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从特殊 到一般
------------一个数学问题的研究
(西安美术学院临潼校区 陕西省小学教师培训中心 王凯成 710600)

人教版小学数学课标教材五年级上册第87页第7题是：“把一个三角形分成四个面积相等的三角形，可以怎样分？你能想出几种方法？”
把一个三角形分成四个面积相等的三角形，这涉及到三角形面积的剖分,能找到多少种小学生能理解的剖分方法呢？笔者在文[1]《一个剖分问题的分类研究》中找到了小学生能理解（利用“等底等高的两个三角形等积”的原理）的106种剖分方法. 实际上,还有2种剖分方法,要数形结合，用解析几何的方法.
一、 先找一个实例
为了找到一个实例，首先选择一个特殊的直角三角形，如图1所示. 三角形ABC的A

点与坐标原点重合，B点在x轴的正半轴上，C点在y轴的正半轴上. A、B、C的坐标依次是 A(0,0)、B(4,0)、C(0,2). 则三角形ABC的面积为4. 如图1，设
, . 这时，只要再满足.
如图1，由D、F、A三点共线知：
由E、F、C三点共线知：
由B、D、E三点共线知：
由即知：，或
(由要么推出为负值，要么推出为负值，所以舍去).
由与消去有：
由与消去有：
再由与消去有：，由知，所以，.
变形为：.
由与知：与是的根. 解知：.
(1). 当时，即. 再由知：. 再由知：. 所以D、E、F的坐标为、、.如图1所示.
(2). 当时，=即. 再由知：. 再由知：.所以D、E、F的坐标为、、.如图2所示.
二、 任意直角三角形
把直角顶点A与坐标原点重合即A(0,0)，如图1，设B、C、D、E、F的坐标为B(4a,0)、C(0,2c)、D(,)、E()、F()，. 这时已有，所以只要就可以推出.
由D、F、A三点共线知：
由E、F、C三点共线知：
由B、D、E三点共线知：
由知：
由与消去有：
由与消去有：
再由与消去有：
变形为：
由与知：与是的根. 解得：.
(1). 当即时，即. 再由知：. 再由知：. 所以D、E、F的坐标为、、. 如图1所示.
(2). 当即时，即. 再由知：. 再由知：.所以D、E、F的坐标为、、. 如图2所示.
三、 任意三角形
对于三角形ABC，不妨设，把A与坐标原点重合即A(0,0)，如图3，

设、、、、，
= . 这时已有，所以只要就可以推出.
由D、F、A三点共线知：
由E、F、C三点共线知：
由B、D、E三点共线知：
由知：
由知:
由与消去有：
由与消去有：
再由与消去有：
由与(*)消去有: ,即为

由与知：与是的根.
解方程得: .
(1). 当即时, 即. 再由知: . 再由知：. 再由知: .
所以D、E、F的坐标为、、. 如图3所示.
(2). 当即时，即.再由知: .再由知：.再由知: .
所以D、E、F的坐标为 . 如图4所示.
由以上结论可知：当三角形ABC的坐标是A(0,0)、B(,0)、C(b,c)时，、b、c皆正，若取,或取
，都有：.
所以，把一个三角形分成四个面积相等的三角形，一共有108种剖分方法.
参考文献
1.王凯成,一个剖分问题的分类研究,中学数学教学参考初中版,2011年第7期.