课时跟踪检测(二十四)解三角形应用举例.doc

课时跟踪检测(二十四)　解三角形应用举例

第Ⅰ组：全员必做题
1.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　)
A．北偏东10° B．北偏西10° C．南偏东80° D．南偏西80°
2.如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知AB＝50 m，BC＝120 m，于A处测得水深AD＝80 m，于B处测得水深BE＝200 m，于C处测得水深CF＝110 m，则∠DEF的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
3.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m、50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．75°
4．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是(　　)
A．50 m B．100 m C．120 m D．150 m
5．(2014·厦门模拟)在不等边三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，其中a为最大边，如果sin2(B＋C)<sin2B＋sin2C，则角A的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
6.(2014·大连联合模拟)如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是________．

7.(2013·福建高考)如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD的长为________．
8．某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20 m，则折断点与树干底部的距离是________ m.
9．在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A处(－1)海里的B处有一艘走私船；在A处北偏西75°方向，距离A处2海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船．同时，走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多少时间？

10．(2013·江苏高考)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cos A＝，cos C＝.
(1)求索道AB的长；
(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？

第Ⅱ组：重点选做题
1.如图，一艘船上午9∶30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°的方向，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10∶00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°的方向，且与它相距8 n mile.此船的航速是________n mile/h.　
2．(2013·湖北八市联考)如图所示，已知树顶A离地面米，树上另一点B离地面米，某人在离地面米的C处看此树，则该人离此树________米时，看A，B的视角最大．

答 案

第Ⅰ组：全员必做题
1．选D　由条件及图可知，∠A＝∠B＝40°，
又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，
所以∠DBA＝10°，
因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.
2．选A　
如图所示，作DM∥AC交BE于N，交CF于M.
DF＝
＝＝
10(m)，
DE＝
＝＝130(m)，
EF＝
＝＝150(m)．
在△DEF中，由余弦定理，
得cos ∠DEF＝＝
＝.故选A.
3．选B　依题意可得AD＝20 (m)，AC＝30(m)，又CD＝50(m)，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝＝＝＝，又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.
4．选A　设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝h，根据余弦定理得，(h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos 60°，即h2＋50h－5 000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50 m.
5．选D　由题意得sin2A<sin2B＋sin2C，再由正弦定理得a2<b2＋c2，即b2＋c2－a2>0.
则cos A＝>0，
∵0<A<π，∴0<A<.
又a为最大边，∴A>.
因此得角A的取值范围是.
6．解析：在△BCD中，CD＝10，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，＝，BC＝＝10.在Rt△ABC中tan 60°＝，AB＝BCtan 60°＝10.
答案：10
7．解析：因为sin∠BAC＝，且AD⊥AC，
所以sin＝，
所以cos∠BAD＝，在△BAD中，由余弦定理得，
BD＝
＝ ＝.
答案：
8．解析：如图，设树干底部为O，树尖着地处为B，折断点为A，
则∠ABO＝45°，
∠AOB＝75°，
所以∠OAB＝60°.
由正弦定理知，＝，
解得AO＝ m.
答案：
9．解：如图，设缉私船t小时后在D处追上走私船，
则有CD＝10t，
BD＝10t.
在△ABC中，
AB＝－1，AC＝2，
∠BAC＝120°.
利用余弦定理可得BC＝.
由正弦定理，得
sin∠ABC＝sin∠BAC＝×＝，
得∠ABC＝45°，即BC与正北方向垂直．
于是∠CBD＝120°.
在△BCD中，由正弦定理，得
sin∠BCD＝
＝＝，
得∠BCD＝30°，∴∠BDC＝30°.
又＝，＝，得t＝.
所以缉私船沿北偏东60°的方向能最快追上走私船，最少要花小时．
10．解：(1)在△ABC中，
因为cos A＝，cos C＝，
所以sin A＝，sin C＝.
从而sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)
＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝.
由正弦定理＝，
得AB＝·sin C＝×＝1 040(m)．
所以索道AB的长为1 040 m.
(2)假设乙出发t min后，甲、乙两游客距离为d，
此时，甲行走了(100＋50t) m，乙距离A处130t m，
所以由余弦定理得
d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×＝200(37t2－70t＋50)．
由于0≤t≤，即0≤t≤8，
故当t＝(min)时，甲、乙两游客距离最短．
(3)由正弦定理＝，
得BC＝·sin A＝×＝500(m)．
乙从B出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，
还需走710 m才能到达C.
设乙步行的速度为v m/min，由题意得－3≤－≤3，解得≤v≤，
所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，
乙步行的速度应控制在，(单位：m/min)范围内．
第Ⅱ组：重点选做题
1．解析：设航速为v n mile/h，
在△ABS中AB＝v，BS＝8，
∠BSA＝45°，
由正弦定理得＝，则v＝32.
答案：32
2．解析：过C作CF⊥AB于点F，设∠ACB＝α，∠BCF＝β，

由已知得AB＝－＝5(米)，BF＝－＝4(米)，AF＝－＝9(米)．
则tan(α＋β)＝＝，
tan β＝＝，∴tan α＝[(α＋β)－β]
＝＝
＝≤＝.
当且仅当FC＝，即FC＝6时，
tan α取得最大值，此时α取得最大值．
答案：6