直线的倾斜角和斜率讲义.doc

个性化辅导讲义
学生： 科目：数学 教师： 第 阶段第 次课 2013年 月 日
课 题：直线的倾斜角与斜率
授课内容：
一． [要点分析]
（一）、直线的倾斜角与斜率
1、倾斜角的概念：
（1）倾斜角：当直线与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线向上方向之间所成的角a叫做直线的倾斜角。
（2）倾斜角的范围：当与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角a为0°因此0°≤a＜180°。
2、直线的斜率
（1）斜率公式：K=tana（a≠90°）
（2）斜率坐标公式：K= （x1≠x2）
（3）斜率与倾斜角的关系：一条直线必有一个确定的倾斜角，但不一定有斜率。当a=0°时，k=0；当0°＜a＜90°时，k＞0，且a越大，k越大；当a=90°时，k不存在；当90°＜a＜180°时，k＜0，且a越大，k越大。
（二）、两直线平行与垂直的判定
1、两直线平行的判定：
（1）两条不重合的直线的倾斜角都是90°，即斜率不存在，则这两直线平行；
（2）两条不重合的直线，若都有斜率，则k1=k2 Û ∥
2、两直线垂直的判定：
（1）一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在，则这两直线垂直；
（2）如果两条直线、的斜率都存在，且都不为0，则⊥ Û k1·k2=－1
二．[例题分析]
例1、△ABC为正三角形，顶点A在x轴上，A在边BC的右侧，∠BAC的平分线在x轴上，求边AB与AC所在直线的斜率。
分析：如右图，由题意知∠BAO=∠OAC=30°
∴直线AB的倾斜角为180°－30°=150°，直线AC的倾斜角为30°，
∴kAB=tan150°=－ kAC=tan30°=
例2、若经过点P（1－a，1＋a）和Q（3，2a）的直线的倾斜角为钝角，求实数a的取值范围。
分析：∵k=且直线的倾斜角为钝角，
∴＜0 解得－2＜a＜1
例3、已知经过点A（－2，0）和点B（1，3a）的直线与经过点P（0，－1）和点Q（a，－2a）的直线互相垂直，求实数a的值。
分析：的斜率k1=
当a≠0时，的斜率k2=
∵⊥ ∴k1·k2=－1，即a×=－1 得a=1
当a=0时，P（0，－1），Q（0，0），这时直线为y轴，A（－2，0）、B（1，0），这时直线为x轴，显然⊥
综上可知，实数a的值为1和0。
例4.已知A、B、P、Q、四点的坐标，试判断直线BA与PQ的位置关系, 并证明你的结论.
O
y
X

（1）A(2,3), B(-4,0), P(-3,1), Q(-1,2),

O
y
X

（2）A(-6,0), B(3,6), P(0,3), Q(-2,6),

O
y
X

变式一：已知、、 三点，求点D的坐标，使直线且，

O
y
X

例5.已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0), B(2,-1), C(4,2), D(2,3), 试判断四边形ABCD的形状,并给出证明.

O
y
X

例6． 已知A(5,-1), B(1,1), C(2,3), 试判断三角形ABC的形状.

变式2、已知四边形ABCD的顶点 、、、，求证：四边形ABCD为矩形
O
y
X

例7、直线l上有两点M（a，a+2），N（2，2a-1），求l的倾斜角θ。
提示：斜率
（1）当时，即a<2或a>3时，k<0，此时l的倾斜角为
（2）当时，即2<a≤3时，k≥0，此时直线l的倾斜角为
（3）当a=2时，直线l的斜率不存在，其倾斜角为
例8、已知两条直线和，当为何值时，与（1）平行，（2）相交，（3）重合。
（1）；（2）且；（3）
例9、两个定点、和一个动点P（x，y），若P与、三点共线，那么x、y应满足什么关系？
提示：∵，
∵、、P三点共线∴即
∴x、y应满足时，、、P三点共线

三、学生对于本次课的评价：
○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差
学生签字：
四、教师评定：
1、 学生上次作业评价： ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差
2、 学生本次上课情况评价： ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差

教师签字：

教研组签字： 教务处签字：
教务处盖章

[课后练习]
1、若经过P（－2，m）和Q（m，4）的直线的斜率为1，则m=（ ）
A、1 B、4 C、1或3 D、1或4
2、若A（3，－2），B（－9，4），C（x，0）三点共线，则x=（ ）
A、1 B、－1 C、0 D、7
3、直线经过原点和（－1，1），则它的倾斜角为（ ）
A、45° B、135° C、45°或135° D、－45°
4、下列说法正确的有（ ）
①若两直线斜率相等，则两直线平行；
②若∥，则k1=k2；
③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交；
④若两直线斜率都不存在，则两直线平行。
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
5、直线、的斜率是方程x2－3x－1=0的两根，则与的位置关系是（ ）
A、平行 B、重合 C、相交但不垂直 D、垂直
6、给定三点A（1，0）、B（－1，0）、C（1，2），则过A点且与直线BC垂直的直线经过点（ ）
A、（0，1） B、（0，0） C、（－1，0） D、（0，－1）
7、如右图中直线、、的斜率分别为k1、k2、k3。则
A、k1＜k2＜k3 B、k3＜k1＜k2
C、k3＜k2＜k1 D、k1＜k3＜k2
8、若直线l的斜率k=sinθ，其倾斜角的取值范围是_________。
9、已知点P(3 2)，点Q在x轴上，若直线PQ的倾斜角为150°，则点Q的坐标为 .

10、已知点M（2，2）和N（5，－2），点P在x轴上，且∠MPN为直角，求点P的坐标。

11、求证：A（1，－1），B（―2，―7），C（0，－3）三点共线。

12、已知A（1，－1），B（2，2），C（3，0）三点，求点D，使直线CD⊥AB，且CB∥AD。

1、A 2、B 3、B 4、A 5、D 6、A 7、B
8、 9、
10、设点P的坐标为（x，0）
kPM=， kPN=
∵∠MPN为直角 ∴PM⊥PN，kPM·kPN=－1
∴×=－1 解得x=1或x=6
∴点P的坐标为（1，0）或（6，0）
11、∵kAB=2 kAC=2 ∴kAB= kAC
∴直线AB与AC的倾斜角相同且过同一点A
∴直线AB与AC为同一直线，故A、B、C三点共线。
12、设D（x，y），则kCD=，kAB=3，kCD=－2，kAD=
∵kCD ·kAB=－1， kCB= kAD
×3=－1 x=0
∴ ∴ 即D（0，1）
－2= y=1
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