不等式的证明（学生用）.doc

不等式的证明
教学目标
熟悉不等式的基本性质；探索并了解基本不等式的证明过程，掌握两个正数的算术平均数与几何平均数定理；能熟练运用比较法、分析法、综合法等来证明不等式。
知识要点
1、复习不等式的基本性质
（1）；
（2），；，
（3）；，
（4），；，；
，；
（5）；
（6）
2.基本不等式
（1）定理：如果是正数，那么（当且仅当时取“=”）。
定理如何证明？
说明：10这个定理适用的范围：；
20我们称的算术平均数，称的几何平均数。
即：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
（2）基本不等式的常用变形

（3）的几何解释：（如图1）以为直径作圆，在直径上取一点， 过作弦，则，从而，而半径

（图1）
基本不等式几何意义是：“半径不小于半弦”
（4）推广：

（5）拓展：
如果a,b都是正数，
那么 （当仅当a=b时取等号）
例题选讲：
巩固练习：
1. 设为非零实数，且则下列命题成立的是
（1） （2） （3） （4）
2．不等式①；②，其中恒成立的是_________.
3．设，，则以下不等式中不恒成立的是_________.
A． B．
C． D．
4．与与的大小关系是 .
5．若且，则①；②；③中不成立的不等式序号是 。
6、已知：，求证： .

7、已知，求证．

8、已知都是正数，并且，求证：

9、已知，求证：

10.已知都是正数，求证：

11．设，求证；

12、若，且为非负实数，求证：．

13求证：．

14、设，
（1）求证：；
（2）求证：．

15．要使对所有正数、都成立，试问的最小值是多少？