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魅力无穷的螺旋渐开线
福建省晋江市子江中学杨玉山
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解数学题的一种基本思想就是探索寻找规律，化难为易、化繁为简。当我们遇到一个问题，它所涉及的对象太多或太大，这时可以有顺序、有条理、有规律地分类，设法将他们划分为若干部分，分别找规律去研究，从而得到整个问题的解决。这类题立意趣味精巧、条件清晰，较好地考察了学生的分析、归纳、综合和探究能力，同时它思维的含金量也很高，是一类培养学生思维能力的好题。课程教材的改革是整个基础教育改革的重要方面，它反映社会各方面的发展，体现学生身心发展特点；它引导学生利用已有的知识与经验，主动探索知识的发生与发展，进行创造性的学习。激发学生对数学产生兴趣和继续学习的欲望，增强对数学知识的理解和学好数学的信心。在探索魅力无穷有趣的渐开线中找规律进行探索结论是逻辑推理中常见的一种题型，它以其独特的趣味性和严密的逻辑性成为风靡国内外的一种智力测试题，深受老师、同学们的青睐。
图1
A
B
C
D
E
F
1、如图1，△ABC是正三角形，曲线CDEF┅叫做“正三角形的渐开线”，其中CD、DE、EF┅┅的圆心依次是A、B、C循环，它们依次相连接，若AB＝1；
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(1) 渐开线CDEF的长是 。
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解：CD＝＝Л DE＝＝2×Л＝Л
EF＝＝3×Л＝Л
渐开线CDEF的长＝Л＋Л＋Л＝4Л
(2) 探索：当第n次以A为圆心作弧时，正三角形渐开线CDEFGHK……的弧长为多少？
解：第一次以A为圆心作弧时，半径为1，弧长为＝Л
第二次以A为圆心作弧时，半径为4，弧长为＝4×Л
第三次以A为圆心作弧时，半径为7，弧长为＝7×Л
第四次以A为圆心作弧时，半径为10，弧长为＝10×Л
……
第n次以A为圆心作弧时，半径为1＋3 (n－1)＝3n－2，
弧长为＝(3n－2)×Л
正三角形渐开线CDEFGHK……的弧长为L＝Л＋2×Л＋3×Л＋……＋(3n－2)×Л
＝ [1＋2＋3＋……＋(3n－2)]Л
＝×Л
＝Л
(3) 再探索：当边长为1cm的正三角形，试估计至少第n次以A为圆心作弧时，A n扇形的弧长能绕地球赤道一周？(设地球赤道半径为6400km)
解：第n次以A为圆心作弧时，半径为1＋3 (n－1)＝3n－2，
弧长为＝(3n－2)×Л
根据题意得：(3n－2)×Л≥2Л×6400×1000×100
解得：n≥6.4×10 8＋(次)
(4) 当第二次以A为圆心作弧时，正三角形渐开线CDEFG围成的面积和为多少？
解：第一次以A为圆心作弧时，半径为1，扇形面积为＝Л
以B为圆心作弧时，半径为2，扇形面积为＝4×Л＝Л
以C为圆心作弧时，半径为3，扇形面积为＝9×Л＝Л
第二次以A为圆心作弧时，半径为4，扇形面积为＝16×Л＝Л
正三角形渐开线CDEFG围成的扇形面积＝Л＋Л＋Л＋Л＝10Л
(5)探索：当第n次以A为圆心作弧，此时正三角形渐开线CDEFGHK……的扇形面积和为多少？
解：第一次以A为圆心作弧时，半径为1，扇形面积为＝Л
以B为圆心作弧时，半径为2，扇形面积为＝4×Л＝Л
以C为圆心作弧时，半径为3，扇形面积为＝9×Л＝Л
第二次以A为圆心作弧时，半径为4，扇形面积为＝16×Л＝Л
……
第n次以A为圆心作弧时，半径为 (3n－2)，扇形面积为＝(3n－2) 2×Л
那么正三角形渐开线CDEFGHK……的扇形面积和为
S＝Л＋Л＋Л＋Л＋……＋(3n－2) 2×Л
＝[1＋2 2＋3 2＋4 2＋……＋(3n－2)2] Л
＝××(3n－2)[(3n－2)＋1][2(3n－2)＋1] Л
＝×(3n－2)(3n－1)(2n－1) Л

2、如图2，正方形ABCD的边长为1，曲线DEFG……叫“正方形渐开线”，其中弧DE、弧EF、弧FG、弧GH、……的圆心依次按A、B、C、D循环。
(1) 当第四次以A为圆心作弧，此时半径为（ B ）
（A）9 （B）13 （C）17 （D）21
解：其半径的长分别是：1，2，3，4，5……
第一次以A为圆心作弧时，半径为1
第二次以A为圆心作弧时，半径为5
第三次以A为圆心作弧时，半径为9
第四次以A为圆心作弧时，半径为13……
探索：第n次以A为圆心作弧时，半径为1＋4 (n－1) ＝4n－3
图2
第n次以B为圆心作弧时，半径为2＋4 (n－1) ＝4n－2
第n次以C为圆心作弧时，半径为3＋4 (n－1) ＝4n－1
第n次以D为圆心作弧时，半径为4＋4 (n－1) ＝4n
(2) 当第四次以A为圆心作弧，此时正方形渐开线DEFGHK……的弧长为多少？
解：第一次以A为圆心作弧时，半径为1，弧长为＝Л
以B为圆心作弧时，半径为2，弧长为＝Л
以C为圆心作弧时，半径为3，弧长为＝Л
以D为圆心作弧时，半径为4，弧长为＝2Л
第二次以A为圆心作弧时，半径为5，弧长为＝Л ……
第四次以A为圆心作弧时，半径为13，弧长为＝Л
那么正方形渐开线DEFGHK……的弧长为L＝Л＋Л＋Л＋2Л＋……＋Л
＝(＋1＋＋2＋……＋)Л
＝(1＋2＋3＋4＋……＋13)Л＝Л
探索：……
第n次以A为圆心作弧时，半径为1＋4 (n－1)＝4n－3，弧长为＝Л
正方形渐开线DEFGHK……的弧长为L＝Л＋Л＋Л＋2Л＋……＋Л
＝ (＋1＋＋2＋……＋)Л
＝[1＋2＋3＋4＋……＋(4n－3)]Л
＝×Л
＝Л
(3) 当第四次以A为圆心作弧，此时正方形渐开线DEFGHK……的扇形面积和为多少？
解：第一次以A为圆心作弧时，半径为1，扇形面积为＝Л
以B为圆心作弧时，半径为2，扇形面积为＝Л
以C为圆心作弧时，半径为3，扇形面积为＝Л
以D为圆心作弧时，半径为4，扇形面积为＝Л
第二次以A为圆心作弧时，半径为5，扇形面积为＝Л ……
第四次以A为圆心作弧时，半径为13，扇形面积为＝Л
那么正方形渐开线DEFGHK……的扇形面积和为S＝Л＋Л＋Л＋Л＋……＋Л
＝ (1＋2 2＋3 2＋4 2＋……＋13 2) Л
＝××13 ×(13＋1) (2×13＋1) Л
＝×819Л＝204.75Л
探索：……
第n次以A为圆心作弧时，正方形渐开线DEFGHK……的扇形面积？
正方形渐开线DEFGHK……的扇形面积为S＝Л＋Л＋Л＋Л＋……＋Л
＝[1＋2 2＋3 2＋4 2＋……＋(4n－3) 2] Л
＝××(4n－3)×[(4n－3)＋1][2×(4n－3)＋1] Л
＝×(4n－3)×(2n－1)×(8n－5) Л
说明：本文中应用到自然数平方和公式：1 2＋2 2＋3 2＋4 2＋……＋n 2＝n (n＋1) (2n＋1)
可由：n 3－(n－1) 3＝3n 2－3n＋1公式推导出来，当n≥1时，1 3－0 3＝3×1 2－3×1＋1
2 3－1 3＝3×2 2－3×2＋1，3 3－2 3＝3×3 2－3×3＋1，4 3－3 3＝3×4 2－3×4＋1 ……
n 3－(n－1) 3＝3n 2－3n＋1
两边分别相加得：n 3＝3 (1＋2 2＋3 2＋……＋n 2)－3 (1＋2＋3＋……＋n )＋n
＝3 (1＋2 2＋3 2＋……＋n 2 )－3×＋n
∴1＋2 2＋3 2＋……＋n 2＝( n 3－n )＋ ＝n (n＋1) (2n＋1)
探索魅力无穷的螺旋渐开线问题蕴含着较多的数学思想方法，以上从圆心、半径、弧长、面积等方面加以猜想探索论述，希望能给同学们在学习中有所帮助和启发。
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