布条缠绕圆形管道的问题模型.doc

布条缠绕圆形管道的问题
摘要：本文通过确定重合点，在已知布条宽度和圆形管道直径的情况下，运用一些简单的几何知识解决了布条与管道轴线的夹角问题。
同时，从管道表面积和布条面积相等的角度，在已知管道长度的情况下，求出了布条的长度。同时也考虑到了布条两端的影响。
此外，分两种情况考虑了其他形状的管道的布条缠绕问题：布条紧贴于管道缠绕和布条不紧贴贴于管道缠绕。

关键词： 重合点 表面积 紧贴

1问题提出

用已知宽度的布条缠绕已知直径的圆形管道，布条应紧密排在一起且不能重叠，求布条与管道轴线的夹角。此外，在已知管道长度的情况下，还要求出所需布条的长度。

2模型假设
2.1管道是直的，圆的；
2.2管道粗细一样且足够长；
2.3管道外表面光滑；
2.4带子宽度一样；
2.5包扎时带子没有重叠；
2.6变量限定
：带子的宽度
：管道长度
：管道横截面周长
：管道的直径
：布带与管道的缠绕角度，见图1
4模型建立与求解

模型一：夹角的模型

图 1
不妨将管道表面展开如图1，黄色部分为缠绕的布条。

由于要求布条完全缠绕于管道上且不重叠，那么A、B应该在管道上重合。则

故

模型二：布条长度的模型

由于布条是完全缠绕于管道上的，且没有重叠，可以从管道表面积和布条面积相等来考虑。

且 ，即

也即

但由于布条两端都成弧度，会有所浪费，因此也考虑两端的影响，即多加上图中AC段的长度。

故 所需布条长度为

5模型优化

优化一：布条厚度的考虑

既然布条厚度为一个影响结果的因素，不妨考虑一下布条的厚度。

设布条厚度为，圆形管道的横截面如图2。布条上表面伸展，下表面收缩，中间的长度不变。那么
圆形管道的直径相当于

故

图 2

优化二：其他形状的管道

若管道的横截面是相等的，且布条完全贴于管道上，考虑方向就和圆形管道相同。只需将圆形管道的横截面周长换为其他形状管道的横截面周长即可。那么
图 3

如图3，布条贴于五角星形状的管道缠绕，那么周长即为五角星的周长
设五角星边长为，则有

代入和的等式计算即可。

若布条不是完全贴于管道上的，那么就以布条所缠绕的形状作为周长计算。比如五角星形状的管道，布条不贴于管道缠绕，如图4。
那么计算周长时就不是计算五角星的周长了，而是计算布条缠绕所形成的五边形的周长。
设五角星角之间的夹角为，则有
图 4

代入和的等式计算即可。

参考文献

[1] 姜启源 《数学模型》 高等教育出版社
[2] 中科大数学建模站
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