 50一项工程甲队单独做需要 14 天完成，乙队单独做需要 7 天完成，丙队单独做要 6 天完成。现在乙、丙两队合作 3 天后，剩下的由甲队单独做，还要多少天才可完成任务？分析设全部任务为单位“1”，那么甲、乙、丙三队的工作效率分别是141、71、61，因此乙、丙两队合作 3 天完成的工作量为（7161）3，再根据数量关系不难求出甲队还需的工作时间。解1（7161）31411（天）。答：剩下的由甲队独做 1 天才能完成。例 51一条公路甲、乙两队合修 30 天完成。甲队单独修了 24 天后，乙队加入，两队又合修了 12 天，这时甲队调走，乙队又继续修了 15 天才完成。问甲队单独修这条路需要多少天？分析这个题目的难点在于两队工作时间不同，次序有先后，这时应用“等效法”，把题目中“甲单独修 24 天后，两队合修 12 天，乙队又继续修 15 天”转换为“甲、乙合修 27 天，甲又单独修 9 天才完成”，问题便容易解决了。解两队合修（12+15）27 天，甲队又单独修（24+12-27）9 天，所以 1（130127）990（天）答：甲队单独修这条路需用 90 天。例 52定义新运算“*”对任何数 a 和 b，有 a*b=aba+b。计算：（1）8*10（2）（3*4）*5分析（1）直接用“*”的定义进行运算8*108108+1082（2）按规定先算 3*4，3*4343+413再算 13*5，13*513513+557所以（3*4）*557。例 53已知 a*b=aba，如果（2*x）*2=10，求 x。分析按规定先求 2*x，2*x=2x2再求（2x2）*2。（2x2）*2（2x2）224x6因为（2*x）*2=4x6=10。所以 x=4。例 54设 a*b4a3b,求（1）5*(3*2);（2）已知 x*(2*x)=14，求 x。分析（1）先求括号内的 3*23*243326所以 5*（3*2）5*64*53*62。（2）先算括号内的2*x=422x=82x那么 x*(82x)=4x3(82x)=10 x24因为 x*(82x)=14也即 10 x24=1410 x=38x=3.8例 55对整数 a，b,规定 a*b=ax+b，如果 4*5=23，求 3*2 的值。分析要求 3*2 的值，必须先求 x。根据规定 4*54x+5即 4x+5=234x=18x=4.5所以 3*234.5+215.5。例 56用 1、2、3、4、5 可以组成几个没有重复数字的四位数？分析这是从 5 个不同元素中取出 4 个不同元素的排列问题。由排列数公式，共可以组成P455432120（个）不同的四位数。例 57用 0、1、2、3、4、5 可以组成几个没有重复数字的四位数？分析与例 1 不同的是，本题中 0 不能作为千位数，那么我们先考虑千位上的数，有 5 种排法，则其余 3 位还有 P35种排法，由乘法原理得5P355543300（个）不同数位的四位数。例 58A、B、C、D、E 五个人排成一列，如查 A、B 不能在两端，共有几种排法？分析A、B 不能在两端，所以 A、B 只能在剩下三个位置中某两个位置上，共有 P23种排法。而其他 3 人位置设限定，共有 P33种排法。根据乘法原理，共有P23P333232136（种）例 59由数字 0、1、2、3 可以组成几个没有重复数字的四位偶数？分析这个偶数的个位只能是 0 或 2，当个位为 0 时，前三位有 1、2、3 全排列组成，有P33种。当个位为 2 时，千位数只能从 1、3 中任取一个，有 P12种，百位和十位可从 1、3 中余下的一个取，这两个数字组成全排列，有 P22种。根据乘法原理，个位为 2 的偶数有 P12P22种，所以根据加法原理，得到四位偶数共有 P33+P12P22种。P33+P12P22321+22110（种）例 60由数字 0、1、2、3、4 可以组成多少个没有重复数字的比 400000 小的自然数？分析这个自然数比 400000 小，其首位一定是 1、2、3 里面的一个，有 3 种方法，其他五位共有 P55种排法，所以根据乘法原理，共有 3P55354321360（个）没有重复数字的六位数。例 61书架上放着 6 本不同的数学书，从中选出 2 本书，则有多少种不同的取法？分析由题意可知，只要从 6 本书取出 2 本就可以，与书的顺序无关，所以这个问题是从 6个元素中取出 2 个元素的组合问题。解C26125615（种）例 62宁波到上海的铁路沿线共有 12 个火车站，那么共有多少种票价？分析由于票价与起点与终点的距离有关，与顺序无关，故是组合问题。解C21212111266（种）例 63从 1、2、3、4、5 中选两个数作一位数乘法，问（1）有多少种不同的乘法算式？（2）有多少个不同的乘积？分析（1）由于乘法算式不仅与所取的两个数字有关，而且与所取的两个数字的顺序有关，所以是个排列问题。解P255420（种）分析（2）与（1）不同的是所得到的积与所取的两个数字有关，而与数字的顺序无关，所以是组合问题。解C25124510（种）例 64从 5 名男生和 4 名女生中选出 3 人去比赛，至少有 1 名女生，其选法有多少种？分析由条件“选 3 人，至少有一名女生”，可把问题分为三类：第一类，选出的 3 人中只有 1 名女生，共有 C14C25种选法。第二类，选出的 3 人中只有 2 名女生，共有 C24C15种选法。第三类，选出的 3 人中都是女生，共有 C34种选法。由加法原理可知，一共有 C14C25+C24C15+C34410+65+440+30+474 种。例 65有一个长方形的停车场，沿着它的一条长边和一条宽边各划出 3 米的地方来绿化，结果停车场的面积减少了 996 平方米。如右图，现在这个停车场的周长是多少？分析从图中可以看出，减少部分是由 3 部分组成的，我们把这 3 部分分别叫做 A、B、C，如下左图：其中，B 的面积是 339 平方米，那么 A 和 C 的面积就是 996-9987 平方米。如果把 A移动到 C，就能拼成一个面积为 987 平方米，宽是 3 米的长方形，而这个长方形的长就是现在停车场的周长的一半，如下右图：解（996-33）32658（米）答：现在的停车场的周长是 658(米)。例 66有 5 块边长为 4 厘米的正方形相互重叠，重叠部分的每一段是原来边长的一半，如右图。求重叠图形的周长。分析对于这种重叠图形的周长，由于只有 5 个正方形，有些同学就会一段一段地去数，然后算出它的总长就可以了。对于较多正方形重叠，又该怎么办呢？有没有更好的办法呢？其实，如果我们采用平移的办法，把某些线段平移后，就会得到更好的解决方法。我们把左边竖着的线