齿轮线接触与点接触理论与有限元分析_徐恺.pdf

文章编号：（）齿轮线接触与点接触理论与有限元分析徐 恺苏建新周永丹邱 明王伟生（河南科技大学 机电工程学院，河南 洛阳 ）（中色科技股份有限公司，河南 洛阳 ）（韶能集团韶关宏大齿轮有限公司技术开发部，广东 韶关 ）摘要由于制造误差、安装误差、支撑条件、齿轮承载变形等因素的影响，齿轮接触情况复杂且难以试验验证。齿轮接触按照初始接触条件通常分为线接触和点接触，承载后均为面接触：前者接触面为矩形，后者为椭圆形。线接触理论利用赫兹接触理论已经成熟，即采用两个圆柱体的线接触方式进行计算；点接触理论计算较为复杂，须考虑接触椭圆和其他非线性因素。用有限元方法分析渐开线及其修形齿轮的接触状态，计算实例表明，没有考虑安装误差的影响，线接触的仿真结果与赫兹接触理论相吻合，且接触状况明显好于点接触；当考虑安装误差的影响，二者接触应力均有上升，但线接触的接触状况明显恶化，接触应力急剧上升 倍以上，而点接触的接触应力上升不到倍，说明齿轮线接触对安装误差的敏感性远大于齿轮点接触，极易造成齿轮的点蚀破坏。关键词齿轮接触分析赫兹接触点接触线接触 （，）（，）（，），（）第 卷第期齿轮线接触与点接触理论与有限元分析 引言共轭两齿面在的初始接触条件下（未承载），须要满足连续接触条件，即接触的几何条件 在整体坐标系下，两齿面接触点的位矢、法矢相等。初始接触情况存在点接触和线接触两种情况：每个啮合瞬间，若共轭两齿面沿一条线接触（在齿轮端面投影为一个点）且满足相对运动规律（接触点处两齿面相对速度垂直于公法线）即为线接触；若每个啮合瞬间，两齿面接触于一点（三维空间为一个点）且满足相对运动规律即为点接触。通常来说，点接触齿面理论可看作更一般的三维情况，线接触齿面理论可简化为二维情况，它是点接触理论的特例和基础。无论是点接触还是线接触，当承载后由于弹性变形都会变为面接触，点接触以接触点为中心形成一个接触椭圆面，线接触则以接触线为对称中心形成一个接触矩形面。齿轮线接触时接触面积增大、承载能力提高，但在实际生产过程中，由于制造误差、装配误差或承载变形产生轮齿边缘接触，使得理论线接触齿轮呈现为一般的点接触情况。另一方面采用鼓形齿、失配齿得到理论上为点接触的局部共轭齿面，如格里森制的渐缩弧齿锥齿轮和准双曲面齿轮，无论是范成加工还是理论计算，均是以点啮合理论为基础。因此有必要研究齿轮点接触情况的承载情况。另一方面，汽车齿轮是齿轮用量的主要方面。由于渐开线齿形（通常含有一定修形量）的齿轮仍然是汽车齿轮的主要采用零件，对于设计完善且润滑良好的闭式齿轮齿面，其主要的破坏形式是疲劳点蚀，与齿面的表面硬度和接触应力有关，为了确保齿轮的使用寿命，有必要对该类齿轮齿面进行接触分析。齿轮接触问题一直是一个非常复杂的问题。接触问题需要满足接触条件，即接触的物体间不可相互侵入；接触力是法向压力和切向摩擦力的合成，由于摩擦状态与接触界面大小、位置及接触状态密切相关，而这些未知因素往往又随着时间变化而变化。这使得齿轮接触问题在力学上表现为强的状态非线性问题；修形的渐开线齿形又具有几何非线性；当考虑承载大变形时则会产生材料的非线性。以上三重非线性的相互耦合造成齿轮接触问题计算时收敛困难，难于直接理论计算。目前广泛采用的接触应力经典计算方法是基于赫兹接触理论，该理论只对简单几何体计算有效，对如渐开线特别是修形齿形，计算中存在大量简化。随着计算机计算的发展，越来越多的研究人员采用有限元方法对接触非线性问题进行研究，计算过程不断的规范化和程序化，计算结果越来越直观，便于相关技术人员分析、校核。本文中我们也采用有限元方法计算点接触齿轮接触情况。有限元方法对接触问题分为“刚体柔体”和“柔体柔体”两种情况：前者通常是两种材料刚度相差较大，一个或多个被当作刚体，另一个当作柔体，接触分析时分别当作目标面和接触面进行计算；后者通常两种材料具有相同或相似的刚度，对于两个金属齿轮接触，可以考虑为“柔体柔体”接触问题。齿轮赫兹接触理论赫兹接触理论从研究光弹性力学发展起来，经过百余年发展已经趋于完善，在一定假设下可以解决大多数弹性接触问题，这些假定如下：（）接触系统由两个相互接触的物体组成，它们间不发生刚体运动。（）接触物体的变形是小变形，接触点可以预先确定，接触或分离只在两物体可能接触的相应点进行。（）应力、应变关系取线性。（）接触表面充分光滑。（）不考虑接触面的介质（如润滑油）、不计动摩擦影响。图两圆柱体的赫兹接触模型如图所示，轴线平行的两圆柱体接触时，若不加载，则二者沿长度为的一条直线接触，即所谓的线接触；若两圆柱体承载受作用力后，接触处将会发生弹性变形，接触线变为宽带为长度为的矩形接触面，接触端 面 中 心 单 位压力最大，其余各点按照半椭圆规律分布，在三维空间形成一个椭圆柱。因此在以上条假设下根据赫兹接触理论，两弹性圆柱体接触表面最大接触应力 （）式中，为接触半宽，赫兹接触理论中有 槡，单位；为法向压力，单位；为接触线长度，单位；、为两圆柱体材料的泊松比，无单位量纲；、为两圆柱体材料的弹性模量，单位；、为两圆柱体的半径，单位。机械传动 年则有 槡（）若接触两个材料为钢时，取泊松比，（外接触取“”号，内接触取“”号），则 槡（）齿轮接触应力计算就是以式（）此为基础，由于渐开线生成原理可知齿轮齿面使曲率渐变的曲线；同时承载齿数对也随着啮合位置的不同发生变化，至少是单齿、双齿啮合区承载来回发生变化，有的甚至要考虑三齿甚至更多齿啮合区；若是再考虑制造和安装误差以及修形曲线，则轮齿啮合时接触椭圆的应力计算非常复杂，实际计算是采用节点啮合位置近似计算，具有一定的参考价值，对于直齿轮根据齿轮啮合条件，两啮合齿轮模数、压力角相等，则有 （，）式中，为齿轮模数；为齿轮齿数；为压力角。考虑 代入式（），则有齿轮节点处接触应力近似公式 （槡）（）式（）只是在许多理想假设下的轮齿接触应力计算公式，例如，是名义载荷，实际计算时，还需要考虑齿间载荷分配系数、使用系数、动荷系数等因素，对其修正采用计算载荷，具体计算过程可参考文献。对于点接触齿轮而言，如图所示 ，接触面为椭圆，式（）不再适用。因此计算接触椭圆的几何参数是计算接触应力的必须工作，对于椭圆而言主要是长半轴 和短半轴，点接触下最大接触应力 则出现在椭圆面的中心，有 （）式中，长半轴 和短半轴 需要采用以下公式计算（）（）式中，、需要根据几何系数确定，根据接触点处弹性体在各自的正交平面上曲率半径分量相关 ；为两弹性体的当量弹性模量，有（）图弹性体的点接触模型虽然采用点接触计算公式非常复杂，但是从式（）与式（）的对比中可以发现，最大接触应力与载荷的关系，在点接触时立方根，而线接触时是平方根，因此在开始加载时，点接触应力大，随着载荷的增加，接触面积不断增大，最大接触应力增加开始缓慢。但不管是点接触和线接触，载荷与应力都呈现非线性关系，在用有限元进行仿真中均可以反映。齿轮摩擦接触实际传动转矩的两齿轮啮合时，由于轮齿间存在滑差率，齿面不但承受法向载荷，同时存在切向摩擦力。现代接触理论均是基于赫兹接触力学，适用于简单的几何形状的接触分析。由于齿轮不同啮合时刻曲率半径不断变化，以及载荷在啮合齿轮副间按照某种规律发布（变形协调理论），导致接触应力分析随着啮合位置不断变化，若考虑摩擦用经典赫兹接触理论已经不适用。现代齿轮接触应力分析多是基于陈万吉 教授的有限元混合法进行分析的。对齿轮进行有限元分析时，首先对齿轮力学模型进行离散化处理，特别是接触边界尽量划分合理，有利于计算的收敛。文献 给出了计算方法：先将个弹性接触体分别看作两个独立体，得到各自的有限元基本方程（，）（）式中，为弹性体的刚度矩阵；为弹性体的节点位移向量；为弹性体相互间的接触力；为外载荷。其中，和 为已知量；是最终需要求解的量，根据接触条件对接触边界的接触对建立接触条件，根据接触对柔度方程得到最终的简化的接触方程。过去为了节约机时通常采用柔度矩阵法求解三维问题，只需要得到齿轮的柔度矩阵即可完成接触分析，具体过程参考文献 。齿轮有限元分析传统齿轮接触分析在 的经典版本（即 ）中进行，不但接触设置复杂繁琐，而且通常只分析齿对的接触情况，如图所示为一对分齿模型，齿轮副分别为齿和齿，传统为了节约机时通常采用分齿模型，但其存在以下缺点：齿轮划分单第 卷第期齿轮线接触与点接触理论与有限元分析元更容易产生尖角，尤其是切割处，往往导致求解方程产生奇异矩阵，造成求解失败；边界条件施加困难，往往需要重新定义中心轴来确定转矩，别切割表面往往需要加载等效力；容易误操作。以笔者经验，全齿模型的工作量要小于分齿模型工作量一半以上。分齿模型虽然节约了机时，但对设计人员操作技术水平提出了更高的要求，同时增加了几何体切割和单元划分的工作难度，不利于缩短设计周期和有限元在齿轮接触分析中的进一步应用。随着硬件成本不断下降，尤其是大容量内存不再昂贵，而人力成本不断上升，产品的个性化以及设计节奏加快，建议使用全齿模型。图分齿模型目前，分析的对象是各种领域多场耦合，由单一的零部件分析发展到系统级的 装 配 体。本 文 中 采 用（），它 是 公司推出的一个集成化的协同仿真技术应用平台，使 工作早期介入物理样机。不仅继承了经典平台在有限元分析上的所有功能，还能真正提供 协同环境下的产品设计、仿真分析的协同管理，大大简化和加快了设计开发过程。和经典环境的使用相同的求解器，只是在界面更为人性化，建模更为实用化，协同仿真更为集成化。根据有限元方法的思想，求解过程基本一致：几何建模、网格划分、施加载荷工况与边界条件、求解器执行仿真分析，进一步反馈可进行优化设计。本文中取一对标准齿轮进行分析，其参数为。现在 中 进 行 建 模 装 配，导 入 中，如图所示，在 中的齿轮中进行网格划分，并且对该处的网格进行加密，如图 所示，最后划分共 单元，节点，然后对轮齿的接触部分设置摩擦系数（取，如图所示）两轮齿施加载荷（）和边界条件如图所示，对于静力学分析边界条件可以有多种，如采用转动副或圆柱体支撑，通过反复试验分析相同质量的网格下，后者容易更收敛。经过反复迭代计算，最终得到该齿轮副的接触应力情况，如图所示，其显示最大接触应力为 ，而采用公式计算，换算到小轮切向、径向、法向载荷分别为 、，计算结果为 ，两者相差。尽管式（）与仿真结果如此吻合，从科学的角度分析，笔者认为这并不能证明式（）具有很高的实用价值，因为仿真中如装配位置导致的啮合位置、摩擦因数，网格质量等均会对最终的仿真结果造成影响。本文中给出了一种修形齿轮，采用鼓形齿修形，齿高和齿长的修形量系数分别取 和 ，采用抛物线修形，最终可得齿高方向和齿长方法最大修形量分别为 和，相同工况和边界条件下，接触椭圆面积只有线接触的约，其接触应力接近 ，如图所示，大于大多数齿轮手册上根据经验公式计算的结果，如德国 标准计算为 。与线接触计算公式相比，这些手册给出的最终计算值都是偏安全的。图、图 分别为偏载条件为 的情况下，线接触和点接触仿真的接触应力，分别为 和 ，即偏载条件线接触和点接触的接触应力均有提高，但线接触容易发生边缘接触，从而导致接触应力急剧上升（增长了 倍），易造成零件的破坏，而点接触情况要明显优于线接触（增长不到倍）。表齿轮副的基本参数小轮大轮齿数 齿宽 模数 压力角（）螺旋角（）变位系数弹性模量 齿顶高系数 齿根高系数中心距 重合度 啮合效率 图齿轮几何模型图接触网格加密划分图接触系数设置图施加载荷和边界条件机械传动 年图线接触齿轮副的接触应力图图修形后的点接触齿轮接触应力图图 偏载（轴线）情况下线接触齿轮副的接触应力图图 偏载（轴线）情况下点接触齿轮副的接触应力图 结论对齿轮接触应力按照点接触和线接触进行了分析，并且进一步推导了线接触齿轮接触应力计算公式，分析了一对齿轮副在 下的接触应力情况，通过有限元分析可以发现：（）线接触是齿轮接触中的理想情况，虽然可能与赫兹接触公式比较接近，但是其真正的实用性可能会遭到质疑，通常设计手册中给出的接触应力都是经过一定修正的，计算结果将使设计偏安全。（）相同条件下，由于接触面积小，齿轮点接触计算结果明显大于线接触，其大小与修形量非常紧密的联系。但是随着载荷的进一步增加，点接触齿轮应力增加速度将放缓。（）实际点接触的修形量都是非常微小的，并且一些设计公式中的计算值都点接触较为接近，证明该公式更具有实用性。根据以上结论，齿轮接触问题还与很多因素都是密切相关的，但主要是接触面积，因此弹性体相关的弹性模量和泊松比都会集中体现，但无论是赫兹接触公式、半经验的计算公式还是仿真，都只能在一个定性分析的基础上，定量分析还需要试验进一步证实，尽管得到齿轮真实的接触应力是非常困难的，笔者仍然希望齿轮研究者能达成共识，深刻的认识到这一点。参考文献董学朱齿轮啮合理论基础 北京：中国机械工业出版社，：温诗铸，黄平，刘莹界面科学与技术 北京：清华大学出版社，：濮良贵，纪名刚机械设计 北京：高等教育出版社，：温诗铸，黄平摩擦学原理 北京：清华大学出版社，：陈万吉用有限元混合法分析弹性接触问题 大连工学院学报，（）：庞晓琛基于 的齿轮接触问题研究 起重运输机械，（）：收稿日期：收修改稿日期：基金项目：国家自然科学基金（，）河南省高校科技创新团队支持计划（）河南省高等院校自然科学基金（）河南科技大学重大前期预研（）作者简介：徐恺（），男，河南林州人，博士第 卷第期齿轮线接触与点接触理论与有限元分析