圆的对称性 二 垂径定理.docx

课题：圆的对称性（二）
教案设计者怀化四中：欧阳莉
教学思路：
本节课设计充分体现新课程标准下数学课堂教学，以学生为主体，教师为引导的目的去进行教学，开展以“自主、合作、探究、师生互动”的学习方式，让学生经历学习数学的严谨探索过程，真正成为学习的主人。
教学内容：
本节课教学内容是《义务教育课程标准实验教科书 数学》（北师大版）九年级（下）第三章“圆”第二节“圆的对称性”第二课时。是在第一节课的基础上进行教学，教学目的是让学生利用旋转的方法得到圆的旋转不变性；并利用它的旋转不变性重点探究了“圆心角、弧、弦之间关系”。
教材分析：
圆这一章有许多重要性质，其中最主要的是圆的对称性，在探索、发现和证明圆的许多重要性质时，都运用了它的对称性。同时圆的对称性在日常生活和生产中有着广泛的应用，因此这一节内容在整章中具有举足轻重的意义。所以学好本节内容尤为重要。“圆的对称性”第二课时的主要内容是垂径定理逆定理，它反映了圆的重要性质，是圆轴对称性的具体化，也是证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时也为圆的计算和作图提供了方法与依据。所以本节知识与方法的学习直接影响着以后学习圆的兴趣。 教学目标：
（一）学习目标：
1、了解圆的旋转不变性；
2、掌握圆心角、弧、弦之间的相等关系定理；
（二）能力目标：
1、经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。
2、使学生掌握“圆心角、弧、弦之间的关系定理”，以及对定理中“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明。
3、通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，发展空间观念、推理能力以及概括问题的能力。
（三）情感目标：
1、培养学生积极探索数学新知的态度及方法，培养学生自主学习、相互合作交流的能力。
2、通过学习垂径定理逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生学习实事求是的科学态度和积极参与的主动精神。
教学重难点：
学习重点：利用圆的旋转不变性研究圆心角、弧、弦之间相等关系的定理。 学习难点：理解相关定理中“同圆”或“等圆”的前提条件。
教学方法：引导探索法
教学准备：多媒体 实物投影 三角板 圆规 纸片 剪刀 铅笔
教学课时：1课时
教学过程：
一、复习导入：
1、垂径定理的内容是什么？（从图形、文字、符号三种语言方面加以回顾）。
2、垂径定理的题设和结论是什么？
题设：一条直线①过圆心；②垂直于弦
结论：这条直线③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧；
二、探究新知：
1、小组合作，请每个小组进行探究：从以上5条中任意选两条为已知，试着去探索另3条是否正确？每个小组要求完成：
（1）写出命题的已知和求证；（2）画出相应的图形
（3）给出证明；（4）完成文字语言的描述；（5）小组内必须每个人参与。
2、垂径定理的逆定理的探究：
探究1：由①③，可得新命题（如右图）：（教师展示课件）
①直径CD过圆心

②直径CD垂直于弦AB
③直径CD平分弦④平分弦所对的优弧ADB；
⑤平分弦所对的劣弧ACB；
师：此命题为真命题？为什么？
生：此命题为真命题。根据圆的对称性可知。
师：若弦AB过点O，此命题是否为真命题？为什么？
生：此命题不是真命题，因为弦AB可以直径，所以得不到直径CD垂直于弦AB。
师：请每小组进行一分钟交流合作、归纳、总结从以上可以得什么结论？请小组长进行发言。 师：总结得到以下结论：并强调“弦不是直径”这一重要条件。
垂径定理的逆定理1：平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 探究2：
由②③，可得新命题：
②直径CD垂直于弦①直径CD过圆心
③直径CD平分弦AB ④平分弦所对的优弧ADB；
⑤平分弦所对的劣弧ACB；
师：此命题为真命题？为什么？
生：此命题为真命题。根据圆的对称性可知。
师：请每小组进行一分钟交流合作、归纳、总结从以上可以得什么结论？请小组长进行发言。 师：总结得到以下结论：
垂径定理的逆定理2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
探究3：
由①④或①⑤，可得新命题：
①直径CD过圆心 CD垂直于弦AB
④平分弦所对的优弧CD平分弦AB
ACB
或
①直径CD过圆心

CD垂直于弦AB
⑤平分弦所对的劣弧CD平分弦AB
ADB；
师：此命题为真命题？为什么？
生：此命题为真命题。根据圆的对称性可知。
师：请每小组进行一分钟交流合作、归纳、总结从以上可以得什么结论？请小组长进行发言。 师：总结得到以下结论：
垂径定理的逆定理3：平分弦所对的一条弧的直径，则垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
三、随堂练习：
1、判断下列说法是否正确?
(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 ( )
(2)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧。 ( )
(3)经过弦中点的直径一定于垂直弦。 ( )
(4)平分弦所对的一条弧的直径一定垂直平分这条弦。 ( )
2、按右图填空，在⊙O中：
（1）若CD⊥AB，CD为直径，则 ， ， 。
（2）若AM＝BM，CD为直径，AB不是直径，
则 ， ， 。
（3）若CD⊥AB，AM＝BM，则 ， ， 。
（4）若弧AM＝弧BM ，CD为直径，则 ， ， 。
四、课堂过关练习：
1、下列命题中，错误的是（ ）
A、平分弦的直径垂直于弦 B、平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦
C、垂直于弦的直径平分弦 D、弦的垂直平分线平分弦所对的两条弧
2、如右图，已知CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M，如果CD=20，AB=16,
求线段OM的长？
五、课堂小结：
1、本节主要知识：垂径定理的逆定理及其应用。
2、思维方法：向思维，交换题设与结论中的部分条件来研究新知识。
六、课后作业，加深理解和应用：
教材101页：知识技能第1题，数学理解第2、3题。
教学反思：
本节课教学设计侧重是通过学生自己动手、小组合作、交流、师生互动等活动方式，让学生亲身经历数学知识的发生、发展及其探求过程，再通过教师的引导，让学生感受圆的旋转不变性；并得出弧、弦、圆心角的三者之间的关系；掌握圆的旋转不变性知识，并能够解决有关圆的简单问题。同时也注重培养学生的探索能力和简单的逻辑推理能力。体验数学知识在生活中的应用，激发他们的学习数学的兴趣。