圆的对称性垂径定理市公开课一等奖百校联赛获奖课件.pptx

圆对称性圆对称性(1)(1)垂径定理垂径定理九年级数学九年级数学(下下)第三章第三章 圆圆3.23.2第1页3.2 3.2 圆对称性圆对称性复习提问：复习提问：1 1、什么是轴对称图形？我们在直线形中学过哪、什么是轴对称图形？我们在直线形中学过哪些轴对称图形？些轴对称图形？假如一个图形沿一条直线对折，直线两旁部分假如一个图形沿一条直线对折，直线两旁部分能够相互重合，那么这个图形叫轴对称图形。如线能够相互重合，那么这个图形叫轴对称图形。如线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形方形l圆是轴对称图形吗？圆是轴对称图形吗？假如是假如是,它对称轴是什么它对称轴是什么?你能找到多少你能找到多少条对称轴？条对称轴？你是用什么方法处理上述问题你是用什么方法处理上述问题?第2页l圆是轴对称图形圆是轴对称图形.圆对称轴是圆对称轴是任意一条经过圆心直线任意一条经过圆心直线,它有没它有没有数条对称轴有数条对称轴.O可利用折叠方法即可处理上述问题可利用折叠方法即可处理上述问题.3.2 3.2 圆对称性圆对称性第3页OACBNMD圆是轴对称图形圆是轴对称图形，经过经过圆心圆心每每一条一条直线直线都是它对称轴。第4页OACBNMD或或：任意一条任意一条直直径所在直线径所在直线都是圆都是圆对称轴对称轴。任意一条直径任意一条直径都是都是圆对称轴（圆对称轴（）第5页练习练习1.判断题判断题(1)直径是弦直径是弦.(2)过圆心线段是直径过圆心线段是直径.(3)半圆是弧半圆是弧 .(4)两个半圆是等弧两个半圆是等弧.(5)面积不等两圆不是等圆面积不等两圆不是等圆.(6)长度相等两条弧是等弧长度相等两条弧是等弧.ACEFGH弧长 FE =3.84 cm弧长 HG =3.84 cm（）（）（）（）（）（）第6页看一看看一看B.OCAEDO.CAEBDAEBEAEBE第7页AM=BM,垂径定理垂径定理lAB是是 O一条弦一条弦.l你能发觉图中有哪些等量关系你能发觉图中有哪些等量关系?与同伴说说你想法和理由与同伴说说你想法和理由.n作直径作直径CD,使使CDAB,垂足为垂足为M.On下列图是轴对称图形吗下列图是轴对称图形吗?假如是假如是,其对称轴是什其对称轴是什么么?ABCDMAmBn由由 CD是直是直径径 CDAB可推得可推得 AC=BC,AD=BD.题设题设结论结论第8页l如图如图,小明理由是小明理由是:l连接连接OA,OB,OA,OB,OABCDM则则OA=OB.在在RtOAM和和RtOBM中中,OA=OB，OM=OM，RtOAM RtOBM.AM=BM.点点A和点和点B关于关于CD对称对称.O关于直径关于直径CD对称对称,当圆沿着直径当圆沿着直径CD对折时对折时,点点A与点与点B重合重合,AC和和BC重合重合,AD和和BD重合重合.AC=BC,AD=BD.垂径定理垂径定理第9页垂径定理垂径定理 垂直于弦直径平分这条弦，而且垂直于弦直径平分这条弦，而且平分弦所正确两条弧平分弦所正确两条弧.题设题设结论结论（1）直径）直径（2）垂直于弦）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对优弧（5）平分弦所对劣弧第10页垂径定理垂径定理三种语言三种语言l定理定理:垂直垂直于弦于弦直径直径平分弦平分弦,而且平分弦所正确两条弧而且平分弦所正确两条弧.l老师提醒老师提醒:l垂径定理是垂径定理是圆中一个主圆中一个主要结论要结论,三种三种语言要相互语言要相互转化转化,形成整形成整体体,才能利用才能利用自如自如.OABCDMCDAB,如图如图 CD是直径是直径,AM=BM,AC=BC,AD=BD.第11页在以下图形中，你能否利用垂径定理在以下图形中，你能否利用垂径定理找到相等线段或相等圆弧找到相等线段或相等圆弧第12页 如图，已知在如图，已知在 O中，中，弦弦AB长为长为8厘米，圆心厘米，圆心O到到AB距离为距离为3厘米，求厘米，求 O半径。半径。E.ABO解：连结解：连结OA.过过O作作OEAB，垂足为，垂足为E，则则OE3厘米，厘米，AEBE。AB8厘米厘米 AE4厘米厘米 在在Rt AOE中，依据勾股定理有中，依据勾股定理有OA5厘米厘米 O半径为半径为5厘米厘米练习练习第13页 课题：垂直于弦直径(2)垂径定理推论垂径定理推论第14页MOACBN直线直线MN过圆心过圆心 AC=BCMNAB弧弧AM=弧弧BM 弧弧AN=弧弧BN探索一探索一：结论结论：第15页推论推论1.(1)平分弦（平分弦（不是直径不是直径）直径垂直于弦，而且平分弦直径垂直于弦，而且平分弦所正确两条弧。所正确两条弧。第16页OABMN一个圆任意两条一个圆任意两条直径总是相互平分直径总是相互平分，不过它们不一定相互不过它们不一定相互垂直。垂直。所以这里弦假所以这里弦假如是直径，结论就不如是直径，结论就不一定成立。一定成立。推论推论1.(1)平分弦平分弦（不是直径）（不是直径）直径垂直于弦，而且平分弦直径垂直于弦，而且平分弦所正确两条弧。所正确两条弧。CD第17页MOACBN MNAB AC=BC直线直线MN过圆心过圆心O弧弧AM=弧弧BM弧弧AN=弧弧BN探索二探索二：第18页推论推论1:(2)弦垂直平分线经过圆心,而且平分弦所正确两条弧;第19页MOACBN MNAB AC=BC 弧弧AM=弧弧BM直线直线MN过圆心过圆心O弧弧AN=弧弧BN探索三探索三：第20页推论推论1:(3)(3)平分弦所正确平分弦所正确一条弧直径一条弧直径,垂直平分垂直平分弦弦,而且平分弦所正确而且平分弦所正确另一条弧。另一条弧。第21页CDABMTEFGHNP错在哪里错在哪里？等分弧时一等分弧时一定要作定要作弧所夹弦弧所夹弦垂直平分线垂直平分线。作AB垂直平分线CD。作ATBT垂直 平分线EFGH第22页n你能够写出对应命题吗你能够写出对应命题吗?l如图如图,在以下五个条件中在以下五个条件中:只要具备其中两个条件只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论就可推出其余三个结论.OABCDM CD是直径是直径,AM=BM,CDAB,AC=BC,AD=BD.垂径定理垂径定理逆定理逆定理第23页垂径定理及逆定理垂径定理及逆定理OABCDM条件条件结论结论命命 题题垂直于弦直径平分弦垂直于弦直径平分弦,而且平分弦所两条弧而且平分弦所两条弧.平分弦平分弦(不是直径不是直径)直径垂直于弦直径垂直于弦,而且平而且平 分弦所正确两条弧分弦所正确两条弧.平分弦所正确一条弧直径平分弦所正确一条弧直径,垂直平分弦垂直平分弦,而且平分弦所正确而且平分弦所正确另一条弧另一条弧.弦垂直平分线经过圆心弦垂直平分线经过圆心,而且平分这条弦所正确两条弧而且平分这条弦所正确两条弧.垂直于弦而且平分弦所正确一条弧直线经过圆心垂直于弦而且平分弦所正确一条弧直线经过圆心,而且平而且平分弦和所正确另一条弧分弦和所正确另一条弧.平分弦而且平分弦所正确一条弧直线经过圆心平分弦而且平分弦所正确一条弧直线经过圆心,垂直于弦垂直于弦,而且平分弦所正确另一条弧而且平分弦所正确另一条弧.平分弦所正确两条弧直线经过圆心平分弦所正确两条弧直线经过圆心,而且垂直平分弦而且垂直平分弦.CD是直径是直径,AM=BM,CDAB,AC=BC,AD=BD.第24页垂径定理推论垂径定理推论2 2 l假如圆假如圆两条弦相互平行两条弦相互平行,那么这两条弦所夹弧相等吗那么这两条弦所夹弧相等吗?l老师提醒老师提醒:这两条弦在圆中位置有两种情况这两条弦在圆中位置有两种情况:OABCD1.两条弦在圆心同侧两条弦在圆心同侧OABCD2.两条弦在圆心两侧两条弦在圆心两侧垂径定理推论垂径定理推论 圆两条平行弦所夹弧相等圆两条平行弦所夹弧相等.MM第25页已知：已知：O中弦中弦ABCD.求证：求证：ACBD.MCDABON讲解讲解假如圆两条弦相互平行，假如圆两条弦相互平行，那么这两条弦所夹弧相那么这两条弦所夹弧相等等.证实：作直径证实：作直径MNAB.ABCD，MNCD.则则AMBM，CMDM （垂直平分弦直径平分弦所正确弦）（垂直平分弦直径平分弦所正确弦）AMCM BM DMACBD 圆两条平行弦所夹弧相等圆两条平行弦所夹弧相等第26页推论推论2.2.圆两条平行弦所夹弧圆两条平行弦所夹弧相等。相等。第27页挑战自我画一画l如如图图,M,M为为OO内内一一点点,利利用用尺尺规规作作一一条条弦弦AB,AB,使使ABAB过点过点M.M.而且而且AM=BM.AM=BM.OM第28页CDABE例：例：平分已知弧平分已知弧ABAB已知：弧已知：弧AB作法：作法：连结连结AB.作作AB垂直平分线垂直平分线 CD，交弧，交弧AB于点于点E.点点E E就是所求弧就是所求弧ABAB中点。中点。求作：弧求作：弧AB中点中点挑战自我画一画第29页CDABEFG变式一变式一：求弧求弧ABAB四等分点。四等分点。mn第30页CABE变式二变式二：你能确定你能确定 弧弧ABAB圆心吗？圆心吗？mnDCABEmnO第31页你能你能破镜重破镜重圆圆吗？吗？ABACmnO 作弦作弦ABABACAC及它们垂直平分线及它们垂直平分线m mn n，交于，交于O O点；以点；以O O为圆心，为圆心，OAOA为为半径作圆。半径作圆。第32页破镜重破镜重圆圆ABCmnO 弦垂直平分线经过圆心弦垂直平分线经过圆心,而且平分弦所正确两条弧。而且平分弦所正确两条弧。作图依据：第33页判断判断垂直于弦直线平分弦，而且平分弦所正确弧垂直于弦直线平分弦，而且平分弦所正确弧()弦所正确两弧中点连线弦所正确两弧中点连线,垂直于弦垂直于弦,而且经过圆心而且经过圆心()圆不与直径垂直弦必不被这条直径平分圆不与直径垂直弦必不被这条直径平分()平分弦直径垂直于弦平分弦直径垂直于弦,而且平分弦所正确两条弧而且平分弦所正确两条弧()圆内两条非直径弦不能相互平分（圆内两条非直径弦不能相互平分（）挑战自我挑战自我 填一填填一填第34页（6）平分弦直径，平分这条弦所正确弧。）平分弦直径，平分这条弦所正确弧。（7）平分弦直线，必定过圆心。）平分弦直线，必定过圆心。（8）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这 条直线垂直这条弦。条直线垂直这条弦。ABCDO(1)ABCDO(2)ABCDO(3)挑战自我挑战自我 填一填填一填第35页(9)弦垂直平分线一定是圆直径弦垂直平分线一定是圆直径.平分弧直线，平分这条弧所正确弦平分弧直线，平分这条弧所正确弦.弦垂直于直径，这条直径就被弦平分弦垂直于直径，这条直径就被弦平分.ABCO(4)ABCDO(5)ABCDO(6)E挑战自我挑战自我 填一填填一填第36页l2.已知：如图已知：如图,O 中中,弦弦ABCD,ABCD,直径直径MNAB,垂足为垂足为E,交弦交弦CD于点于点F.图中相等线段有图中相等线段有:.图中相等劣弧有图中相等劣弧有:.挑战自我挑战自我 填一填填一填第37页l3、已知：如图，、已知：如图，O 中，中，AB为为 弦，弦，C 为为 弧弧AB 中点，中点，OC交交AB 于于D，AB=6cm，CD=1cm.求求 O 半径半径OA.挑战自我挑战自我 做一做做一做第38页l4.如图如图,圆圆O与矩形与矩形ABCD交于交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求求BE长长.ABCD0EFGHMN挑战自我挑战自我做一做做一做第39页5.5.已知：已知：ABAB和和CDCD是是OO内两条平行弦，内两条平行弦，AB=6cmAB=6cm，CD=8cmCD=8cm，OO半径为半径为5cm5cm，（1 1）请依据题意画出符合条件图形）请依据题意画出符合条件图形（2 2）求出）求出ABAB、与、与CDCD间距离。间距离。（1）（2）挑战自我挑战自我 做一做做一做第40页解：（解：（1）OAB+AOC=90 AC=CB，OC 是半径（已知）是半径（已知）OC AB(假如圆直径平分弧，那么这条假如圆直径平分弧，那么这条直径垂直这条弧所正确弦）直径垂直这条弧所正确弦）ADO=90 OAB=90-35=55 ABCDO如图，在扇形如图，在扇形OAB中，中，C是是AB中点，中点，OC交交AB于点于点D AOC=35 ,AD=16cm求（求（1）OAB度数（度数（2）AB长长挑战自我挑战自我 做一做做一做AB第41页解：（解：（2）(假如圆直径平分弧，那么这条直径平假如圆直径平分弧，那么这条直径平分这条弧所正确弦分这条弧所正确弦)AC=CB，CD经过圆心经过圆心O（已知）（已知）DB=AD=16cmAB=2AD=32cmABCDO如图，在扇形如图，在扇形OAB中，中，C是是AB中点，中点，OC交交AB于点于点D AOC=35 ,AD=16cm求（求（1）OAB度数（度数（2）AB长长挑战自我挑战自我 做一做做一做第42页小结小结:处理相关弦问题，经常是过圆心作弦处理相关弦问题，经常是过圆心作弦垂线，或作垂直于弦直径，连结半径等辅垂线，或作垂直于弦直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。助线，为应用垂径定理创造条件。.CDABOMNE.ACDBO.ABO第43页已知：已知：AB是是 O直径，直径，CD是弦，是弦，AECD，BFCD求证：求证：ECDF.AOBECDF挑战自我挑战自我再上新台阶再上新台阶第44页回味引伸回味引伸 垂径定理及其推论垂径定理及其推论1实质是把实质是把(1)直线直线MN过圆心过圆心;(2)直线直线MN垂直垂直AB;(3)直线直线MN平分平分AB;(4)直线直线MN平分弧平分弧AMB;(5)直线直线MN平分弧平分弧ANB 中两个条件进行了中两个条件进行了四种四种组合组合,分别推出了其余三个分别推出了其余三个 结论结论.这么组合还有这么组合还有六种六种，因为时间有限，因为时间有限,课堂上未作课堂上未作 深入推导深入推导,同学们课下不妨试一试同学们课下不妨试一试.第45页课堂小结：课堂小结：本节课探索发觉了本节课探索发觉了垂径定理垂径定理推论推论1和推和推论论2,而且利用推论而且利用推论1等分弧等分弧。要要分分清清推推论论1题题设设和和结结论论,即即已已知知什什么么条条件件,可可推推出出什什么么结结论论.这这是是正正确确了了解解应应用用推推论论1关关键键;例例3是基本几何作图是基本几何作图,会经过作会经过作弧所夹弦弧所夹弦垂直平分线垂直平分线来来等分弧等分弧.能够体会能够体会转化转化思想思想在这里利用在这里利用.第46页圆相关概念圆相关概念l圆上任意两点间部分叫做圆上任意两点间部分叫做圆弧圆弧,简称简称弧弧(arc).l直径直径将圆分成两部分将圆分成两部分,每一部分都叫做半圆每一部分都叫做半圆(如弧如弧 ).n连接圆上任意两点间线段叫做连接圆上任意两点间线段叫做弦弦(chord)(如弦如弦AB).On经过圆心弦叫做经过圆心弦叫做直径直径(diameter)(如直径如直径AC).ABn以以A,B两点为端点两点为端点弧弧.记作记作 ,读作读作“弧弧AB”.n 小于半圆小于半圆弧弧叫做劣弧叫做劣弧,如记作如记作 (用两个字母用两个字母).ABAmBn大于半圆大于半圆弧弧叫做优弧叫做优弧,如记作如记作 (用三个字母用三个字母).ABCmDAmBABC第47页同心圆同心圆:圆心相同、半径不相等两个圆叫做圆心相同、半径不相等两个圆叫做同心圆。同心圆。弓形弓形:由弦及其所正确弧组成图形叫做由弦及其所正确弧组成图形叫做弓形弓形.等圆、等弧等圆、等弧:能够重合两个圆叫做能够重合两个圆叫做等圆等圆.在同圆或等圆中在同圆或等圆中,能够相互重合弧叫做能够相互重合弧叫做等弧等弧.第48页