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1、3.4 模型为AR(1)-GARCH(1,1)，假定εt服从自由度为v的标准化的t分布，导出数据的条件对数似然函数。 数据为r=[r1, r2, …… rn] 模型为 rt=u+φ1rt-1+at at=σtεt σt2=α0+α1at-12+β1σt-12 由于εt服从自由度为v的标准化的t分布，所以有εt的概率密度函数为 f(εt)=Гv+12Гv2v-2π1+εt2v-2-(v+1)/2 其中Г(x)为Gamma函数（Гx=0infyx-1e-ydy） 由于at=σtεt，at的条件似然函数为 f(am+1,……,at)=t=m+1TГv
2、12Гv2v-2π1σt1+εt2(v-2)σt^2-(v+1)/2 所以对数条件似然函数为 L=T{ln(Гv+12)-ln(Гv2)-12ln[(v-2)n]}- 12t=1T[ln(σt2)+(1+v)ln(1+ at^2(v-2)σt^2)] 带入实际的数据 T=t，at=rt-u-φ1rt-1，同时又有σt2=α0+α1at-12+β1σt-12，所以有了第一个σ1后就可以递推出其余的σt。 3.5 对Intel股票的对数收益率建立GARCH模型，并进行向前1到5步的波动率预测。 数据的图形如下： 同时ACF和PACF如下： 可
3、知模型的基本形式应该为MA(1)。 尝试对残差建立ARMA(0,1)~Garch(1,1)模型，结果为 *-----------------------------------------------------* * GARCH Model Fit * *-----------------------------------------------------* Conditional Variance Dynamics ----------------------------------- GARCH Model :
4、sGARCH(1,1) Mean Model : ARFIMA(1,0,0) Distribution : norm Optimal Parameters ------------------------------------ Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) mu 0.025807 0.006441 4.00645 0.000062 ar1 0.027009 0.054726 0.49353 0.621640 omega 0.001235 0.
5、000615 2.00819 0.044624 alpha1 0.089186 0.033309 2.67753 0.007417 beta1 0.836646 0.055546 15.06232 0.000000 LogLikelihood : 238.1461 检验残差的ACF 发现模型可以满足要求。 所以最终拟合的Garch模型为 (1-0.027009*B)yt=0.025807+εt εt =ut*ht ht~N(0,σn2) ut2=0.001235+0.089186*at-12+0.836646*σt-12
6、 下面是向前1到5步的预测结果 *---------------------------------------------------------* * GARCH Model Forecast * *---------------------------------------------------------* Model: sGARCH Horizon: 10 Roll Steps: 0 Out of Sample: 0 0-roll forecast: sigma series 373 0.1233 0.0242
7、6 374 0.1236 0.02603 375 0.1240 0.02607 376 0.1243 0.02608 377 0.1246 0.02608 其中372就是03年12月的数据 下图是预测结果趋势图 3.6 (a)利用对数收益率和5%的显著性水平检验对数收益率中的相关性。 观察对数收益率的ACF图形 可以发现明显的一阶相关性。 取12阶滞后的Ljung&Box检验的结果如下 Box-Ljung test data: mrk X-squared = 24.3218, df = 12, p
8、value = 0.01838 发现有显著的自相关性。 尝试对序列建立ARMA(1,0)模型 arima(x = mrk, order = c(1, 0, 0)) Coefficients: ar1 intercept -0.0911 0.0121 s.e. 0.0380 0.0024 sigma^2 estimated as 0.004746: log likelihood = 868.06, aic = -1730.13 残差mrk$residuals=(1+0.0911*B)mrkt没
9、有序列相关。 (b)利用Ljung&Box统计量，在6以及12个间隔下验证序列的ARCH效应。 令arch=mrk$residuals^2，进行Ljung&Box检验 间隔为6： Box-Ljung test data: arch X-squared = 25.0263, df = 6, p-value = 0.0003376 间隔为12： Box-Ljung test data: arch X-squared = 35.2562, df = 12, p-value = 0.0004263 在5%的显著性
10、水平下无论是6还是12的间隔都是有显著的ARCH效应。 (c)对数据识别一个ARCH模型，然后拟合 *------------------------------------------------------* * GARCH Model Fit * *------------------------------------------------------* Conditional Variance Dynamics ----------------------------------- GARCH Model :
11、sGARCH(1,0) Mean Model : ARFIMA(1,0,0) Distribution : norm Optimal Parameters ------------------------------------ Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) mu 0.012269 0.002411 5.0894 0.000000 ar1 -0.080221 0.040635 -1.9742 0.048358 omega 0.004433 0.000
12、298 14.8977 0.000000 alpha1 0.066349 0.043029 1.5420 0.123084 模型形式为： (1+0.080221*B)mrkt=0.012269+εt εt =ut*ht ht~N(0,σn2) ut2=0.004433+0.066349*at-12 下面是拟合的残差图以及置信区间，发现拟合是有效的。 3.7 (a)利用Ljung&Box统计量，在6以及12个间隔下验证对数收益率的ARCH效应。 为了检验3m数据的ARCH效应，将Ljung&Box应用于mmm^2序列 6个间
13、隔： Box-Ljung test data: mmm^2 X-squared = 22.5644, df = 6, p-value = 0.0009563 12个间隔 Box-Ljung test data: mmm^2 X-squared = 29.9574, df = 12, p-value = 0.002834 无论是6或者12个间隔，都是在5%的水平下有显著的ARCH效应的。 (b)用收益率平方的PACF识别一个ARCH模型并拟合。 PACF图形为 序列平方项有2阶的偏自相关，所拟合的应该是
14、一个ARCH(2)模型。 *---------------------------------------------------* * GARCH Model Fit * *---------------------------------------------------* Conditional Variance Dynamics ----------------------------------- GARCH Model : sGARCH(2,0) Mean Model : ARFIMA(0,0,0)
15、Distribution : norm Optimal Parameters ------------------------------------ Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) mu 0.012084 0.002294 5.2671 0.000000 omega 0.003195 0.000273 11.6992 0.000000 alpha1 0.094952 0.048639 1.9522 0.050916 alpha2 0.134261 0.0
16、56703 2.3678 0.017894 模型为： yt=0.012084+εt εt =ut*ht ht~N(0,σn2) ut2=0.003195+0.094952*at-12+0.134261* at-22 (c)利用前690个数据重新拟合，并对691到695的数据进行预测 *------------------------------------------------------* * GARCH Model Fit * *---------------------------------------------
17、 Conditional Variance Dynamics ----------------------------------- GARCH Model : sGARCH(2,0) Mean Model : ARFIMA(0,0,0) Distribution : norm Optimal Parameters ------------------------------------ Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) mu 0.011836
18、 0.002297 5.1527 0.000000 omega 0.003169 0.000274 11.5532 0.000000 alpha1 0.098426 0.049248 1.9986 0.045653 alpha2 0.137802 0.057628 2.3912 0.016792 yt=0.011836+εt εt =ut*ht ht~N(0,σn2) ut2=0.003169+0.098426*at-12+0.137802* at-22 预测结果为 *---------------------------
19、 * GARCH Model Forecast * *--------------------------------------------------------* Model: sGARCH Horizon: 10 Roll Steps: 0 Out of Sample: 0 0-roll forecast: sigma series 691 0.06068 0.01184 692 0.06510 0.01184 693 0.06398 0.01184 69
20、4 0.06447 0.01184 695 0.06436 0.01184 下面是预测图： (d)对3M股票的对数收益率建立ARCH-M模型，并在5%的水平下检验风险溢价为0的假设。 考虑到数据的PACF图形中有2阶的回归，建立ARCH(2)-M的模型： rt=u+c*σt2+at at=σtεt σt2=α0+α1at-12+β1σt-12 拟合结果为： *-------------------------------------------------------* * GARCH Model Fit * *
21、 Conditional Variance Dynamics ----------------------------------- GARCH Model : sGARCH(2,0) Mean Model : ARFIMA(0,0,0) Distribution : norm Optimal Parameters ------------------------------------ Estimate S
22、td. Error t value Pr(>|t|) mu 0.030460 0.021888 1.39164 0.164033 archm -0.297533 0.352062 -0.84511 0.398046 omega 0.003172 0.000273 11.60546 0.000000 alpha1 0.093721 0.047570 1.97017 0.048819 alpha2 0.141510 0.056890 2.48744 0.012867 rt=0.030460-0.297533
23、σt2+at at=σtεt σt2=0.003172+0.093721at-12+0.141510 at-22 下面是拟合结果的检验图： 可知拟合是有效的。 同时关注系数archm的t值，可以发现对应的P值大于5%，所以系数是显著的，也就是说风险溢价为0的假设不成立。 (e)利用前690个数据建立一个EGARCH模型，并进行向前1到5步的预测。 由于数据的一阶自相关性，对数据建立AR(1)~EGARCH(1,1)的模型。 *---------------------------------------------------* *
24、 GARCH Model Fit * *---------------------------------------------------* Conditional Variance Dynamics ----------------------------------- GARCH Model : eGARCH(1,1) Mean Model : ARFIMA(1,0,0) Distribution : norm Optimal Parameters ---------------------------------
25、 Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) mu 0.010652 0.002204 4.83244 0.000001 ar1 -0.064397 0.040323 -1.59705 0.110254 omega -0.929434 0.454867 -2.04331 0.041022 alpha1 -0.018260 0.031722 -0.57563 0.564866 beta1 0.831434 0.082353 10.09601 0.000000 gamma1
26、 0.198772 0.062164 3.19754 0.001386 所以模型为： rt=0.010652-0.064397*rt-1+at at=σtεt ln(σt2)=α0+ 11+0.018260*B*g(εt-1) g(εt)= 0.831434*εt +0.198772*[|εt |-E(|εt |)] 预测结果为： *------------------------------------------------------------* * GARCH Model Forecast * *---------
27、 Model: eGARCH Horizon: 10 Roll Steps: 0 Out of Sample: 0 0-roll forecast: sigma series 691 0.05690 0.005967 692 0.05796 0.010954 693 0.05886 0.010633 694 0.05961 0.010653 695 0.06025 0.010652 走势图为： 3.8 (a)建立一个带高斯新息
28、的GARCH模型并检验 首先检查数据GM的ACF和PACF图形 GM数据的均值模型为MA(1)。 对建立的MA(1)模型的残差平方再次检验其ACF和PACF 发现合适的模型为ARMA(0,1)~GARCH(3,1)，对此进行拟合： *---------------------------------------------------* * GARCH Model Fit * *---------------------------------------------------* Conditional Va
29、riance Dynamics ----------------------------------- GARCH Model : sGARCH(3,1) Mean Model : ARFIMA(0,0,1) Distribution : norm Optimal Parameters ------------------------------------ Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) mu 0.011782 0.002862 4.117242 0.0000
30、38 ma1 0.063162 0.043295 1.458858 0.144604 omega 0.000157 0.000078 2.018931 0.043494 alpha1 0.084301 0.061810 1.363884 0.172604 alpha2 0.002563 0.062282 0.041150 0.967176 alpha3 0.000000 0.001070 0.000205 0.999837 beta1 0.884549 0.033406 26.478370 0.000000
31、rt=0.011782+ at+0.063162* at-1 at=σtεt σt2=0.000157+0.084301*at-12 +0.884549σt-12 （其中alpha2和alpha3的系数为不显著的） 拟合结果的图形为： 拟合为有效的。 (b)建立一个带高斯新息的GARCH-M模型并检验 根据上面检测的结论，所建立的GARCH-M模型形式为ARMA(0,1)~GARCH(1,1)-M *---------------------------------* * GARCH Model Fit * *----
32、 Conditional Variance Dynamics ----------------------------------- GARCH Model : sGARCH(1,1) Mean Model : ARFIMA(0,0,1) Distribution : norm Optimal Parameters ------------------------------------ Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
33、 mu 0.006953 0.013328 0.52168 0.601892 ma1 0.061927 0.043448 1.42532 0.154063 archm 0.079453 0.208605 0.38088 0.703292 omega 0.000151 0.000073 2.05206 0.040164 alpha1 0.085087 0.024677 3.44795 0.000565 beta1 0.887439 0.031145 28.49382 0.000000 所以拟合的模型为
34、 rt=0.006953+0.079453*σt2+at +0.061927*at-1 at=σtεt σt2=0.000151+0.085087at-12+0.887439σt-12 (c)建立一个带学生t新息的GARCH模型，估计自由度v并写出拟合的模型。在5%的水平下检验假设H0：v=6。 对GM数据建立MA(1)~GARCH(1,1)模型，同时将残差序列设为student分布。 *---------------------------------------------------* * GARCH Model Fit *
35、 *---------------------------------------------------* Conditional Variance Dynamics ----------------------------------- GARCH Model : sGARCH(1,1) Mean Model : ARFIMA(0,0,1) Distribution : std Optimal Parameters ------------------------------------ Estimate Std.
36、 Error t value Pr(>|t|) mu 0.010291 0.002590 3.9734 0.000071 ma1 0.052045 0.042122 1.2356 0.216615 omega 0.000141 0.000093 1.5105 0.130914 alpha1 0.066805 0.025940 2.5754 0.010012 beta1 0.906084 0.039036 23.2117 0.000000 shape 9.100371 2.988367 3.0
37、453 0.002325 模型形式为 rt=0.010291+ at+0.052045* at-1 at=σtεt σt2=0.000141+0.066805*at-12 +0.906084σt-12 同时可以看到，自由度的预估值为9.1，均方误差为2.988367，显著不为6。 (d)对GM数据建立EGARCH模型。 对GM数据建立ARMA(0,1)~EGARCH(1,1)模型。 *-----------------------------------------------------* * GARCH Model Fit
38、 * *-----------------------------------------------------* Conditional Variance Dynamics ----------------------------------- GARCH Model : eGARCH(1,1) Mean Model : ARFIMA(0,0,1) Distribution : norm Optimal Parameters ------------------------------------ Estima
39、te Std. Error t value Pr(>|t|) mu 0.009111 0.002624 3.4726 0.000515 ma1 0.081075 0.042053 1.9279 0.053866 omega -0.158949 0.088744 -1.7911 0.073278 alpha1 -0.031275 0.025569 -1.2232 0.221263 beta1 0.969952 0.016282 59.5731 0.000000 gamma1 0.181106 0.0452
40、28 4.0043 0.000062 rt=0.009111+at-0.081075* at -1 at=σtεt ln(σt2)= -0.158949+ 11+0.031275*B*g(εt-1) g(εt)= 0.969952*εt +0.181106*[|εt |-E(|εt |)] (e)对所有的模型进行向前1到6步的预测，并进行比较。 这是EGARCH的预测结果： *------------------------------------* * GARCH Model Forecast * *-----------
41、 Model: eGARCH Horizon: 6 Roll Steps: 0 Out of Sample: 0 0-roll forecast: sigma series 649 0.08271 0.026335 650 0.08234 0.009111 651 0.08197 0.009111 652 0.08162 0.009111 653 0.08128 0.009111 654 0.08095 0.009111 这是GARCH的预测结果： *-----------------
42、 * GARCH Model Forecast * *------------------------------------* Model: sGARCH Horizon: 6 Roll Steps: 0 Out of Sample: 0 0-roll forecast: sigma series 649 0.09606 0.026985 650 0.09551 0.009676 651 0.09498 0.009676 652 0.09445 0.009676 653 0.0
43、9394 0.009676 654 0.09344 0.009676 这是残差服从t分布的GARCH的预测结果： *------------------------------------* * GARCH Model Forecast * *------------------------------------* Model: sGARCH Horizon: 5 Roll Steps: 0 Out of Sample: 0 0-roll forecast: sigma series 649 0.09430 0
44、022158 650 0.09371 0.009051 651 0.09314 0.009051 652 0.09258 0.009051 653 0.09204 0.009051 654 0.09150 0.009051 对比如下： sigma series GARCH GARCH~t EGARCH GARCH GARCH~t EGARCH 649 0.09606 0.09430 0.08271 0.022158 0.026985 0.026335 650 0.09551 0.09371 0.08234 0.009051 0
45、009676 0.009111 651 0.09498 0.09314 0.08197 0.009051 0.009676 0.009111 652 0.09445 0.09258 0.08162 0.009051 0.009676 0.009111 653 0.09394 0.09204 0.08128 0.009051 0.009676 0.009111 654 0.09344 0.09150 0.08095 0.009051 0.009676 0.009111 GARCH和GARCH~t在方差上的预测相近，但是均值预测不同
46、反而是EGARCH在均值预测上与GARCH更加接近。由于采用的是MA模型，均值预测在第二步就相同了。 3.9为GM数据建立TGARCH模型，并就杠杆效应进行显著性检验。给出向前1到6步的预测。 拟合的模型为ARMA(0,1)~TGARCH(1,1) *------------------------------------------------------* * GARCH Model Fit * *------------------------------------------------------* Condit
47、ional Variance Dynamics ----------------------------------- GARCH Model : gjrGARCH(1,1) Mean Model : ARFIMA(0,0,1) Distribution : norm Optimal Parameters ------------------------------------ Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) mu 0.009052 0.002658 3.405
48、5 0.000660 ma1 0.079690 0.043049 1.8511 0.064149 omega 0.000164 0.000079 2.0718 0.038284 alpha1 0.066596 0.029035 2.2937 0.021810 beta1 0.881315 0.034262 25.7232 0.000000 gamma1 0.043701 0.039785 1.0984 0.272017 rt=0.009052+ at+0.079690* at-1 at=σtεt σt2=0
49、000164+(0.066596+0.043701*Nt-1)at-12 +0.881315σt-12 Nt-1=1,at-1<00,at-1≥0 假定εt=2或者-2，则其中杠杆效应为0.066596+0.043701*4+0.8813150.066596*4+0.881315=1.15 由于alpha1，beta1，gamma1的系数为显著的，所以杠杆效应在5%的水平下也是显著的。 预测结果为 *------------------------------------* * GARCH Model Forecast * *------------------------------------* Model: gjrGARCH Horizon: 6 Roll Steps: 0 Out of Sample: 0 0-roll forecast: sigma series 649 0.09097 0.025986 650 0.09049 0.009052 651 0.09003 0.009052 652 0.08958 0.009052 653 0.08913 0.009052 654 0.08870 0.009052
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