解决梯形问题的几种辅助线添法.doc

解决梯形问题的几种辅助线添法
甘肃省武都区佛崖中学 林路灵
关键词：梯形问题；辅助线；添法
梯形问题通过添加适当的辅助线，转化为平行四边形（或矩形）与三角形（或特殊的三角形）来解决，可化复杂为简单，常见辅助线添法如下六种，现举例说明
1、过梯形的上底作两条高（或一条高 ）.
例 已知等腰梯形的锐角等于600,它的两底分别是15cm、49cm,求它的腰长.
E
图1
A
D
B
C
F
解:如图1.过点A、D分别作AE⊥BC于E,DF⊥BC于F，
则四边形AEFD是矩形.∴AD=EF=15cm.
∵ABCD 是等腰梯形,∴BE=FC== 17cm.
又∠B=600,∴∠BAE=300,∴AB=2BE=34cm.
2、平移一腰
例 在梯形ABCD中，AB∥CD,∠C=750,∠D=30 0.求证:AD=DC-AB.
E
图2
A
B
C
D
1
2
解:如图2.过A作AE∥BC交DC于E，则四边形AECB是平行四边形.
∴∠1=∠C=750 .又∠D=300,∴∠2=750.
∴∠1=∠2. ∴AD=DE.
∵AB=EC,DE=DC-EC, ∴AD=DC-AB.
3、平移一条对角线
例 已知:梯形ABCD中AD∥BC,对角线AC=BD.求证:AB=CD.
图3
A
B
C
D
E
1
2
证明:如图3.过D作DE∥AC交BC的延长线于E,则四边形ACED是平行四边形.∴AC=DE.
∵BD=AC,∴BD=DE.∴∠2=∠E.
∵∠1=∠E,∴∠1=∠2.又BC=CB,AC=DB,
∴ ABC≌DCB(SAS).∴AB=DC.
4、延长两腰
1
2
B
A
D
C
E
图4
例 梯形ABCD中AD∥BC,∠B=∠C.
求证: 梯形ABCD是 等腰梯形 .
证明:如图4.分别延长BA、CD相交于E.
∵AD∥BC,∴∠1=∠B,∠2=∠C.
∵∠B=∠C,∴∠1=∠2.
∴AE=DE.又BE=CE,∴BA=CD 即梯形ABCD是 等腰梯形 .
5、取一 腰中点割补
例 如图5.E是梯形ABCD腰CD的中点.求证:S= S.
证明:过E分别作EF⊥AB于F, MN∥AB交BC于N,交AD延长的线于M.则四边形ABNM是平行四边形.∴∠M=∠1.
图5
A
B
C
D
E
F
M
N
1
3
4
∵∠3=∠4,DE=CE,∴ ΔDEM≌ΔCEN.
∴S= S.
∴S= S=AB×EF.
又S=AB×EF.∴S= S.
6、作中位线
例 如图6.梯形ABCD中AD∥BC,∠DAB=900, E为CD的中点.
E
A
B
C
D
F
图6
求证:AE=BE.
证明:过E作EF∥AD交AB于F.
∵AD∥EF∥BC, E为CD的中点,
∴AF=BF.
∵∠DAB=90 ,AD∥EF,∴EF⊥AB.
∴EF是AB的垂直平分线.∴AE=BE.
7、有的问题并不是添一条辅助线就可解决,而是添加几条才能解决,但它没有离开以上六种基本添法.
例 等腰梯形ABCD中，BD = BC 、AC ⊥BD于M . 求证:CM =(AD + BC) .
图7
A
B
C
D
E
F
M
证明:如图7 过D分别作DF⊥BC于F，DE∥AC交BC的延长线于E.则四边形ACED是平行四边形.∴AD=CE,AC=DE.
∵梯形ABCD是等腰梯形,
∴BD=AC.∴BD=DE.
∵AC⊥BD,AC∥DE,∴BD⊥DE.
∴ΔBDE是等腰直角三角形.
∵DF⊥BC,∴DF是等腰RtΔBDE斜边BE的中线.
∴DF=BE=(BC ＋CE)= (BC＋AD).
∵BD=BC，∠MBC=∠FBD，∠BMC=∠BFD，
∴ΔBCM≌ΔBFD. ∴CM=DF.∴CM=(BC＋AD).
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