金融时间序列分析 第三次作业.docx

3.4

模型为AR(1)-GARCH(1,1)，假定εt服从自由度为v的标准化的t分布，导出数据的条件对数似然函数。

数据为r=[r1, r2, …… rn]
模型为

rt=u+φ1rt-1+at
at=σtεt
σt2=α0+α1at-12+β1σt-12

由于εt服从自由度为v的标准化的t分布，所以有εt的概率密度函数为

f(εt)=Гv+12Гv2v-2π1+εt2v-2-(v+1)/2

其中Г(x)为Gamma函数（Гx=0infyx-1e-ydy）
由于at=σtεt，at的条件似然函数为

f(am+1,……,at)=t=m+1TГv+12Гv2v-2π1σt1+εt2(v-2)σt^2-(v+1)/2

所以对数条件似然函数为

L=T{ln(Гv+12)-ln(Гv2)-12ln[(v-2)n]}- 12t=1T[ln(σt2)+(1+v)ln(1+ at^2(v-2)σt^2)]

带入实际的数据
T=t，at=rt-u-φ1rt-1，同时又有σt2=α0+α1at-12+β1σt-12，所以有了第一个σ1后就可以递推出其余的σt。

3.5
对Intel股票的对数收益率建立GARCH模型，并进行向前1到5步的波动率预测。

数据的图形如下：

同时ACF和PACF如下：

可知模型的基本形式应该为MA(1)。

尝试对残差建立ARMA(0,1)~Garch(1,1)模型，结果为

*-----------------------------------------------------*
* GARCH Model Fit *
*-----------------------------------------------------*

Conditional Variance Dynamics
-----------------------------------
GARCH Model : sGARCH(1,1)
Mean Model : ARFIMA(1,0,0)
Distribution : norm

Optimal Parameters
------------------------------------
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
mu 0.025807 0.006441 4.00645 0.000062
ar1 0.027009 0.054726 0.49353 0.621640
omega 0.001235 0.000615 2.00819 0.044624
alpha1 0.089186 0.033309 2.67753 0.007417
beta1 0.836646 0.055546 15.06232 0.000000

LogLikelihood : 238.1461

检验残差的ACF

发现模型可以满足要求。

所以最终拟合的Garch模型为

(1-0.027009*B)yt=0.025807+εt
εt =ut*ht ht~N(0,σn2)
ut2=0.001235+0.089186*at-12+0.836646*σt-12

下面是向前1到5步的预测结果

*---------------------------------------------------------*
* GARCH Model Forecast *
*---------------------------------------------------------*
Model: sGARCH
Horizon: 10
Roll Steps: 0
Out of Sample: 0

0-roll forecast:
sigma series
373 0.1233 0.02426
374 0.1236 0.02603
375 0.1240 0.02607
376 0.1243 0.02608
377 0.1246 0.02608

其中372就是03年12月的数据

下图是预测结果趋势图

3.6
(a)利用对数收益率和5%的显著性水平检验对数收益率中的相关性。

观察对数收益率的ACF图形

可以发现明显的一阶相关性。

取12阶滞后的Ljung&Box检验的结果如下

Box-Ljung test

data: mrk
X-squared = 24.3218, df = 12, p-value = 0.01838

发现有显著的自相关性。

尝试对序列建立ARMA(1,0)模型

arima(x = mrk, order = c(1, 0, 0))

Coefficients:
ar1 intercept
-0.0911 0.0121
s.e. 0.0380 0.0024

sigma^2 estimated as 0.004746: log likelihood = 868.06, aic = -1730.13

残差mrk$residuals=(1+0.0911*B)mrkt没有序列相关。

(b)利用Ljung&Box统计量，在6以及12个间隔下验证序列的ARCH效应。

令arch=mrk$residuals^2，进行Ljung&Box检验

间隔为6：
Box-Ljung test

data: arch
X-squared = 25.0263, df = 6, p-value = 0.0003376

间隔为12：
Box-Ljung test

data: arch
X-squared = 35.2562, df = 12, p-value = 0.0004263

在5%的显著性水平下无论是6还是12的间隔都是有显著的ARCH效应。

(c)对数据识别一个ARCH模型，然后拟合

*------------------------------------------------------*
* GARCH Model Fit *
*------------------------------------------------------*

Conditional Variance Dynamics
-----------------------------------
GARCH Model : sGARCH(1,0)
Mean Model : ARFIMA(1,0,0)
Distribution : norm

Optimal Parameters
------------------------------------
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
mu 0.012269 0.002411 5.0894 0.000000
ar1 -0.080221 0.040635 -1.9742 0.048358
omega 0.004433 0.000298 14.8977 0.000000
alpha1 0.066349 0.043029 1.5420 0.123084
模型形式为：

(1+0.080221*B)mrkt=0.012269+εt
εt =ut*ht ht~N(0,σn2)
ut2=0.004433+0.066349*at-12

下面是拟合的残差图以及置信区间，发现拟合是有效的。

3.7
(a)利用Ljung&Box统计量，在6以及12个间隔下验证对数收益率的ARCH效应。

为了检验3m数据的ARCH效应，将Ljung&Box应用于mmm^2序列

6个间隔：
Box-Ljung test

data: mmm^2
X-squared = 22.5644, df = 6, p-value = 0.0009563

12个间隔
Box-Ljung test

data: mmm^2
X-squared = 29.9574, df = 12, p-value = 0.002834

无论是6或者12个间隔，都是在5%的水平下有显著的ARCH效应的。

(b)用收益率平方的PACF识别一个ARCH模型并拟合。

PACF图形为

序列平方项有2阶的偏自相关，所拟合的应该是一个ARCH(2)模型。

*---------------------------------------------------*
* GARCH Model Fit *
*---------------------------------------------------*

Conditional Variance Dynamics
-----------------------------------
GARCH Model : sGARCH(2,0)
Mean Model : ARFIMA(0,0,0)
Distribution : norm

Optimal Parameters
------------------------------------
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
mu 0.012084 0.002294 5.2671 0.000000
omega 0.003195 0.000273 11.6992 0.000000
alpha1 0.094952 0.048639 1.9522 0.050916
alpha2 0.134261 0.056703 2.3678 0.017894

模型为：

yt=0.012084+εt
εt =ut*ht ht~N(0,σn2)
ut2=0.003195+0.094952*at-12+0.134261* at-22

(c)利用前690个数据重新拟合，并对691到695的数据进行预测

*------------------------------------------------------*
* GARCH Model Fit *
*------------------------------------------------------*

Conditional Variance Dynamics
-----------------------------------
GARCH Model : sGARCH(2,0)
Mean Model : ARFIMA(0,0,0)
Distribution : norm

Optimal Parameters
------------------------------------
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
mu 0.011836 0.002297 5.1527 0.000000
omega 0.003169 0.000274 11.5532 0.000000
alpha1 0.098426 0.049248 1.9986 0.045653
alpha2 0.137802 0.057628 2.3912 0.016792

yt=0.011836+εt
εt =ut*ht ht~N(0,σn2)
ut2=0.003169+0.098426*at-12+0.137802* at-22

预测结果为

*--------------------------------------------------------*
* GARCH Model Forecast *
*--------------------------------------------------------*
Model: sGARCH
Horizon: 10
Roll Steps: 0
Out of Sample: 0

0-roll forecast:
sigma series
691 0.06068 0.01184
692 0.06510 0.01184
693 0.06398 0.01184
694 0.06447 0.01184
695 0.06436 0.01184

下面是预测图：

(d)对3M股票的对数收益率建立ARCH-M模型，并在5%的水平下检验风险溢价为0的假设。

考虑到数据的PACF图形中有2阶的回归，建立ARCH(2)-M的模型：

rt=u+c*σt2+at
at=σtεt
σt2=α0+α1at-12+β1σt-12

拟合结果为：

*-------------------------------------------------------*
* GARCH Model Fit *
*-------------------------------------------------------*

Conditional Variance Dynamics
-----------------------------------
GARCH Model : sGARCH(2,0)
Mean Model : ARFIMA(0,0,0)
Distribution : norm

Optimal Parameters
------------------------------------
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
mu 0.030460 0.021888 1.39164 0.164033
archm -0.297533 0.352062 -0.84511 0.398046
omega 0.003172 0.000273 11.60546 0.000000
alpha1 0.093721 0.047570 1.97017 0.048819
alpha2 0.141510 0.056890 2.48744 0.012867

rt=0.030460-0.297533σt2+at
at=σtεt
σt2=0.003172+0.093721at-12+0.141510 at-22

下面是拟合结果的检验图：

可知拟合是有效的。

同时关注系数archm的t值，可以发现对应的P值大于5%，所以系数是显著的，也就是说风险溢价为0的假设不成立。

(e)利用前690个数据建立一个EGARCH模型，并进行向前1到5步的预测。

由于数据的一阶自相关性，对数据建立AR(1)~EGARCH(1,1)的模型。

*---------------------------------------------------*
* GARCH Model Fit *
*---------------------------------------------------*

Conditional Variance Dynamics
-----------------------------------
GARCH Model : eGARCH(1,1)
Mean Model : ARFIMA(1,0,0)
Distribution : norm

Optimal Parameters
------------------------------------
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
mu 0.010652 0.002204 4.83244 0.000001
ar1 -0.064397 0.040323 -1.59705 0.110254
omega -0.929434 0.454867 -2.04331 0.041022
alpha1 -0.018260 0.031722 -0.57563 0.564866
beta1 0.831434 0.082353 10.09601 0.000000
gamma1 0.198772 0.062164 3.19754 0.001386

所以模型为：

rt=0.010652-0.064397*rt-1+at
at=σtεt
ln(σt2)=α0+ 11+0.018260*B*g(εt-1)
g(εt)= 0.831434*εt +0.198772*[|εt |-E(|εt |)]

预测结果为：

*------------------------------------------------------------*
* GARCH Model Forecast *
*------------------------------------------------------------*
Model: eGARCH
Horizon: 10
Roll Steps: 0
Out of Sample: 0

0-roll forecast:
sigma series
691 0.05690 0.005967
692 0.05796 0.010954
693 0.05886 0.010633
694 0.05961 0.010653
695 0.06025 0.010652

走势图为：

3.8
(a)建立一个带高斯新息的GARCH模型并检验

首先检查数据GM的ACF和PACF图形

GM数据的均值模型为MA(1)。

对建立的MA(1)模型的残差平方再次检验其ACF和PACF

发现合适的模型为ARMA(0,1)~GARCH(3,1)，对此进行拟合：

*---------------------------------------------------*
* GARCH Model Fit *
*---------------------------------------------------*

Conditional Variance Dynamics
-----------------------------------
GARCH Model : sGARCH(3,1)
Mean Model : ARFIMA(0,0,1)
Distribution : norm

Optimal Parameters
------------------------------------
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
mu 0.011782 0.002862 4.117242 0.000038
ma1 0.063162 0.043295 1.458858 0.144604
omega 0.000157 0.000078 2.018931 0.043494
alpha1 0.084301 0.061810 1.363884 0.172604
alpha2 0.002563 0.062282 0.041150 0.967176
alpha3 0.000000 0.001070 0.000205 0.999837
beta1 0.884549 0.033406 26.478370 0.000000

rt=0.011782+ at+0.063162* at-1
at=σtεt
σt2=0.000157+0.084301*at-12 +0.884549σt-12
（其中alpha2和alpha3的系数为不显著的）

拟合结果的图形为：

拟合为有效的。

(b)建立一个带高斯新息的GARCH-M模型并检验

根据上面检测的结论，所建立的GARCH-M模型形式为ARMA(0,1)~GARCH(1,1)-M

*---------------------------------*
* GARCH Model Fit *
*---------------------------------*

Conditional Variance Dynamics
-----------------------------------
GARCH Model : sGARCH(1,1)
Mean Model : ARFIMA(0,0,1)
Distribution : norm

Optimal Parameters
------------------------------------
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
mu 0.006953 0.013328 0.52168 0.601892
ma1 0.061927 0.043448 1.42532 0.154063
archm 0.079453 0.208605 0.38088 0.703292
omega 0.000151 0.000073 2.05206 0.040164
alpha1 0.085087 0.024677 3.44795 0.000565
beta1 0.887439 0.031145 28.49382 0.000000

所以拟合的模型为：

rt=0.006953+0.079453*σt2+at +0.061927*at-1
at=σtεt
σt2=0.000151+0.085087at-12+0.887439σt-12

(c)建立一个带学生t新息的GARCH模型，估计自由度v并写出拟合的模型。在5%的水平下检验假设H0：v=6。

对GM数据建立MA(1)~GARCH(1,1)模型，同时将残差序列设为student分布。

*---------------------------------------------------*
* GARCH Model Fit *
*---------------------------------------------------*

Conditional Variance Dynamics
-----------------------------------
GARCH Model : sGARCH(1,1)
Mean Model : ARFIMA(0,0,1)
Distribution : std

Optimal Parameters
------------------------------------
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
mu 0.010291 0.002590 3.9734 0.000071
ma1 0.052045 0.042122 1.2356 0.216615
omega 0.000141 0.000093 1.5105 0.130914
alpha1 0.066805 0.025940 2.5754 0.010012
beta1 0.906084 0.039036 23.2117 0.000000
shape 9.100371 2.988367 3.0453 0.002325

模型形式为

rt=0.010291+ at+0.052045* at-1
at=σtεt
σt2=0.000141+0.066805*at-12 +0.906084σt-12

同时可以看到，自由度的预估值为9.1，均方误差为2.988367，显著不为6。

(d)对GM数据建立EGARCH模型。

对GM数据建立ARMA(0,1)~EGARCH(1,1)模型。

*-----------------------------------------------------*
* GARCH Model Fit *
*-----------------------------------------------------*

Conditional Variance Dynamics
-----------------------------------
GARCH Model : eGARCH(1,1)
Mean Model : ARFIMA(0,0,1)
Distribution : norm

Optimal Parameters
------------------------------------
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
mu 0.009111 0.002624 3.4726 0.000515
ma1 0.081075 0.042053 1.9279 0.053866
omega -0.158949 0.088744 -1.7911 0.073278
alpha1 -0.031275 0.025569 -1.2232 0.221263
beta1 0.969952 0.016282 59.5731 0.000000
gamma1 0.181106 0.045228 4.0043 0.000062

rt=0.009111+at-0.081075* at -1
at=σtεt
ln(σt2)= -0.158949+ 11+0.031275*B*g(εt-1)
g(εt)= 0.969952*εt +0.181106*[|εt |-E(|εt |)]

(e)对所有的模型进行向前1到6步的预测，并进行比较。

这是EGARCH的预测结果：

*------------------------------------*
* GARCH Model Forecast *
*------------------------------------*
Model: eGARCH
Horizon: 6
Roll Steps: 0
Out of Sample: 0

0-roll forecast:
sigma series
649 0.08271 0.026335
650 0.08234 0.009111
651 0.08197 0.009111
652 0.08162 0.009111
653 0.08128 0.009111
654 0.08095 0.009111

这是GARCH的预测结果：

*------------------------------------*
* GARCH Model Forecast *
*------------------------------------*
Model: sGARCH
Horizon: 6
Roll Steps: 0
Out of Sample: 0

0-roll forecast:
sigma series
649 0.09606 0.026985
650 0.09551 0.009676
651 0.09498 0.009676
652 0.09445 0.009676
653 0.09394 0.009676
654 0.09344 0.009676

这是残差服从t分布的GARCH的预测结果：

*------------------------------------*
* GARCH Model Forecast *
*------------------------------------*
Model: sGARCH
Horizon: 5
Roll Steps: 0
Out of Sample: 0

0-roll forecast:
sigma series
649 0.09430 0.022158
650 0.09371 0.009051
651 0.09314 0.009051
652 0.09258 0.009051
653 0.09204 0.009051
654 0.09150 0.009051

对比如下：

sigma
series
GARCH
GARCH~t
EGARCH
GARCH
GARCH~t
EGARCH
649
0.09606
0.09430
0.08271
0.022158
0.026985
0.026335
650
0.09551
0.09371
0.08234
0.009051
0.009676
0.009111
651
0.09498
0.09314
0.08197
0.009051
0.009676
0.009111
652
0.09445
0.09258
0.08162
0.009051
0.009676
0.009111
653
0.09394
0.09204
0.08128
0.009051
0.009676
0.009111
654
0.09344
0.09150
0.08095
0.009051
0.009676
0.009111

GARCH和GARCH~t在方差上的预测相近，但是均值预测不同，反而是EGARCH在均值预测上与GARCH更加接近。由于采用的是MA模型，均值预测在第二步就相同了。

3.9为GM数据建立TGARCH模型，并就杠杆效应进行显著性检验。给出向前1到6步的预测。

拟合的模型为ARMA(0,1)~TGARCH(1,1)

*------------------------------------------------------*
* GARCH Model Fit *
*------------------------------------------------------*

Conditional Variance Dynamics
-----------------------------------
GARCH Model : gjrGARCH(1,1)
Mean Model : ARFIMA(0,0,1)
Distribution : norm

Optimal Parameters
------------------------------------
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
mu 0.009052 0.002658 3.4055 0.000660
ma1 0.079690 0.043049 1.8511 0.064149
omega 0.000164 0.000079 2.0718 0.038284
alpha1 0.066596 0.029035 2.2937 0.021810
beta1 0.881315 0.034262 25.7232 0.000000
gamma1 0.043701 0.039785 1.0984 0.272017

rt=0.009052+ at+0.079690* at-1
at=σtεt
σt2=0.000164+(0.066596+0.043701*Nt-1)at-12 +0.881315σt-12
Nt-1=1,at-1<00,at-1≥0

假定εt=2或者-2，则其中杠杆效应为0.066596+0.043701*4+0.8813150.066596*4+0.881315=1.15
由于alpha1，beta1，gamma1的系数为显著的，所以杠杆效应在5%的水平下也是显著的。

预测结果为

*------------------------------------*
* GARCH Model Forecast *
*------------------------------------*
Model: gjrGARCH
Horizon: 6
Roll Steps: 0
Out of Sample: 0

0-roll forecast:
sigma series
649 0.09097 0.025986
650 0.09049 0.009052
651 0.09003 0.009052
652 0.08958 0.009052
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