探究星形角度之和的两个结论及应用.doc

探究星形角度之和的两个结论及应用
结论1：如图1，线段AD、BC交于点O,连接AB和CD,则有∠A＋∠B＝∠C＋∠D.
图2书馆
A
B
D
C
O
图1

结论2：如图2，这个图形形似圆规，我们不妨称之为“规形”.它有一条重要结论：
∠BOC＝∠A＋∠B＋∠C．
你能说明这两个结论的正确性吗？你知道这两个结论怎么用吗？
运用这两个结论来求一类星形角度和，既快又准确．
　 例 如图，已知五角星ABCDE，求∠A＋∠B＋∠C+∠D+∠E.
解法1：连结 ED，因为在△BDE中,∠B＋∠BED＋∠BDE＝180°，∠BED＝∠BEC＋∠CED,∠BDE＝∠BDA＋∠ADE，所以∠B＋∠BDA＋∠BEC＋∠ADE＋∠CED＝180°。据结论1,∠A+∠C ＝∠ADE＋∠CED，所以∠A＋∠B＋∠C+∠D+∠E＝180°.
A
B
C
E
D
H
A
B
C
E
D
H

解法2：由结论2，得∠B+∠E+∠D=∠EHD．
因为∠EHD =∠AHC，所以∠B+∠E+∠D=∠AHC.
因为在△ACH中,∠A＋∠C＋∠AHC＝180°，所以∠A＋∠C＋∠B+∠E+∠D＝180°.
由上面的例子可看出：这两个结论虽然简单却很重要，也很关键.两个结论都是将角集中到一个有规律的图形中，但各有所长。用结论1时需要做辅助线，用结论2时不需要做辅助线，但一定要在原图中找到基本图形才适用。它们在求星形的顶角和时，能化难为易。
在做题时，多体会，并总结经验，收获惊喜后的快乐是什么都无法替代的。

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