圆的方程导学案.doc

圆的方程导学案
编写： ＿张振华＿ 审核：＿＿＿＿＿＿＿
导学目标：
1.掌握确定圆的几何要素.
2.掌握圆的标准方程与一般方程.
3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．

自主梳理
1．圆的定义
在平面内，到________的距离等于________的点的________叫做圆．
2．确定一个圆最基本的要素是________和________．
3．圆的标准方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2 (r>0)，其中________为圆心，____为半径．
4．圆的一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是____________________，其中圆心为________________________，半径r＝________________________.
5．确定圆的方程的方法和步骤
确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为：
(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；
(2)根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组；
(3)解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程．
6．点与圆的位置关系
点和圆的位置关系有三种．
圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)，
(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2____r2；
(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2____r2；
(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2____r2.
自我检测
1．方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆时，m的取值范围为______________．
2．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是________．
3．点P(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是______________．
4．已知点(0,0)在圆：x2＋y2＋ax＋ay＋2a2＋a－1＝0外，则a的取值范围是________．
5．过圆x2＋y2＝4外一点P(4,2)作圆的切线，切点为A、B，则△APB的外接圆方程为________．

探究点一　求圆的方程

例1　求经过点A(－2，－4)，且与直线l：x＋3y－26＝0相切于点B(8,6)的圆的方程．

变式迁移1　根据下列条件，求圆的方程．
(1)与圆O：x2＋y2＝4相外切于点P(－1，)，且半径为4的圆的方程；
(2)圆心在原点且圆周被直线3x＋4y＋15＝0分成1∶2两部分的圆的方程．

探究点二　圆的几何性质的应用
例2　已知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0和直线x＋2y－3＝0交于P，Q两点，且OP⊥OQ (O为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径．

变式迁移2　如图，已知圆心坐标为(，1)的圆M与x轴及直线y＝x分别相切于A、B两点，另一圆N与圆M外切且与x轴及直线y＝x分别相切于C、D两点．
(1)求圆M和圆N的方程；
(2)过点B作直线MN的平行线l，求直线l被圆N截得的弦的长度．

探究点三　与圆有关的最值问题
例3　已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.
(1)求y－x的最大值和最小值；
(2)求x2＋y2的最大值和最小值．

变式迁移3　如果实数x，y满足方程(x－3)2＋(y－3)2＝6，求的最大值与最小值．

1．求圆的标准方程就是求出圆心的坐标与圆的半径，借助弦心距、弦、半径之间的关系计算可大大简化计算的过程与难度．
2．点与圆的位置关系有三种情形：点在圆内、点在圆上、点在圆外，其判断方法是看点到圆心的距离d与圆半径r的关系．d<r时，点在圆内；d＝r时，点在圆上；d>r时，点在圆外．
3．本节主要的数学思想方法有：数形结合思想、方程思想．

课后练习

一、填空题(每小题5分，共40分)
1．在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为________．
2．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是______________．
3．圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0 (a、b∈R)对称，则ab的取值范围是____________．
4．已知点P(2,1)在圆C：x2＋y2＋ax－2y＋b＝0上，点P关于直线x＋y－1＝0的对称点也在圆C上，则实数a，b的值分别为________和________．
5．已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值为________．
6．已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程为________________．
7．圆心在直线2x－3y－1＝0上的圆与x轴交于A(1,0)、B(3，0)两点，则圆的方程为______________．
8．设直线ax－y＋3＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A、B两点，且弦AB的长为2，则a＝________.

二、解答题
9．根据下列条件，求圆的方程：
(1)经过A(6,5)、B(0,1)两点，并且圆心C在直线3x＋10y＋9＝0上；

(2)经过P(－2,4)、Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6.

10．已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上．
(1)求x＋y的最大值和最小值；
(2)求的最大值和最小值；
(3)求的最大值和最小值．

11．如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度AB＝20米，拱高OP＝4米，每隔4米需用一支柱支撑，求支柱A2P2的高度(精确到0.01米)(≈28.72)．